2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.3垂径定理 同步辅导测评 （Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.3垂径定理》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（　　）
A． B．1 C． D．
4．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
5．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A． B．3 C．3 D．4
6．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与地面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（　　）mm．
A．350 B．700 C．800 D．400
8．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC＝4，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．5
9．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　）
A．5 B． C．2 D．
10．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝　 　cm．
12．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为　 　．
13．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AD＝　 　．
14．如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE＝3cm，AD＝4cm，DF＝5cm，则⊙O的直径等于　 　．
15．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
①AD　 　AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝6，求CD的长．
17．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
18．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝BD＝2，求AB的长．
19．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．
20．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长．
21．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；
（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵AB＝10，OC：OB＝3：5，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，CD＝＝＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE＝2CD＝8，
故选：D．
2．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
3．解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．
∵＝，
∴AC＝BC，OC⊥AB，
∵AB是直径，
∴ACB＝90°，
∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠CAJ＝∠BCF，
∴△CAJ≌△BCF（ASA），
∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，
∵OC＝OB，
∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，
∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴EC＝BH＝1，
∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，
∴△CEJ∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，
∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，
∴△BHF≌△CEJ（AAS），
∴FH＝EJ＝，
∵AE∥BH，
∴＝，
∴＝，
整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，
解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），
∴y＝2x，
∴＝，
解得x＝或﹣（舍弃）．
∴BF＝，
故选：A．
4．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
5．解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
6．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．
设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，
由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，
解得，x＝400，
∴2x＝800，
答：车轱辘的直径为800mm．
故选：C．
8．解：连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴AD＝OA+OD＝+＝4，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，
故选：A．
9．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
10．解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴＝，
在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
∴CF＝PF tan60°＝PF，
∴PF＝CF，
∴＝，故②正确，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：∵CD⊥OB，
∴CE＝DE＝CD＝4，
在Rt△OCE中，OE＝＝3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故答案为8．
12．解：分两种情况：
①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，
则AE＝CE＝AC＝，
∴OE＝＝＝1＝OA，
∴∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴OA＝OB＝AB，
∴∠OAB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝2OA＝4；
②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，
同①得：∠OAE＝30°，
∵OA＝OB＝AB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝2；
故答案为：4或2．
13．解：
∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AE＝BE＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．
14．解：连接OF，作FG⊥AB于点G．
则EG＝DF﹣AE＝5﹣3＝2cm．
设⊙O的半径是R，
则OF＝R，OG＝R﹣2．
在直角△OFG中，OF2＝FG2+OG2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5．
则直径是10cm．
故答案是：10．
15．解：（1）AD＝AN，
证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD，
故答案为＝；
（2）设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为，
故答案为．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．（1）证明：连接AC，如图所示：
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，
即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝6，
∴OC＝AB＝3，
又∵BE＝OE，
∴OE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝3．
17．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
18．解：∵AB⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝1，
在Rt△BDH中，∵sinB＝，
∴∠B＝30°，
连接OD，如图，
∵∠HOD＝2∠B＝60°，
∴OH＝DH＝，
∴OD＝2OH＝，
∴AB＝2OD＝．
19．解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM＝DE．
∵DE＝8（cm）
∴DM＝4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），
∴OM＝＝＝3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
20．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝＝＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
连接BE，如图，
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE＝．
21．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CEF＝∠BFO＝90°
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：，
解得（舍弃）或，
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°，
∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵AC＝CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，
∴四边形EFHC是矩形，
∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝＝＝2，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，
∴∠FOB＝∠ECO，
∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS），
∴OF＝EC＝，
∴CH＝EF＝3，
∴AC＝EF＝6．