2020—2021学年人教版九年级数学下册第27章 相似 （中考真题训练 ）（word版含解析）

第27章相似 　　　　　　　　　 　　　　　　　　
一、选择题
1.[2021·遂宁] 如图1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若△ADE的面积是3 cm2,则四边形BDEC的面积为 (　　)
图1
A.12 cm2 B.9 cm2
C.6 cm2 D.3 cm2
2.[2021·重庆A卷] 如图2,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是 (　　)
图2
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶3 D.1∶9
3.[2020·遵义] 如图3,△ABO的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∠ABO=90°,过AO边的三等分点M,N分别作x轴的平行线交AB于点P,Q.若四边形MNQP的面积为3,则k的值为 (　　)
图3
A.9 B.12
C.15 D.18
4.[2021·温州] 如图4,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,相似比为2∶3,点A,B的对应点分别为点A',B'.若AB=6,则A'B'的长为 (　　)
图4
A.8 B.9 C.10 D.15
5.[2021·绍兴] 如图5,树AB在路灯O的照射下形成投影AC.已知路灯高PO=5 m,树影AC=3 m,树AB与路灯O的水平距离AP=4.5 m,则树的高度AB是 (　　)
图5
A.2 m B.3 m C. m D. m
6.[2021·河北] 图6①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图②所示,此时液面AB等于 (　　)
图6
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
二、填空题
7.[2021·烟台] 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图7所示,在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的直径AC交于点E.如果测得AB=1米,AC=1.6米,AE=0.4米,那么CD为　　　　米.
图7
8.[2021·嘉兴] 如图8,在直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是　　　　.
图8
9.[2021·上海] 如图9所示,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,=,则=　　　　.
图9
10.[2021·包头] 如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为　　　　.
图10
11.[2021·扬州] 如图11,在△ABC中,AC=BC,矩形DEFG的顶点D,E在AB上,点F,G分别在BC,AC上.若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为　　　　.
图11
三、解答题
12.[2021·南通] 如图12,利用标杆DE测量楼高,点A,D,B在同一直线上,DE⊥AC,BC⊥AC,垂足分别为E,C.若AE=1 m,DE=1.5 m,CE=5 m.求楼高BC.
图12
13.[2021·玉林] 如图13,在△ABC中,点D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
图13
14.[2021·黄冈] 如图14,在△ABC和△DEC中,∠A=∠D,∠BCE=∠ACD.
(1)求证:△ABC∽△DEC;
(2)若S△ABC∶S△DEC=4∶9,BC=6,求EC的长.
图14
15.[2021·泸州] 如图15,△ABC是☉O的内接三角形,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点F,AE是☉O的直径,连接EC.
(1)求证:∠ACF=∠B;
(2)若AB=BC,AD⊥BC于点D,FC=4,FA=2,求AD·AE的值.
图15
答案
1.B　[解析]∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE∥BC,且=,∴△ADE∽△ABC,
∴△ADE的面积∶△ABC的面积=1∶4,
∴△ADE的面积∶四边形BDEC的面积=1∶3.
∵△ADE的面积是3cm2,
∴四边形BDEC的面积是9cm2.
2.A　3.D　
4.B　[解析]∵图形甲与图形乙是位似图形,相似比为2∶3,AB=6,
∴=,即=,解得A'B'=9.
5.A　[解析]由题意可得AB∥OP,
∴△CAB∽△CPO,
∴=,∴=,∴AB=2(m).
6.C　[解析]如图,过点O作OM⊥CD,垂足为M,过点O作ON⊥AB,垂足为N.
易证△CDO∽△ABO,∴=.
∵OM=15-7=8(cm),ON=11-7=4(cm),
∴=,解得AB=3(cm).故选C.
7.3　[解析]由题意知AB∥CD,则△ABE∽△CDE,
∴=,
∴=,解得CD=3(米).
8.(4,2)　[解析]如图:
点G(4,2)即为所求的位似中心.
9.　[解析]∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,
∴=.
∵△ABD和△BCD是等高的三角形,且=,∴=,
∴=.
由比例的性质可知=,
∴==.
10.　[解析]∵BD⊥CB,MN⊥CB,
∴BD∥MN,
∴△CMN∽△CDB,∴=.
同理可证△BMN∽△BAC,∴=.
∵BN+CN=BC,∴+=1,
∴+=1,
即+=1,
解得MN=.
11.　[解析]∵DE=2EF,
∴可设EF=x,则DE=2x.
∵四边形DEFG是矩形,
∴GF∥AB,DG=EF,∠GDE=∠FED=90°,
∴△CGF∽△CAB,
∴===,即=,
∴AB=,
∴AD+BE=AB-DE=-2x=x.
∵AC=BC,∴∠A=∠B.
在△ADG和△BEF中,
∴△ADG≌△BEF(AAS),
∴AD=BE=x.
在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE2+EF2=BF2,
即x2+x2=32,
解得x=或x=-(舍去),
∴EF=.
12.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,∴=,
∴=,解得BC=9(m).
答:楼高BC为9m.
13.解:(1)证明:∵DE∥BC,DF∥AB,
∴△AED∽△ABC,△DFC∽△ABC,
∴△DFC∽△AED.
(2)∵CD=AC,∴=.
∵△DFC∽△AED,∴=2=.
14.解:(1)证明:∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,
即∠ACB=∠DCE.
又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEC.
(2)∵△ABC∽△DEC,
∴=2=,
∴=.
又∵BC=6,∴EC=9.
15.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵CF是☉O的切线,OC为☉O的半径,
∴∠OCF=90°,
∴∠OCA+∠ACF=90°.
∵OE=OC,∴∠E=∠OCE.
∵AE是☉O的直径,∴∠ACE=90°,
∴∠OCA+∠OCE=90°,
∴∠ACF=∠OCE=∠E.
又∵∠B=∠E,∴∠ACF=∠B.
(2)∵∠ACF=∠B,∠F=∠F,
∴△ACF∽△CBF,
∴==.
∵FA=2,FC=4,∴=,∴FB=8,
∴BC=AB=8-2=6,∴AC=3.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ACE=90°.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC,
∴=,即AD·AE=AB·AC=6×3=18.