2021-2022学年数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆的标准方程学案（word版 含答案 ）

椭圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 ____ (大于F1F2)的点的轨迹叫作 _____ ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 __ ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 __ ．
(2)集合语言：
P＝{M| ______________________ ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
　定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ______________(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ____________(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．
B.已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．
C.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．
D.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
题2. 已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
题3. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
类型一　求椭圆的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
　
题5. 在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
题6. 已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解题策略提醒】
待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：
依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
类型二　椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)
角度1　用定义法求椭圆的标准方程
【典例】题7.已知定点A(0，－2)，点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为________．
角度2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
【典例】题8.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是(　　)
A．5 B． C．5 D．
【解题策略提醒】
1．椭圆定义的应用
(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化．
(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题．
2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S＝PF1·PF2sin ∠F1PF2把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出PF1和PF2，这样可以减少运算量．
【课堂题组训练】
题9. 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
题10. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝ (　　)
A．6 B．7 C．5 D．8
题11. 椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
类型三　与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)
【典例】题12.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
题13．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【解题策略提醒】
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，
则可用定义法求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
类型四　求轨迹方程(数学运算)
【典例】题14.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
题15．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【解题策略提醒】
代入(相关点)法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
【课堂题组训练】
题16.已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
【课后巩固习题】
题17. 方程＋＝10化简的结果是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
题18. 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋x2＝1
题19. 椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为(　　)
A．8 B．10 C．16 D．22
题20. 设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
题21. 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
椭圆的标准方程
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程的求法．
2、理解并掌握椭圆定义及其应用．
3、理解并掌握与椭圆有关的轨迹问题．
4、理解并掌握轨迹方程的求法.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的轨迹问题；
难点：轨迹方程的求法．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数 (大于F1F2)的点的轨迹叫作 椭圆 ，两个定点F1，F2叫作椭圆的 焦点 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 ．
(2)集合语言：
P＝{M| MF1＋MF2＝2a ，2a>F1F2}．
【课前预习思考】
　定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
提示：(1)当PF1＋PF2＝2a(2)当PF1＋PF2＝2a＝F1F2时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦点在y轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
【课前预习思考】
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．
B.已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．
C.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．
D.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
【答案】ABD
【解析】A×.因为2a＝F1F2＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．
B×.2aC√.符合椭圆的定义．
D×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
故选ABD.
题2. 已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】选D.由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.
题3. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为，由椭圆的定义得2a＝＋
＝＋＝＋＝2，
所以a＝，b＝＝2.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
类型一　求椭圆的标准方程(数学运算)
【课堂题组训练】
题4. 已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
　【解析】选A.因为F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
题5. 在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.由于动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10>F1F2，故P点的轨迹为椭圆，所以2a＝10，a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，所以P点的轨迹方程为＋＝1.
题6. 已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由题意可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±，令y＝0，可得x＝－1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
【解题策略提醒】
待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：
依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
类型二　椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)
角度1　用定义法求椭圆的标准方程
【典例】题7.已知定点A(0，－2)，点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为________．
【思路导引】先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，利用椭圆的定义，作出判断．
【解析】如图，由题意，得PA＝PB，
所以PA＋PC＝PB＋PC＝r＝6＞AC＝4，
所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c＝2，a＝3，所以b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
角度2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
【典例】题8.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是(　　)
A．5 B． C．5 D．
【思路导引】PF1＋PF2＝6，F1F2＝4.用余弦定理可解出PF1，再套用面积公式．
【解析】选D.由题意可得a＝3，c＝＝2.
设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos ∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m·F1F2·sin 60°＝××4×＝.
【解题策略提醒】
1．椭圆定义的应用
(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化．
(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题．
2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S＝PF1·PF2sin ∠F1PF2把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出PF1和PF2，这样可以减少运算量．
【课堂题组训练】
题9. 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.如图，由已知可设F2B＝n，
则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos ∠F1AB＝＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.所以2a＝4n＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
题10. 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝ (　　)
A．6 B．7 C．5 D．8
【解析】选D.椭圆＋＝1对应的a＝5，由题意可得，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，若F2A＋F2B＝12，则AB＝20－12＝8.
题11. 椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝3，b＝，所以c＝，所以PF2＝2a－PF1＝2，
所以cos ∠F1PF2＝ eq \f(PF＋PF－F1F,2PF1·PF2) ＝－，所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
类型三　与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)
【典例】题12.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
【思路导引】点Q为OP的中点 点Q与点P的坐标关系 代入法求解．
【解析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,8) ＝1.所以＋＝1，即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
题13．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【思路导引】由圆的相切及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
【解题策略提醒】
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，
则可用定义法求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
类型四　求轨迹方程(数学运算)
【典例】题14.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1(x≠0) B. ＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
【思路导引】根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【解析】选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0).
题15．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【思路导引】利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用代入法求得轨迹方程．
【解析】设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，
所以因为 eq \f(x,25) ＋ eq \f(y,9) ＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝.
【解题策略提醒】
代入(相关点)法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
【课堂题组训练】
题16.已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0).
因为，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4.
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1.
【课后巩固习题】
题17. 方程＋＝10化简的结果是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选B.方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10，
且10＞2＋2，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21.所以椭圆的方程为：＋＝1.
题18. 已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋x2＝1
【解析】选A.c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
题19. 椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为(　　)
A．8 B．10 C．16 D．22
【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为△F1MN的中位线，所以MF1＋MN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×2a＝12，F1N＝2F1F2＝4c＝4＝4，
所以△MF1N的周长为12＋4＝16.
题20. 设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【解析】选D.当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2，
当a＋>6＝F1F2时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．
题21. 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，所以PF1＝4，PF2＝2，所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，故△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
答案：4