2021-2022学年数学苏教版（2019）选择性必修第一册3.1.2 椭圆的几何性质教案

编号：015 课题:§3.1.2.1 椭圆的几何性质
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程形式．
2、理解并掌握椭圆的几何性质．
3、理解并掌握椭圆的离心率的求法．
4、理解并掌握由椭圆的性质求椭圆的标准方程.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：椭圆的离心率的求法；
难点：由椭圆的性质求椭圆的标准方程．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数____，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径：右焦半径： 下焦半径：上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
【课前预习思考】
　(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
2．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比______．
(2)记法：e＝____．
(3)范围：_________．
(4)e与椭圆形状的关系：e越接近_____，椭圆越扁平，e越接近______，椭圆越接近于圆
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．
C.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.
D.设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).
题2. 椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为 (　　)
A．2，1 B．4，2 C．，1 D．2，2
题3. 已知椭圆＋＝1，F1为左焦点，A为右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
题4. 在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则PA的最大值与最小值的积为________．
类型一　椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)
【课堂题组训练】
题5. 椭圆C：4x2＋y2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为 (　　)
A．8，4，(±2，0) B．8，4，(0，±2)
C．4，2，(±2，0) D．4，2，(0，±2)
题6. 若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，1 B．2＋，2－ C．2，1 D．＋1，－1
题7. 已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于 (　　)
A．± B．± C．± D．±2
类型二　求椭圆的离心率(数学运算)
【典例】题8. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为 (　　)
A．1－ B．2－ C． D．－1
题9. 已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【解题策略提醒】
求椭圆离心率及范围的两种方法
　(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
【课堂题组训练】
题10. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
类型三　由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)
【典例】题11. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【解题策略提醒】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
　1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【课堂题组训练】
题12．椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为______________．
题13. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【教师备选类型】　分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)
【典例】题14. 已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 (　　)
A．3 B．或3 C． D．或
【课堂题组训练】
题15. 已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于 (　　)
A．2 B．2或 C．2或6 D．2或8
【课后巩固习题】
题16. 椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为 (　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
题17. 椭圆x2＋4y2＝4的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
题18. 已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ (　　)
A．3或－ B．3 C．－ D．6－9
题19. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．
题20. 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是________．
编号：015 课题:§3.1.2.1 椭圆的几何性质
目标要求
1、理解并掌握椭圆的标准方程形式．
2、理解并掌握椭圆的几何性质．
3、理解并掌握椭圆的离心率的求法．
4、理解并掌握由椭圆的性质求椭圆的标准方程.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：椭圆的离心率的求法；
难点：由椭圆的性质求椭圆的标准方程．
教学过程
基础知识点
1. 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
焦半径 左焦半径：右焦半径： 下焦半径：上焦半径：
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式 ，
【课前预习思考】
　(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
提示：在曲线的方程里，
①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称．
②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称．
③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
2．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近 1 ，椭圆越扁平，e越接近 0 ，椭圆越接近于圆.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．
C.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.
D.设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).
【答案】ABC
【解析】A×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a.
B×.离心率 e 越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
C×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1.
D√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
故选ABC.
题2. 椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为 (　　)
A．2，1 B．4，2 C．，1 D．2，2
【解析】选B.由椭圆＋＝1，可得a2＝4，b2＝3，所以a＝2，b＝，又由c＝＝1，所以椭圆的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2.
题3. 已知椭圆＋＝1，F1为左焦点，A为右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.由题设圆的半径r＝，则b2＋＝，即a2－c2＝ac e2＋e－1＝0，解得e＝.
题4. 在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则PA的最大值与最小值的积为________．
【解析】设点P的坐标为，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以PA＝＝＝＝.
当x＝－时，PA取最小值；当x＝2时，PA取最大值3.因此PA的最大值与最小值的积为3×＝.
答案：
类型一　椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)
【课堂题组训练】
题5. 椭圆C：4x2＋y2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为 (　　)
A．8，4，(±2，0) B．8，4，(0，±2)
C．4，2，(±2，0) D．4，2，(0，±2)
【解析】选B.椭圆C：4x2＋y2＝16，即＋＝1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，±2).
题6. 若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为(　　)
A．3，1 B．2＋，2－ C．2，1 D．＋1，－1
【解析】选A.椭圆C：＋＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
题7. 已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于 (　　)
A．± B．± C．± D．±2
【解析】选A.联立 (b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±，由题意知＝c①，
因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，
代入①可得＝c2 k＝±.
类型二　求椭圆的离心率(数学运算)
【典例】题8. 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为 (　　)
A．1－ B．2－ C． D．－1
【思路导引】设PF2＝m，则根据平面几何知识可求F1F2，PF1，再结合椭圆定义可求离心率．
【解析】选D.在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设PF2＝m，则2c＝F1F2＝2m，PF1＝m，
又由椭圆定义可知2a＝PF1＋PF2＝(＋1)m，
则离心率e＝＝＝＝－1.
题9. 已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【思路导引】根据∠ABF＝90°可知kAB·kBF＝－1，转化成关于a，b，c的关系式，再根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
【解析】选A.根据题意得A，B，F，
因为∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，即×＝－1，所以＝1，即b2＝ac.
又因为c2＝a2－b2，所以c2－a2＋ac＝0，等号两边同除以a2得2＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，
所以e＝－(舍)或e＝.
【解题策略提醒】
求椭圆离心率及范围的两种方法
　(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
【课堂题组训练】
题10. 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由题意得a2－4＝4，所以a2＝8，所以|a|＝2，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
类型三　由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)
【典例】题11. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【思路导引】(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
方法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)
【解析】(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
因为e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，
因为e＝＝＝＝，解得a2＝27.所以椭圆的方程为＋＝1.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)且OF＝c，A1A2＝2b，所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【解题策略提醒】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
　1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【课堂题组训练】
题12．椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为______________．该椭圆的离心率为__________________.
【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，上焦点为F1(0，2)，下焦点为F2(0，－2)，根据椭圆的定义知，2a＝AF1＋AF2＝3＋＝8，即a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此，椭圆的标准方程为＋＝1.离心率为.
答案：＋＝1
题13. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得所以椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有得所以所求的椭圆方程为＋＝1.
【教师备选类型】　分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)
【典例】题14. 已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 (　　)
A．3 B．或3 C． D．或
【思路导引】分5>m，5【解析】选B.由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5【解题策略提醒】
　利用椭圆的离心率求参数，解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论．
【课堂题组训练】
题15. 已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于 (　　)
A．2 B．2或 C．2或6 D．2或8
【解析】选D.若焦点在x轴上时，a2＝，b2＝，根据e＝＝ ＝ ＝ ＝，即＝ m＝2；若焦点在y轴上时，a2＝，b2＝即＝ m＝8，所以m等于2或8.
【课后巩固习题】
题16. 椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为 (　　)
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【解析】选D.方程化为标准方程形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，所以a＝，所以长轴的端点坐标为(0，)和(0，－).
题17. 椭圆x2＋4y2＝4的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以e＝＝.
题18. 已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝ (　　)
A．3或－ B．3 C．－ D．6－9
【解析】选B.根据题意，椭圆的焦点在y轴上，所以a2＝m＋9，b2＝9，可得c2＝a2－b2＝m，
又因为椭圆的离心率为，所以＝ ＝＝，解得m＝3.
题19. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．
【解析】由椭圆的定义可得，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a.
又因为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4，所以4a＝4，解得a＝，
又因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
题20. 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是________．
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，故可得5a>4a2＋1，解得a∈.
又e＝＝，
又对勾函数y＝4a＋在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当a＝时，y＝5；a＝时，y＝4；a＝1时，y＝5，故y＝4a＋∈[4，5)，则1－∈，则e∈.
答案：
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