2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第三章 不等式 期末培优卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高一（上）必修第一册数学（苏教版2019）
第三章 不等式 期末培优卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．6
3．设，且，，则（ ）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
4．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
5．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
6．已知，则的最小值是（ ）
A．7 B． C．4 D．
7．已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知：，且，有以下4个结论：①，②，③，④中，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（ ）
A． B．
C． D．
10．若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为9
C．的最小值为
D．的最小值为
11．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为
B．已知，则的最小值为
C．若正数、满足，则的最小值为
D．设、为实数，若，则的最大值为.
12．若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为正实数，则的最小值为______．
14．已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
15．已知，，，则的最小值为___________.
16．已知不等式的解集为，则____，______；不等式的解集为________________．
四、解答题
17．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
18．某旅游公司在相距为的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．
（1）当游船以航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润收入成本）
（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？
19．（1）已知，，，求证：．
（2）证明：．
20．若不等式的解集是．
（1）求的值；
（2）解不等式．
21．（1）已知，求的最大值
（2）已知，均为正实数，若，求的最大值
22．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求的最小值.
解：利用基本不等式，得到， 于是，当且仅当时，取到最小值.
（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；
（提示：）
（2）研究上的最小值；
（3）求出当时，的最小值.
参考答案
1．B
【解析】由，为正实数，，当且仅当时等号成立
若，可得，故必要性成立；
当，此时，但，故充分性不成立；
因此“”是“”的必要不充分条件
故选：B
2．D
【解析】不等式的解集为，
，
原不等式等价于，
由韦达定理知，，
，，
．
故选：D．
3．C
【解析】当无限接近0时，为正数，趋近于正无穷大，所以无最大值，
当且仅当即时取等号，即最小值为2
故选：C
4．C
【解析】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
5．B
【解析】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
6．D
【解析】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，有最小值.
故选：D.
7．B
【解析】，
因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
故选：B.
8．B
【解析】由立方差公式可得，则，
又，，即，，故①正确；
，当时取等号，则，则，即，故②正确；
，，故③错误；
，，，则，则，故④错误.
综上，正确的有2个.
故选：B.
9．AC
【解析】解：根据图形，利用射影定理得：，又，，
所以
由于，
所以．
由于，
所以．
故选：．
10．ABD
【解析】因均为正数，且，
则有，当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确；
，当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确；
显然，在上单调递减，无最小值，C不正确；
，当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确.
故选：ABD
11．BCD
【解析】对于A选项，当时，，A选项错误；
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，B选项正确；
对于C选项，若正数、满足，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，
，
所以，，可得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确.
故选：BCD.
12．ABD
【解析】A．因为，取等号时，故正确；
B．因为，所以，取等号时，故正确；
C．因为，取等号时，故错误；
D．因为，当时取最小值为，故正确；
故选：ABD.
13．3．
【解析】解：因为为正实数，所以，
所以根据基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
14．##
【解析】由得，
又，为正实数，所以，得，
则，
，
当且仅当,即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
15．
【解析】因为，，，
所以，由得，，
则，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，
故答案为：.
16．
【解析】因为关于x的不等式的解集为
所以和为方程的两根，且，
由韦达定理可得，解得，
所以不等式化为，
即，解得.
即不等式的解集为
故答案为：；1；
17．
（1）75人
（2）存在，7
（1）
依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，()
解得，
又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）
假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有，解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，
，即存在这样的m满足条件，其范围为.
18．（1）4750元；（2）游轮的航速应为，最大利润是4800元．
【解析】解：（1）设游船的速度为，旅游公司单程获得的利润为（元，
因为游船的燃料费用为每小时元，依题意，则．
所以．
时，元；
（2），
当且仅当，即时，取等号．
所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为，最大利润是4800元．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，，
所以．
当且仅当即时等号成立，
所以，原不等式得证；
（2）
当且仅当即时等号成立，
故原不等式得证.
20．（1）；（2）．
【解析】（1）因为不等式的解集是，
所以，且和1是方程的两实数根，
所以，
解得；
（2）由（1）知，不等式可化为，
即，即，
解得，
所以该不等式的解集为．
21．（1）4；（2）1．
【解析】解：（1）已知，∴．
∴
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴
∴
∴时，取得最大值为4
（2）解：∵，，
∴
当且仅当，
即时，等号成立，
∴
∴
∴的最大值为1
22．（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由，
知，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，
知
当且仅当时，取到最小值；
（3）由，
知；
当且仅当时，取到最小值．