2021年秋季期高二阶段检测五校联考
数学试题
、单选题〔想5分,共60分)
1.下面四个条件中,便a>b成立的充分不必要条件是()
A.a≥b+l
B. a>6-1
c, a>b
b3
2.已知命题p某班所有的男生都愛踢足球,则命题肀为()
气某班至多有一个男生愛踢足球B.某班至少有一个男生不爱踢足球
C某班所有的男生都不受踢足球D.某班所有的女生都爱踢足球
3.下列命题中为真命题的是()
A.命题“若x>y,则x>|”的逆命题
命题“x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1.则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x21,则x2l”的逆否命题
4.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B.“至少有一个黑球与“至少有一个红球
C.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球
5.如图,在方格纸中,随机透择标有序号①②③通③中的一个小正
方形涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是
B
6.国际数学教有大会(CME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议第十四届大
会于2021年7月11日-18日在上海市华东师范大学成功举办,其会标如图,包含着许多数学
素主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的
ECME14下方三E〓器"是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数
3744,也可以读出其二进制码(0)110100受疫情影响,第十四届大会在原定的举办时
问上有所推迟,已知上述二进制和八进制数转换为十进制,即是第十四届大会原定的举办时间,
则第十四届数学教育大会原定于()年举行
A.2018
B.2019
1CMG-14
C.2020
D.2021
7.从编号1~100的100位同学中用系统抽样的方法随机抽取5位同学了解他们的学习状况,
石编号为51的同学被抽到,则下面4位同学的编号蔽抽到的是()
C, 81
u年事期离二阶数学控测试卷
若直线y-÷+m与曲线C=小-有且仅有三个交点,则实数m的取值是
三、解答题
17.(10分)已知命题P;存在实数xeR,使得x2-am+150成立;命题q对任意实数xE[2],
都有2a≥x+一成立
(1)若命题P为真命题,求实数a的取值范围
(2)若Pvq是假合题,求实数a的取值范国
18.(12分)某中学作为藍色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测
试,按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下:第一组[65,70),第二组[70,75)
第三组冂5,80),第四组[80,85),第五组[85,90).得到频率分布直方图如图
(1)求测试成绩在80,85)内的频率;
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宜讲小组,定期在校
内进行义务宣讲,并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求
第四组至少有1名学生被抽中的概
0
19.(12分)设函数f(x)=x2+2ax-b2+4
(1)若a是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数,b是从0、1、2三个数中任取的一
个数,求函数(x)无零点的概率
(2)若a是从区间[2]任取的一个数,b是从区间Q2任取的一个数,求函数∫(x)无零点
的概率
202年秋期高二阶段败学验测试兽2021 年秋季期高二阶段检测参考答案
1．A 2.B 3．A 4．A .5．C 6.C 7．B 8．B 9．C
p
10．B 抛物线的焦点坐标为 ,0 ，
2
所以直线 AB为 y 2
x p 2 2 2
，将其代入抛物线方程可得 y py p 0，
设 A(x1, y1),B(x2 , y2) ，则 y1 y2 p， 因为线段 AB中点的纵坐标为 1，
y1 y2 p p所以 1， 所以准线方程为 x 1，
2 2 2
2
11 D a2 1,b2 5 1
5 3 2 5 6 5 1
． 对于①，因为 ，∴ c2 ，2 2 4 2
e 5 1∴ ，故①正确；
2
对于②，由b2 ac c2 a2 ，得 e2 1 5 e 1 0，可求得 e ，故②正确；
2
b b 1 5
对于③，由∠FBA=90°得 kFB kAB 1，即 ( ) 1，得b2 ac，由②知， e ，c a 2
故③正确；
2b2 1 5
对于④，若∠MON=90°，易知 MN 2c，又 MN ，∴b2 ac，由②知， e ，
a 2
故④正确.
2 2 2
12．B 设P x0 , y x0 y 0 1 a b 0 y2 b2 1 x 00 ，则 ， ∴2 2 0 a2 ，
a b
2
由PF 21 PF2 c ，∴ c x0 , y0 c x0 , y0 c ，
2 2
x2 c2 y2 c2 x 2 b 2
x
化为 ，∴ 1 0 2c
2
， 整理得 x2 a0 0 0 a 2 0 2 3c
2 a2 ，
c
2
0 x2 2 a∵ a ，∴0 3c20 2 a2 a2 3， 解得 e 2 ，c 3 2
13．12 ∵ f x 2x5 3x3 2x2 x 3 2x 0 x 3 x 2 x 1 x 3
当 x 2时， v0 2， v1 4， v2 5， v3 12
14 6 2． 双曲线的焦点坐标是 a 1,0 ，代入圆的方程，
2
2
得 a2 1 a 2 4，2a2 1 4，a 0， 解得：a 6 .2
2 2
15 8 5 x y． 由椭圆 1，则 a2 5， b2 4，
5 5 4
所以 c a2 b2 1，
所以椭圆的左、右焦点 F1 1,0 ，F2 1,0 ，即 F1F2 2，
过F1作 x轴的垂线与椭圆相交于 A，B两点，易知 x 1与椭圆交于 A，B两点，
x2 y2
将 x 1代入椭圆 1，解得 y 4 5 ，
5 4 5
AB 8 5 S 1 AB F F 8 5所以 ，即
5 ABF
.
2 2 1 2 5
1
16． 1, 2 1 2 2 2解：∵ y 4 x ， ∴ 2y 4 x2 ， 即 4y 4 x y 0 ，2
x2
当 4 x2 0时，得到 4y2 4 x2 ，即 y2 1 y 0 ，
4
2
当 4 x2 0时，得到 4y2 x2 4
x
，即 y2 1 y 0 ，
4
由以上可得曲线C的图形为椭圆的上半部分与双曲线的上半部分，如图
x x2
∵直线 l : y m与双曲线 y2 1的渐近线平行，
2 4
∴当直线 l经过点 A 2,0 时与曲线C有两个交点，此时m 1，向上平移则有三个交点，
y
x
m
2
又由 2 消元得 x
2 2mx 2m 2 2 0，
x y2 1
4
由 4m2 4 2m2 2 8 4m2 0得
2 m 2 ，
由此可得实数m的取值范围是 1, 2 ，
17．（1）由命题 p：存在实数 x R ，使得 x2 ax 1 0成立，
可得 ( a)2 4 1 1 a2 4 0 ，…………2|分
解得 a 2或 a 2，…………4分
所以实数 a的取值范围为 ( , 2] [2, ) .…………5分
（2）由命题q：对任意实数 x 1,2 ，都有 2a x 1 成立，
x
因为 x 1,2 1 1 5 5时，根据函数 y x 的性质，可得 2 x ，所以 a ，…………8分
x x 2 4
又因为命题 p q是假命题，所以命题 p和q都是假命题，
2 a 2
可得 5 ，解得 2 a 54，…………9分 a 4
a 2, 5 即实数 的取值范围 ．…………10分
4
18．（1）测试成绩在[80，85）内的频率为：1 0.01 0.07 0.06 0.02 5 0.2………2分
（2）第三组的人数等于0.06 5 100=30 ,第四组的人数等于0.2 100=20，
第五组的人数等于0.02 5 100=10，
分组抽样各组的人数为第三组 3人，第四组 2人，第五组 1人. …………5分
设第三组抽到的 3人为 A1, A2 , A3，第四组抽到的 2人为 B1，B2 ,第五组抽到的 1人为C .
这 6名同学中随机选取 2名的可能情况有 15种，如下：
A1，A2 ， A1，A3 ， A1，B1 ， A1，B2 ， A1，C , A2，A3 ， A2，B1 ， A2，B2 ，
A2，C , A3，B1 ， A3，B2 ， A3，C , B1，B2 ， B1，C , B2，C . …………8分
设“第四组 2名同学至少有一名同学被抽中”为事件M ,事件M包含的事件个数有 9种，即：
A1，B1 ， A1，B2 ， A2，B1 , A2，B2 , A3，B1 , A3，B2 ， B1，B2 ， B1，C , B2，C . .11分
9 3
所以, 事件M的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为 P M = ．………12分
15 5
2
19．（1）函数 f x x2 2ax b2 4无零点等价于方程 x2 2ax b2 4 0无实根，…1分
2
可得 4a 4 4 b2 4a2 4b2 16 0， 可得a2 b2 4，……3分
A f x x2 2ax b2记事件 为函数 4无零点，总的基本事件有 2,0 ， 2,1 ， 2,2 ，
1,0 ， 1,1 ， 1,2 ， 0,0 ， 0,1 ， 0,2 ， 1,0 ， 1,1 ， 1,2 ， 2,0 ， 2,1 ， 2, 2
共15个，事件A包含的基本事件有： 1,0 ， 1,1 ， 0,0 ， 0,1 ， 1,0 ， 1,1 共有6个，
6 2
所以 P A ……6分
15 5
（2））如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）
a,b | 2 a 2,0 b 2 ，
事件A所构成的区域为 A a,b | a2 b2 4且 a,b 即
图中的阴影部分，
1
π 22
所以 P(A) S π A 2 ……12分
S 2 4 4
x 1 2 3 4 5 y 90 105 125 14020．解：（1） ， 115，……2分
4 2 4
4
xi yi 4xy
b i 1 1235 1150则 4 17
5
， a y b x 115 17 72.5，……4分
x2i 4x 2 30 25 2
i 1
故所求回归直线方程为 y 17x 72.5，……5分
令 x 5，则 y 17 5 72.5 157.5 158个，
预测该市 2021年 5月新增“微商电商”的个数约为 158个.……6分
n n n
（2） xi y 2i nxy 1235 1150 85， xi n(x )2 5， y2 n y 2i 1450
i 1 i 1 i 1
n
xi yi nxy
r i 1 17 17所以 0.998 0.9……11分
n x2 n(x )2
n 290 17.0294
y2 n(y )2 i i
i 1 i 1
故该线性回归方程的拟合效果非常好. ……12分
2 2 3
21．（1）椭圆C : x y 1过点 P 1, ,
1 c 1
2 2 离心率为 ,
2 2 2
2 又 a b c ，联立方程a b 2 a 2
1 9
2 2 1
a 4b
c 1 x
2 y2
可得： 解得： a2 4,b2 3……3分 椭圆 C的方程a 2 1
.……4分
4 3
a2 b2 c2
（2）由（1）知 F1 1,0 ，
3 3
①当 l的倾斜角是 时，l的方程为 x 1， 交点 A 1, ,B 1,2 2 2
，
S 1 AB F F 1 3 2 3 12 2此时 ABF 1 2 ，不合题意；……5分2 2 2 7
②当 l的倾斜角不是 时，设 l的斜率为 k，则其直线方程为 y k x 1 ，
2
3
x2 y2
1
由 4 3 消去 y得： 4k 2 3 x2 8k 2x 4k 2 12 0 ，……6分
y k x 1 ,
2 2
设 A x1, y1 ,B x2 , y 8k2 ，则 x1 x2 2 , x x
4k 12
1 2 2 ，……7分4k 3 4k 3
S 1 1 F AB S F F B S2 1 2 F1F A F1F 2 y 1 y 2 2 y1 y2 k x2 2 2 1 1 k x2 1
| k | x x 21 2 | k | x1 x
2
2 4x1x2
8k 2
2
| k | 4 4k
2 12 12 | k | k 2 1
4k 2 3
……9分
4k
2 3 4k 2 3
12 2
又 已知 S F2AB 7
12 k k 2 1 12 2 2 2
17k 4 k 2 18 0 k 1 17k 18 0 k 2 1 0
4k 2 3 7
解得 k 1……11分
故直线 l的方程为 y 1 x 1 即 x y 1 0或 x y 1 0 .……12分
22．（1）由题意可知： F 0,
p
2
直线 y kx 1
p
过抛物线 x2 2py(p 0)的焦点 F ， 1，即 p 2，
2
故所求抛物线的方程为： x2 4y .……4分
S 1（2） FCD |CD | y
1
|CD | 1 2， |CD | 4……5分
2 F 2
A x1, y1 ，B x2 , y2
y kx 1
，由 2 得： 2 ，……6分
x 4 y
x 4kx 4 0
x x 21 2 4k，则 y1 y2 2 4k ……7分
x x y y y y
Q AB 过抛物线的焦点，故以 AB为直径的圆的圆心为 1 2 1 2 , ，半径为 1 2 1
2 2 2
2 2
|CD | y y y y 2 1 2 1 2 1 2 y1 y2 1 2 4k
2 3 4，……8分
2 2
k 2 1 1 1，可得 k 或 k ……10分
4 2 2
k
1 1
的取值范围为： ,
2
, 2
.……12分
4
