2021-2022学年高一上学期数学 人教B版（2019）必修第二册-第六章 平面向量初步尖子生训练卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高一上学期数学 人教B版（2019）必修第二册-第六章 平面向量初步尖子生训练卷（Word含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 22:47:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年高一（上）必修第二册数学（人教B版2019）
第六章 平面向量初步 尖子生训练卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（ ）
A． B．1
C． D．2
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
7．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是
A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使
B．在中，
C．不等式中两个等式不可能同时成立
D．向量不共线，则向量与向量必不共线
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若，则存在实数使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数使得，则
11．设向量，，则下列叙述错误的是
A．若时，则与的夹角为钝角
B．的最小值为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
12．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若与平行，则实数的值为____．
14．设点为所在平面内一点，，且，则_______．
15．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
16．若，，则平分线上的向量可以表示为________．
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
18．设向量，不共线．若，，．若，，三点共线，求实数的值．
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
20．已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐标；
（2）当为何值时，与垂直；
（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
21．已知，，，设，，.
（1）求的值；
（2）求满足的实数m，n的值；
（3）若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求.
22．如图，分别是矩形的边和的中点，与交于点．
（1）若，求：的值；
（2）设，试用表示；
（3）若，是线段上的一动点，求的最大值．
参考答案
1．B
【解析】∵ AD为边BC上的中线，
∴ ，
又BE为边AC上的中线，
∴ ，
又，
∴ ，
∴，
故选：B.
2．B
【解析】
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
3．A
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则；显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
4．B
【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
5．B
【解析】由，可得
由与相似，可得,所以
又,则,即
所以,所以，则
故
故选：B.
6．D
【解析】，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
7．D
【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，
，
故选：．
8．D
【解析】A不正确，当时，有无数个实数满足.
B不正确，在中，.
C不正确，当时，不等式化为，不等式中的等号显然成立.
D正确，∵向量与不共线，∴，与均不为零向量.若与平行，则存在实数，使，即，∴无解，故假设不成立，即与不平行，故选D.
9．AB
【解析】，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即C错误
同理
，即
∴，即D错误
故选：AB
10．AB
【解析】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；
若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；
若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.
故选：AB.
11．CD
【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，
解得且，A选项中的命题正确；
对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；
对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.
故选：CD.
12．BCD
【解析】由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
13．2
【解析】因为，，
所以，，
又因为与平行，
所以，解得，
故答案为：2.
14．1
【解析】因为，所以，
，
所以， ．
故答案为：1
15．
【解析】解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
16．，
【解析】解：，，
，，
以，为邻边作平行四边形则为菱形，
平分，
根据向量加法的平行四边形法则可得：
，
，共线，
由共线定理可得存在唯一的实数使得：
.
故答案为：，.
17．证明见解析.
【解析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，，则.
因为点C分为，所以
因为点D为的中点，所以.
因为点A，P，D共线，所以.
又，，所以.
同理由点B，P，C共线，可得，
由点O，P，E共线，可得.解得.所以.
18．.
【解析】解：由，不共线且，，三点共线
存在实数，使得
又，
，
，则
故答案为：
19．（1）（2）（3）.
【解析】（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得，．
（2）．
（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以．
设，则，
因为，
所以解得
即点的坐标为．
20．（1）或；（2）；（3）.
【解析】（1）设，，
因为，所以，因为，所以，
解得：或，所以或.
（2），，
因为与垂直，所以，解得：.
（3），，
因为与的夹角为锐角，所以解得：且，
即.
21．（1）（2）（3）
【解析】解析（1）∵，，，且，，，
∴，，，
∴，
（2），∴，解得.
（3）∵线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为（点N靠近点B），
∴，,
∴M点坐标为，N点坐标为，∴.
22．（1）1；（2）；（3）
【解析】（1），
又，所以.
（2）取的中点，连则，
因为，
所以.
（3）以为原点，，分别为轴，建立直角坐标系，
则，直线的方程为：，
设，则，
所以，
当时等号成立.
第六章 平面向量初步 尖子生训练卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（ ）
A． B．1
C． D．2
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
7．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是
A．向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使
B．在中，
C．不等式中两个等式不可能同时成立
D．向量不共线，则向量与向量必不共线
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若，则存在实数使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数使得，则
11．设向量，，则下列叙述错误的是
A．若时，则与的夹角为钝角
B．的最小值为
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若，则或
12．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若与平行，则实数的值为____．
14．设点为所在平面内一点，，且，则_______．
15．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
16．若，，则平分线上的向量可以表示为________．
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
18．设向量，不共线．若，，．若，，三点共线，求实数的值．
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
20．已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐标；
（2）当为何值时，与垂直；
（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
21．已知，，，设，，.
（1）求的值；
（2）求满足的实数m，n的值；
（3）若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求.
22．如图，分别是矩形的边和的中点，与交于点．
（1）若，求：的值；
（2）设，试用表示；
（3）若，是线段上的一动点，求的最大值．
参考答案
1．B
【解析】∵ AD为边BC上的中线，
∴ ，
又BE为边AC上的中线，
∴ ，
又，
∴ ，
∴，
故选：B.
2．B
【解析】
因为点是的三等分点，则，
又由点三点共线，则，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为 ，则有,
解可得或(舍），故，
故选：B.
3．A
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则；显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
4．B
【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
5．B
【解析】由，可得
由与相似，可得,所以
又,则,即
所以,所以，则
故
故选：B.
6．D
【解析】，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
7．D
【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，
，
故选：．
8．D
【解析】A不正确，当时，有无数个实数满足.
B不正确，在中，.
C不正确，当时，不等式化为，不等式中的等号显然成立.
D正确，∵向量与不共线，∴，与均不为零向量.若与平行，则存在实数，使，即，∴无解，故假设不成立，即与不平行，故选D.
9．AB
【解析】，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示
由其性质有
∴，即C错误
同理
，即
∴，即D错误
故选：AB
10．AB
【解析】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；
若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；
若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.
故选：AB.
11．CD
【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，
解得且，A选项中的命题正确；
对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；
对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.
故选：CD.
12．BCD
【解析】由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
13．2
【解析】因为，，
所以，，
又因为与平行，
所以，解得，
故答案为：2.
14．1
【解析】因为，所以，
，
所以， ．
故答案为：1
15．
【解析】解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
16．，
【解析】解：，，
，，
以，为邻边作平行四边形则为菱形，
平分，
根据向量加法的平行四边形法则可得：
，
，共线，
由共线定理可得存在唯一的实数使得：
.
故答案为：，.
17．证明见解析.
【解析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，，则.
因为点C分为，所以
因为点D为的中点，所以.
因为点A，P，D共线，所以.
又，，所以.
同理由点B，P，C共线，可得，
由点O，P，E共线，可得.解得.所以.
18．.
【解析】解：由，不共线且，，三点共线
存在实数，使得
又，
，
，则
故答案为：
19．（1）（2）（3）.
【解析】（1）．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得，．
（2）．
（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以．
设，则，
因为，
所以解得
即点的坐标为．
20．（1）或；（2）；（3）.
【解析】（1）设，，
因为，所以，因为，所以，
解得：或，所以或.
（2），，
因为与垂直，所以，解得：.
（3），，
因为与的夹角为锐角，所以解得：且，
即.
21．（1）（2）（3）
【解析】解析（1）∵，，，且，，，
∴，，，
∴，
（2），∴，解得.
（3）∵线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为（点N靠近点B），
∴，,
∴M点坐标为，N点坐标为，∴.
22．（1）1；（2）；（3）
【解析】（1），
又，所以.
（2）取的中点，连则，
因为，
所以.
（3）以为原点，，分别为轴，建立直角坐标系，
则，直线的方程为：，
设，则，
所以，
当时等号成立.