2021—2022 学年度（上）高二年级省六校协作体期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分 150分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 a (1,k , 2)， b (2k ,2,4)，若 a b，则实数 k的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 2 D .1
2．直线 l1 : 2x y 1 0与直线 l2 : 4x 2y 3 a(2x y 1) 0(实数 a为参数)
的位置关系是( )
A. l1与l2相交 B. l1与l2平行
C. l1与l2重合 D . l1与l2的位置关系与 a的取值有关
3．已知椭圆 x2 my2 1(m 0)的焦点在 y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m
（ ）
1
A. 2 B. 1 C. D．44
4．方程 x 1 y2 y 1 x2 1的对应曲线图形是( )
y
y y
1 1 y
A B -1 C o x D
1
o x
o 1 x -1
o x
-1
-1
5．如图，在四面体 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列
正确的是( )
高二数学，共 6 页 第 1页
A. 平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE
B. 平面 ABD⊥平面 BDC
C. 平面 ABC⊥平面 ABD
D. 平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE
6．方程 x2 x cos sin 0的两个不等实根为m,n ,那么过点 A(m2 ,m),B(n2 ,n)
的直线与圆 x2 y2 1的位置关系是( )
A .相交 B .相切或相交 C .相切 D .与 的大小有关
2
C : x y
2
7．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)与直线 y kx交于 A,B两点，点P为Ca b
上一动点，记直线 PA ,PB的斜率分别为 k1,k2，C的左 右焦点分别为 F1,F2 .
1
若 k1k C2 ，且 的焦点到渐近线的距离为 1，则（ ）4
A． a 4
6
B．C的离心率为 2
C．若PF1 PF2，则△PF1F2的面积为 2 D．若△PF1F2的面积为 2 5，则
△PF1F2为钝角三角形
8.设 F1、F2 是椭圆mx
2 y 2 m (0 m 1)的左、右焦点， P是椭圆上任意一
| PF |2 1
点，若 2 的最小值是 ，则m的值为（ ）
| PF1 | 3
A 3 B 8． ． C 3 1． D．
4 9 2 9
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出
的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0分，部
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分选对的得 2 分。
9．已知直线 l : (t 2)x (t 1) y 3 0，则下述正确的是（ ）
A．直线 l的斜率可以等于 0 B．直线 l的斜率一直存在
C．直线 t 0.5时直线的倾斜角为 D．点P 1,3 到直线 l的最大距4
离为 2 2
10 ． 如 图 ， 菱 形 ABCD 边 长 为 2 ，
BAD 60 ，E 为边 AB 的中点.将△ADE
沿 DE 折起，使 A 到 A '，且平面 ADE 平
面 BCDE，连接 AB，AC.则下列结论中正
确的是（ ）
A．BD A C B．四面体 A 'CDE 的外接球表面积为8
C．BC 与 A '
3
D 所成角的余弦值为 D．直线 A'B与平面 A 'CD所成角的正弦4
6
值为
4
11．在平面直角坐标系 xoy中,已知点 P(x0 , y0 )和曲线C : x2 my 2 1，则对于
直线 l : x0x my0 y 1下列说法正确的是( )
A .若 x
1 1
0 , y2 0
,m 1，则直线 l与曲线C没有交点
2
B .若 x
1
0 , y0 1,m 1,则直线 l与曲线C有二个交点2
C 1 6 1.若 x0 , y0 ,m 则直线 l与曲线C有一个交点2 2 2
D .直线 l与曲线 C的位置关系和P在哪里无关
x2 y2
12．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左右焦点分别为F1、F2，长轴长为 4，点a b
P 2,1 在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
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1 2
A．离心率的取值范围为 0, QF QP 2 B
．当离心率为 时，
1
的最大
4
6
值为 4+
2
1 1
C．存在点Q使得QF1 QF2 0 D． QF QF 的最小值为 11 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知点P 1,1 和圆C : x2 y2 2mx 4y m 6 0，若过点 P作圆 C 的切线
有两条，则实数 m的取值范围是___________．
14．对任意的实数 ,求点 P( 2,2)到直线 (2 )x (1 )y 2(3 2 ) 0的距
离 d的取值范围为_________.
15．如图，在直角 ABC中，C ，BC 20，AB 40
2
现将其放置在平面 的上面，其中点 A，B在平面 的
C 同一侧，点 平面 ， BC与平面 所成的角为 6，
则点 A到平面 的最大距离是___________.
x2
16．设 P是椭圆M : y2 2 1上的任一点，EF为圆N : x2 y 2 1的任一条
2
直径，则 PE PF 的最大值为___________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。
2
17．已知动点C与两个定点 A(0，0),B(3，0)的距离之比为
2
（1）求动点C的轨迹方程T .
（2）若 ABC边 BC的中点为D，求动点D的轨迹方程T .
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18．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D在棱 A1B1
上，E，F 分别是 CC1 ，BC 的中点， AE A1B1 ，
AA1 AB AC 2．
（1）证明：DF AE ；
（2）当 D为 A1B1的中点时，求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
19．已知圆C : x2 y2 4x 4y 4 0.
（1）若过点 P(1,0)的直线 l与圆C相交所得的弦长为 2 3，求直线 l的方程;
（2）若Q是直线 l : 3x 4 y 6 0上的动点，QA,QB是圆C的两条切线，A,B
是切点，求四边形QACB面积的最小值.
20．如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD为菱形，且 BAD 60 ，
AA1 AB，E为 BB1的延长线上一点，D1E 平面D1AC
设 AB 2 .
（1）求二面角 E-AC-D1的大小.
（2）在线段 D1E 上是否存在一点 P ，使 A1P// 平面
EAC D P？若存在，求 1 的值；若不存在，请说明理由.
PE
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21．2021 年 9 月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出 3 艘舰艇在台
湾附近某海域进行实弹演习.某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可
视作静止的点)，如下图 A，B，C，且 OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信
4
号，A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早 v (注：信号传播速度0
为 v0 ),C 处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求假想敌舰所有可能出
现的位置的轨迹方程；
（2）在 A，B两处舰艇对假想敌舰攻击后，C处敌舰
派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果，则无人机飞
行的距离最少是多少？
x2 y2
22．设实数 k 0，椭圆 D： 1的右焦点为
6 2
F，过 F且斜率为 k 的直线交 D 于 P、Q 两点，若线
段 PQ 的中为 N，点 O 是坐标原点，直线 ON 交直线
x 3于点 M．
（1）若点 P 的横坐标为 1，求点 Q的横坐标；
PQ
（2）求证：MF PQ；（3）求 MF 的最大值．
高二数学，共 6 页 第 6页2021—2022学年度（上）高二年级省六校协作体期中考试答案
1、单项选择题：
1．C 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．D 8. B
二、多项选择题：
9．AC 10．BCD 11．ABC 12．BD
三、填空题：
13． 14．[0,4) 15．30 16．8
四、解答题：
17．（1）；（2）
设，由，则点的轨迹方程为………………………………………………………………5分.
由，则点的轨迹方程为，(或).
设，则，将代入
可得:，化简得:，(或).…………………………………………………………………10分（不抠点减2分）
18．（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：在直三棱柱中，有，
又，，平面，又平面，．
，，
如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
设，则，，
，．………………………………………………6分
（2）当D为的中点时，，，，
设平面DEF的法向量为，则，即令得，，
易知平面ABC的法向量为，所以，
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．………………………………6分
19．（1）或；（2）.
圆的方程化为标准式为:
（1）当斜率不存在时，代入圆方程得，弦长为，满足条件; …2分
当斜率存在时，设，即，圆心到直线的距离
解得:， ……………………………………………………………………………… 4分
，
所以直线方程为或………………………………………………6分
（2）当时，四边形面积取得最小值，……………………………………………………………8分
.…………………………………………………12分
20．（1）；（2）存在，.
（1）连接，交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，则，，.
∵平面，∴，，∴，∴，即，
∴，，
设平面的法向量为，由，得，令，则，
又平面的一个法向量为，
∴，由图知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的大小为；……………………………………………6分
（2）假设在线段上存在点满足题意，设，
得，
∵，，∴，
∴∵平面，∴，∴，∴，
∴存在点使平面，此时.……………………………………………12分
21．（1）；（2）
解：建立以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，
（1）设假想敌舰的位置，由题意可知，
由圆锥曲线的定义可知，该曲线是以，为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，
即，，，，
点的轨迹方程为：……………4分
（2）设方程上一点，由题意知， 即：………………………………………6分
故==
=，………………………………………10分
当时，．……………………………………………………12分
22．（1）；（2）证明见解析；（3）.
（1）因为点P的横坐标为1，由得P的坐标为或．F的坐标为．
当P的坐标为时，直线PQ：，即，
代入椭圆方程，，即，得Q的横坐标为.
当P的坐标为时，同样得Q的横坐标为.因此，点Q的横坐标为；………………………………………………………………………………………………………4分
（2）联立方程组，其解为，．
消去y，得，即．
由，所以N的横坐标为，
得N的纵坐标为，得N的坐标为．………6分
所以直线ON的斜率为，方程为，与直线交于点．
故直线FM的斜率为，于是，因此；…………………..…8分
（3）
．
令，由，得，
……………………....……10分
又，得．
即，所以的取值范围为，最大值为．……………12分
