安徽省安庆市外国语学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版含答案）

安庆市外国语学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题
1. 若，则下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A. y=（x+2）2+4 B. y=（x+2）2﹣4
C. y=（x﹣2）2+4 D. y=（x﹣2）2﹣4
3. 下面四组图形中，必是相似三角形为（　　）
A. 两个直角三角形
B. 两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C. 有一个角为40°的两个等腰三角形
D. 有一个角为100°的两个等腰三角形
4. 如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　)
A. 2：1 B. 3：1 C. 4：3 D. 3：2
5. 点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
A. B. 3 - C. D. -2
6. 下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A. y＝ B. y＝ C. y＝3x+2 D. y＝x2﹣3
7. 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　)
A. a＞1 B. －1＜a≤1 C. a＞0 D. －1＜a＜2
8. 若P是RtABC直角边BC（∠C=90 ，∠B≠∠A）上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）
A. 乙>丙>甲 B. 丙>乙>甲 C. 甲>丙>乙 D. 无法判断
10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①AEF∽CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=；其中正确的结论有（ ）个．
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题
11. 已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝_____cm．
12. 抛物线y=-x2-2x+m2-1，若其顶点在x轴上，则m=__________．
13. 如图，反比函数的图像经过直角OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为__________．
14. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是边AC上的动点(不与点A、C重合)，连接DE，将ADE沿直线DE翻折，得到，当AE的长为__________时，和ABC的一边平行．
三、解答题
15. 如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE长．
16. 已知抛物线y=x(x-2)+2，用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x+m)2+k的形式，并写出它的项点坐标．
17. 如图，直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图形上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）求OBC的面积；
18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF．
19. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得：当水面宽AB=1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m，离开水面1.5 m处是涵洞宽ED.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求ED的长.
20. 如图，相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4 m处，另一根电线杆钢索系在离地面6 m处，求中间两根钢索相交处点P离地面的距离．
21. 在ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位速度向B运动，同时点F从B出发，过点D作DEBC交AC于点E，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒．
（1） 若AB=5，BC=6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；
（2）连接AF、CD，若BD=DE，求证：∠BAF=∠BCD．
22. 已知二次函数y=x2-2ax+4a+2．
（1）若该函数图象与x轴的一个交点为(-1，0)，求a的值；
（2）不论a取何实数，该函数图象总经过一个定点．
①求出这个定点坐标；
②证明这个定点就是所有抛物线顶点纵坐标最大点．
23. 如图，锐角ADC，AO垂直平分BC交CD于O点，B是AD上一点，若记AOC面积为S1，BOD的面积S2，AOD的面积为S3；
（1）求证：；
（2）若= ．
①求证： BD=AC·AD；
②若OA=1，求 的值．
安庆市外国语学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题
1. 若，则下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例的性质分析即可，根据已知条件可得，再逐项分析即可
【详解】解：，
A. 由可得，，故该选项正确，不符合题意；
B. 由可得，，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意
故选D
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2. 将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）
A. y=（x+2）2+4 B. y=（x+2）2﹣4
C. y=（x﹣2）2+4 D. y=（x﹣2）2﹣4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，得：y=（x﹣2）2；再向上平移4个单位长度，得：y=（x﹣2）2+4．故选C．
考点：二次函数表达式的确定．
3. 下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）
A. 两个直角三角形
B. 两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C. 有一个角为40°的两个等腰三角形
D. 有一个角为100°的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和相似三角形的判定方法即可判定.
【详解】解：两个直角三角形不一定相似，因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似，因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质以及相似三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.
4. 如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　)
A. 2：1 B. 3：1 C. 4：3 D. 3：2
【答案】A
【解析】
【分析】通过观察图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论．
【详解】解：观察图形可知∠C和∠F对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴．
故选A.
【点睛】此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.
5. 点 P 是长度为 1 线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）
A. B. 3 - C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可．
【详解】点P是长度为 1 的线段上的黄金分割点，
∴较长的线段的长度为，则较短的线段的长度为：1-=；
故选C．
【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是本题的关键．
6. 下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A. y＝ B. y＝ C. y＝3x+2 D. y＝x2﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数及正比例函数的性质判定即可．
【详解】解：A、y＝，x＞0时y随x的增大而减小，故本选项正确，
B、y＝，y随x的增大而增大，故本选项错误，
C、y＝3x+2，y随x的增大而增大，故本选项错误，
D、y＝x2﹣3，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项错误.
故选A．
【点睛】本题考查了初中阶段常见的三种函数：一次函数，二次函数和反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握三类常见函数的性质是关键.
7. 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 (　　)
A. a＞1 B. －1＜a≤1 C. a＞0 D. －1＜a＜2
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为 ，所以在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，那么 ，又 ，所以取值范围是 .
故本题应选B.
8. 若P是RtABC直角边BC（∠C=90 ，∠B≠∠A）上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
9. 如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）
A. 乙>丙>甲 B. 丙>乙>甲 C. 甲>丙>乙 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，根据题意分别表示出甲、乙、丙的面积，然后进行比较即可求解．
【详解】如解图，过点作于点，
则，
，
，
，
则，
，
∴四边形是矩形，
∴甲＜乙＜丙．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．
10. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①AEF∽CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=；其中正确的结论有（ ）个．
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BFA=∠ABC，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以=，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到=，求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=5S△AEF，故④错误．
【详解】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴=，
∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD
∴S△AEF=S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF=5S△AEF故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
11. 已知三条线段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中项，则c＝_____cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．
【详解】解：∵c是a、b的比例中项，∴，即，所以c2＝4×1，
解得：c＝±2（线段是正数，负值舍去），则c＝2cm．
故答案为2．
【点睛】本题考查了比例中项的定义和比例的性质，属于基本题型，熟知概念是关键.
12. 抛物线y=-x2-2x+m2-1，若其顶点在x轴上，则m=__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次函数的性质得出，求出．
【详解】解：∵抛物线y=-x2-2x+m2-的顶点在x轴上，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确得出的代数式是解题的关键．
13. 如图，反比函数的图像经过直角OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据三角形的中位线求出OM=OB，DM=AB，设A的坐标为（a，b），则D（a，b），根据A在反比例函数y=的图象上求出ab=8，即可求出答案．
【详解】解：过D作DM⊥x轴于M，
∵直角三角形OAB，
∴∠ABO=∠DMO=90°，
∴AB∥DM，
∵D为OA的中点，
∴M为OB的中点，
∴OM=OB，DM=AB，
设A的坐标为（a，b），
则OM=a，DM=b，D（a，b），
∵A在反比例函数y=的图象上，
则ab=8，
∴a b=2，
即过点D的反比例函数的解析式为y=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数的图象，直角三角形斜边上中线，三角形的中位线等知识点，能求出ab的值是解此题的关键．
14. 如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AB的中点，点E是边AC上的动点(不与点A、C重合)，连接DE，将ADE沿直线DE翻折，得到，当AE的长为__________时，和ABC的一边平行．
【答案】或
【解析】
【分析】根据和两种情况，利用相似三角形或等腰三角形的性质，求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：
当时，设交于点，则
∴
∵点D是AB的中点，可知为的中点，即
设，则，
∵，
∴
∴，即，解得，即
当时，，
又∵
∴
∴
综上可知，或
故答案为或
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题
15. 如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12．求DE的长．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DF＝12，
∴，即，解得DE＝4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题型，掌握定理是关键.
16. 已知抛物线y=x(x-2)+2，用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x+m)2+k的形式，并写出它的项点坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
【详解】解：y=x（x-2）+2
=x2-2x+2
=（x-1）2+1，
它的顶点坐标为：（1，1）；
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，正确得出抛物线的顶点式是解题的关键．
17. 如图，直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图形上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．
（1）求k的值；
（2）求OBC的面积；
【答案】（1）2；（2）1
【解析】
【分析】（1）将点A(1，a)，代入反比例函数即可求出a=2，然后将A的坐标代入直线y=kx即可求出k的值．
（2）根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【详解】解：（1）∵直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，
∴将A(1，a)代入得：a=2，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入y=kx，得k=2；
（2）设点B的坐标为(x，y)，
∴OC=x，BC=y，
∵点B在反比例函数上，
∴xy=2，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值．
18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，ABC 和EDF的点都在网格的格点上．求证：ABC～EDF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用勾股定理可分别求出两个三角形的各个边长，再验证对应边的比值相等即可证明．
【详解】解：∵，，，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用，验证两个三角形的对应边的比值相等是解题的关键．
19. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得：当水面宽AB=1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m，离开水面1.5 m处是涵洞宽ED.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求ED的长.
【答案】（1）y=-x2（2）
【解析】
【分析】（1）根据这个函数过原点，那么可设为y=kx2，有CO和AB的长，那么点A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决；
（2）根据题意令y=﹣（2.4﹣1.5），求出x的值即可得．
【详解】解：（1）设为y=kx2，由CO和AB的长，
那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
将其代入函数中得：﹣2.4=0.8×0.8×k，解得k=﹣．
那么函数的解析式就是：y=﹣x2；
（2）根据题意，当y=﹣0.9时，﹣x2=﹣0.9，
解得：x=±，
∴ED=．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
20. 如图，相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4 m处，另一根电线杆钢索系在离地面6 m处，求中间两根钢索相交处点P离地面的距离．
【答案】2.4 m
【解析】
【分析】可过点P作PQ⊥BD于Q，由平行线分线段成比例可得及，进而即可得出PQ的长．
【详解】解：作PQ⊥BD于Q，设BQ=x米，QD=y米，PQ=h米，
∵AB∥PQ∥CD，
∴，，
即及，
∴两式相加得，
由此得h=2.4米．
即点P离地面的高度为2.4米．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练运用．
21. 在ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，过点D作DEBC交AC于点E，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒．
（1） 若AB=5，BC=6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；
（2）连接AF、CD，若BD=DE，求证：∠BAF=∠BCD．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形DFCE是平行四边形，则有，当，根据相似三角形的性质得到关于t的方程，解方程求解即可；
（2）由，可以证得，继而证明，即可得到∠BAF=∠BCD．
【详解】（1）∵，当时，四边形是平行四边形．
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．
22 已知二次函数y=x2-2ax+4a+2．
（1）若该函数图象与x轴的一个交点为(-1，0)，求a的值；
（2）不论a取何实数，该函数图象总经过一个定点．
①求出这个定点坐标；
②证明这个定点就是所有抛物线顶点纵坐标最大的点．
【答案】（1）；（2）①；②见解析
【解析】
分析】（1）把点(-1，0)代入解析式求出a即可；
（2）①整理解析式，令，代入解析式即可得解；②把一般式化为顶点式，根据最大值判断即可；
【详解】（1）把代入得，
∴，
∴．
（2）①整理得，令，代入解析式得，故定点为，
②∵，
∴顶点为，
又∵，
∴当时，纵坐标有最大值6，
∴，，顶点，故定点是所有顶点中纵坐标最大的点．
【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点和二次函数的顶点式，准确分析计算是解题的关键．
23. 如图，锐角ADC，AO垂直平分BC交CD于O点，B是AD上一点，若记AOC面积为S1，BOD的面积S2，AOD的面积为S3；
（1）求证：；
（2）若= ．
①求证： BD=AC·AD；
②若OA=1，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）通过证明，即可求解；
（2）①过O作交于点E，作交于点F，根据三角形面积公式化简即可；②过点作，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵垂直平分，
∴
又∵
∴
∴
（2）①过O作交于点E，作交于点F，如下图：
由（1）知
∴，即平分
∴（角平分线的性质）
∵，
又∵，即
∴
∴
∴
②过点作，如下图：
由①可得：
由（1）得：
由题意可得：
∴，即
解得，负值舍去，
又∵
∴
∴
∴
由题意可得：
∵
∴，
∴，
解得：，
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．