内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区第三高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试卷（Word版含答案）

临河三中2021～2022学年第一学期期中考试
高二（理科数学）试卷
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线过、两点，则直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线平分圆的周长，则（ ）
A．9 B．-9 C．1 D．－1
3．已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
4．如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．以,为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A． B． C． D．
6．已知圆与圆有3条公切线，则（ ）
A． B． C．或 D．或
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．20 B．10 C．30 D．60
8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
11．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，点P(2, －1, 1)在yOz平面内的射影为Q(x, y, z)，则x+y+z =________.
14．已知两点，则以线段为直径的圆的标准方程为___________．
15．函数 且）的图象必过点A，则过点A且与直线2x＋y－3＝0平行的直线方程是____________________．
16．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000
震 001 1
坎 010 2
兑 011 3
依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是______________．
三、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）已知直线过直线 和的交点.
（Ⅰ）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若原点到直线的距离为，求直线的方程.
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．
19．（12分）已知三棱柱的直观图和三视图如图所示，是棱上一点，
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若是的中点，求到平面的距离.
20．（12分）已知以点C为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程； （2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
21．（12分）已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y－1=0和圆C：，P是直线l上的一点，过点P可以作圆C的两条切线.
（1）求点P的横坐标的取值范围；
（2）若点P在第四象限，过点P的两条切线互相垂直，求这两条切线的方程.
参考答案
1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．A 12．D
13．0 14． 15． 16．22
17．解（1）由，得交点，
由于直线与直线垂直，可设直线的方程为，
将交点坐标代入得，得，因此，所求直线的方程为；
（2）如果直线轴，则直线的方程为，且原点到直线的距离为，合乎题意；
如果直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，
原点到直线的距离为，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为和.
18．证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE 平面BDE，PA 平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AD，
又由于AD⊥CD，PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD，
又平面PCD，所以AD⊥DE，
又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE，
于是，由BC∩PC＝C，DE⊥PC，BC⊥DE，可得DE⊥平面PBC，
又因平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．
19．解（1）由三视图得，该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，
∴平面，平面，
∵，，∴，又，
∴.
（2）∵是的中点，∴，
∴，即为等腰三角形，
∵，∴的高为，
设到平面的距离为，
∵，
∴，
解得.
20．解析：（1）依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，
中点为斜率为，垂直平分线方程为，即．
联立解得即圆心，半径，
所求圆方程为．
（2），圆心到的距离为，
到距离的最大值为，
所以面积的最大值为
21．解（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，
，
圆的方程为；
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则
，，
则由，得，直线．
故直线的方程为或.
22．解（1）联立解得或
∴直线与圆的两个交点坐标分别为和.
∵过点可以作圆的两条切线，
∴点在圆外，
∴点的横坐标的取值范围.
（2）设，，过点可以作圆的两条切线，切点分别为，，
由两条切线互相垂直，
∴四边形为正方形，且边长为，则，
∴，解得或（舍去），则.
设切线方程为，，
则圆心到切线的距离，解得或.
∴切线方程为或，
即或.