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24.2.2：（2）切线的判定和性质--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】D
【详解】试题分析：利用切线的性质进行判断后即可得到答案．
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线,正确；
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，正确；
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线，正确；
D．垂直于半径的直线是圆的切线，错误.
故选D.
考点: 切线的判定．
2．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】试题解析：由勾股定理，得
OB==13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故选D．
.
考点：切线的性质．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接 ，根据圆周角定理可得 ，再由CD是⊙O的切线，可得，从而，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵AB是⊙O的直径，∠A=30°，
∴ ，
∵CD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
4．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
【答案】A
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP＝，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，由直角三角形中30°角的性质可得答案．
【详解】解：连接OA，如图：
∵∠ABC＝15°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，
∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，
∴∠OAP＝90°，
在中，
∴
∵OA＝
故选：D．
【点评】此题主要考查了圆的有关性质、切线的性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质、切线的性质是解题的关键．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【答案】B
【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；
B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；
D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．
7．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
8．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44° B．88° C．46° D．92°
【答案】B
【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，
故选B．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A、C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
【答案】C
【分析】连接OA、OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B =180°求解即可．
【详解】解：连接OA、OC，
∵AB，BC与⊙O相切，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，
又∵点D在⊙O上，
∴∠AOC=2∠D，
∴∠B+2∠B =180°
∴∠B＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．
11．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=．
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
二、填空题
12．如果直线和圆有两个公共点，那么就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的_______．
如果直线和圆只有一个公共点，那么就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的________，这个点叫做________．
如果直线和圆没有公共点，就说这条直线和圆_________．
【答案】割线 切线 切点 相离
13．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d_______r；
直线l与⊙O相切 d________r；
直线l与⊙O相离 d_______r．
【答案】＜ ＝ ＞
14．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
【答案】切线．
【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.
【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：切线．
【点评】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键.
15．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝DE．求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵EF＝DE，
∴∠EFD＝________．
∵∠EFD＝∠CFO，
∴∠CFO＝_______．
∵OC⊥OF，
∴∠OCF＋______＝90°．
又∵OC＝OD，
∴∠OCF＝_______，
∴∠ODE＝∠ODC＋∠EDF＝_______，
∴OD⊥DE．
故DE是⊙O的切线．
【答案】∠EDF ∠EDF ∠CFO ∠ODF 90°
16．圆的切线垂直于经过切点的_________．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过____________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过__________．
注意：如果圆中的一条直线满足以下三个条件中的任意两条：①垂直于______；② 过切点；③过_____，那么就一定满足第三条．
【答案】半径 切点 圆心 切线 圆心
17．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝__________时，AC与⊙O相切．
【答案】60°
18．在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是______________________________ ．
【答案】经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【详解】作PD⊥BC，如图所示：
∵BF平分∠ABC，∠A=90°
∴PA=PD，
∴PD是⊙P的半径，
∴D在⊙P上，
∴BC是⊙P的切线．
故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
19．如图，的半径为，点B为上一动点，，是的切线，与交于点D，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】过点A作直径AE，连接ED，AD，过D作DF⊥AC于F，由圆周角定理得到∠E=30°，∠ADE=90°，结合切线的性质推出∠FAD=30°，根据含30°角直角三角形的性质求出AD，DF，根据垂线段最短即可得到CD的最小值．
【详解】解：过点作直径，连接，，如图，
为直径，
，
，
为切线，
，
，即，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，
，
的最小值是，
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
三、解答题
20．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【答案】证明见解析
【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．
【详解】如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
【点评】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．
21．如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．
求证：AP是⊙O的切线．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：连接OD、AO，根据菱形的性质得AO=OB=BD=DA，则可判断△OAD和△OBD都为等边三角形，所以∠AOD=∠BOD=60°，则∠AOP=60°，于是又可判断△AOC为等边三角形，所以AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，由PB=3BO得到CP=OC=AC，根据等腰三角形的性质得∠P=∠CAP，然后利用三角形外角性质有∠P+∠CAP=∠ACO=60°，得到∠CAP=30°，所以∠OAP=90°，最后利用切线的判定定理得到AP为⊙O的切线．
试题解析：证明：连接OD、AO，如图，
∵四边形AOBD为菱形，
∴AO=OB=BD=DA，
∴△OAD和△OBD都为等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OC，∠ACO=∠OAC=60°，
∵PB=3BO，OC=OB，
∴CP=OC=AC，
∴∠P=∠CAP，
∵∠P+∠CAP=∠ACO=60°，
∴∠CAP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP为⊙O的切线．
考点：切线的判定．
22．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D． 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接，求得，得到，从而得到，从而得证；
（2），可以得到为等边三角形，，得到，即可求得的长度．
【详解】解：（1）如图，连接
∵
∴
∵为的切线
∴
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴PC是的切线
（2）∵为直径
∴
∵
∴
∴，
∴
由（1）得:
∴为等边三角形
∴
∴
∴
∴
【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了垂径定理、切线长定理、勾股定理等有关性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝16，CD＝15，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解析；（2）17
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，即可得出OG＝CD＝15，根据垂径定理求得BGBE＝8，利用勾股定理求出OB的长，即可得到结论．
【详解】（1）解：直线AC与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∵OG⊥BC，BE＝16，
∴BG＝EG＝8，
∵∠C＝∠ODA＝90°，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB，OG＝CD＝15，
在Rt△OBG中，OB17，
∴⊙O的半径为17．
【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
24．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．
【答案】（1）34°；（2）2
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）连接OA，
∵∠ADE＝28°，
∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°，
∵AC切⊙O于A，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即r2+（2）2＝（r+2）2，
解得：r＝2，
答：⊙O半径的长是2．
【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．如图，在中，，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC相交于点P．以点P为圆心，AP为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）31°
【分析】（1）过点P作PD⊥BC，根据尺规作图可知，BP是∠ABC的平分线，由∠BAC=90°得，PA⊥AB，再根据角平分线的性质和切线的判定可得；
（2）由（1）可知，以及角平分线的性质得，∠ ABP=∠ABC，求出∠APB的度数，再根据等腰三角形以及三角形的外角的性质即可求出；
【详解】（1）证明：过点P作，垂足为D
由尺规作图知，BP是的平分线；
由得，
∴
∴BC是的切线
（2）解：由（1）得，
∴
∴
【点评】本题考查了圆的切线的性质和判定，以及角平分线的概念，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线，是解本题的关键.
26．已知P是外一点，PO交于点C，，弦的度数为60°，连接PB．
求BC的长；
求证：PB是的切线．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）连接OB，根据圆、等腰三角形的有关性质，求得为等边三角形，即可求解；
（2）利用圆、等腰三角形以及三角形外角的性质，求得，可得，从而求证．
【详解】解：如图，连接OB．
，，
，
，
，
，
，
的等边三角形，
．
又，
；
证明：由知，的等边三角形，则，．
，
，
．
又，，
，
，即．
又是半径，
是的切线．
【点评】此题主要考查了圆、等腰三角形等有关性质，熟练掌握圆、等腰三角形的性质是解题的关键．
27．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙及⊙上一点．
求作：直线PN，使得PN与⊙相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵是⊙的直径，
∴＝ （ ）（填推理的依据）．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）作图见解析；（2），直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.
【详解】（1）（1）补全图形如下图；
（2）证明：∵是⊙的直径，
∴＝ 90 （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.
28．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠
BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．
【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
②∵AB是⊙0直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，
（2）作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（3）∵OA=OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
29．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）AC＝4．
【分析】（1）根据和证明 ，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；
（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在中，直角边OA等于斜边 OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以 AC=2OA=4．
【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点评】 这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．
30．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点评】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
31．如图，AB为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；
（2）求可以放在中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）连接OC，则：
∵点C为的中点
∴
∴∠BAC=∠CAD
∴OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∴∠CAD=∠OCA
∴AD∥OC
∵AD⊥DC
∴∠ADC=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC
又OC是的半径
∴DC为的切线；
（2）过点作的垂线交于点，
，
为等腰三角形，
，
AB=4，∠CAD=30°，
，
由（1）知，
，
在中，
，
【点评】本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．
32．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；
②若AB＝4，当BC＝ 时，四边形ODCE是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）①45；②4．
【分析】（1）连接OD、OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；
（2）①连接BD、OD，当∠BAC＝45°,△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；
②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可
【详解】解：（1）证明：连接OD、OE，如图1所示：
∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠DOE＝∠BOE，
在△ODE和△OBE中，
∴△ODE≌△OBE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：
如图2，连接BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
由（1）得：OB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵OD＝OB，
∴四边形OBED为正方形，
故答案为：45；
②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：
如图3，∵AB＝4，BC＝4，
∴OD＝OA＝2，AB＝BC，
∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥CE，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝2，
∴OD＝CE，
∴四边形ODCE是平行四边形，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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24.2.2：（2）切线的判定和性质--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
2．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D， CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27° B．29° C．35° D．37°
5．如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP＝，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．3
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
7．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
8．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44° B．88° C．46° D．92°
10．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A、C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．65°
11．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题
12．如果直线和圆有两个公共点，那么就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的_______．
如果直线和圆只有一个公共点，那么就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的________，这个点叫做________．
如果直线和圆没有公共点，就说这条直线和圆_________．
13．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d_______r；
直线l与⊙O相切 d________r；
直线l与⊙O相离 d_______r．
14．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
15．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝DE．求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵EF＝DE，
∴∠EFD＝________．
∵∠EFD＝∠CFO，
∴∠CFO＝_______．
∵OC⊥OF，
∴∠OCF＋______＝90°．
又∵OC＝OD，
∴∠OCF＝_______，
∴∠ODE＝∠ODC＋∠EDF＝_______，
∴OD⊥DE．
故DE是⊙O的切线．
16．圆的切线垂直于经过切点的_________．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过____________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过__________．
注意：如果圆中的一条直线满足以下三个条件中的任意两条：①垂直于______；② 过切点；③过_____，那么就一定满足第三条．
17．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝__________时，AC与⊙O相切．
18．在数学课上，老师请同学思考如下问题：
小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是______________________________ ．
19．如图，的半径为，点B为上一动点，，是的切线，与交于点D，则的最小值为_________．
三、解答题
20．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
21．如图，已知菱形AOBD的A、B、D三点在⊙O上，延长BO至点P，交⊙O于点C，且BP=3OB．
求证：AP是⊙O的切线．
22．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D． 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝16，CD＝15，求⊙O的半径．
24．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；
（2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长．
25．如图，在中，，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC相交于点P．以点P为圆心，AP为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若，求的大小．
26．已知P是外一点，PO交于点C，，弦的度数为60°，连接PB．
求BC的长；
求证：PB是的切线．
27．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙及⊙上一点．
求作：直线PN，使得PN与⊙相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵是⊙的直径，
∴＝ （ ）（填推理的依据）．
∴．
又∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）．
28．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
29．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
30．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
31．如图，AB为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．
32．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；
②若AB＝4，当BC＝ 时，四边形ODCE是平行四边形．
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