中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2：（3）切线长定理及三角形的内切圆--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
5．如图，，是⊙O的切线，切点为、，点为优弧上一点，且，若．则等于（ ）
A．100° B．15° C．20° D．25°
6．如图，⊙O为Rt△ABC内切圆，∠C＝90°，AO延长线交BC于D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，是外一点，与相切于两点，是上两点，若，则（ ）
A．210° B．215° C．220° D．225°
12．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（ ）
A．130° B．50° C．60° D．65°
13．在中，，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．
甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有丙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确
二、填空题
15．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
16．圆的切线垂直于经过切点的_________．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过____________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过__________．
17．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的________．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线__________这两条切线的夹角．
18．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的_______，这个三角形叫做这个圆的______三角形．
19．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E．已知PA＝12 cm，求△PEF的周长．
解答：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝_______．
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝ _____，FQ＝_______，
∴△PEF的周长＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝______＝24 cm．
20．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为____________．
21．如果正三角形ABC的内切圆半径为1，那么三角形的边长为__________．
22．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.
23．如图，在直角三角形中，，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为______．
24．如图，点O是△ABC的内心，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AB=5，BC=4，AC=7，则△ODE的周长为____．
25．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为____．
26．如图，在中，，I是内心，O是外心，则__________．
三、解答题
27．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．
28．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
29．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=8，BC=DE，∠B=∠D=30°．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．I是△APC的内心．
（1）求证：∠ACB=∠AED；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当∠BAC=100°时∠AIC的取值范围是m°<∠AIC30．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长及⊙O的半径．
31．已知如图，中，内切圆的半径．求：的最小值．
32．如图，ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．
33．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.2：（3）切线长定理及三角形的内切圆--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．
【详解】解：在直角△BCM中，
tan60°＝＝，
得到BC＝＝2，
∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，
∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，
∴CD＝BC＝2．
故选C．
【点评】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题．
2．如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠A＝66°，
∴∠ABC+∠ACB＝114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝57°，
∴∠BIC＝180°﹣57°＝123°，
故选C．
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.
【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，
故选：B.
【点评】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
4．如图，已知点为勾股形（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中为直角，点、、分别在边、、上，，若，，则正方形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．16
【答案】B
【分析】先根据已知条件证明和全等，和全等，然后设正方形的边长为，在中，利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可．
【详解】，∠ABO=∠CBO，
是和的公共边，
，
同理可得，，
，，
由题意得，四边形为正方形，
设，
，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
正方形的面积是4，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、一元二次方程的解法、勾股定理、三角形的内心等知识，熟练掌握正方形的性质，根据勾股定理列出方程式是解答本题的关键．
5．如图，，是⊙O的切线，切点为、，点为优弧上一点，且，若．则等于（ ）
A．100° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据切线长定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质可得，从而可得，，最后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，
是的切线，，
，
，
，
又，
，
，
则由圆周角定理得：，
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理、圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
6．如图，⊙O为Rt△ABC内切圆，∠C＝90°，AO延长线交BC于D点，若AC＝4，CD＝1，则BD的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，连接OE，OF，OG，OC，OB，利用已知易证四边形OGCE为正方形，利用OE//BC，得出比例式，进而求出圆的半径，在利用角平分线的性质得出AB：BD＝4，最后利用直角三角形的内切圆的半径的关系列出关于BD的方程即可求解．
【详解】解：如图，设⊙O与Rt△ABC的切点为E，F，G，
连接OE，OF，OG，OC，OB．
∵⊙O为Rt△ABC内切圆，切点为E，F，G，
∴AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∵AC切⊙O于E，BC切⊙O于G，
∴OE⊥AC，OG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OGCE为矩形，
∵OE＝OG，
∴矩形OGCE为正方形，
设圆的半径为x，则AE＝4﹣x，
∵OE//CD，
∴
∴
∴，
∵O是△ABC的内心，
∴OC平分∠ACB,
∴,
∴BO平分∠ABC,
∴,
设BD＝a，则AB＝4a,
∵AE＝AF，CE＝CG，BF＝BG，
∴CE＝EC＝，
∴，
∴a＝，
即BD＝，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的判定与性质、平行线分线段成比例、切线的性质、直角三角形的内切圆与内心等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别与的三边切于，，，连接，利用求出，进一步得出结论．
【详解】如图，令分别与的三边切于，，，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，解答的关键是，充分利用已知条件将问题转化为求几个三角形面积的和．
8．如图，中，，它的周长为16，若圆O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】根据切线长定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等边三角形ADF，推出，根据BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．
【详解】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故选：A．
【点评】本题考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+AF的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据切线长定理即可得结论．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝4，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝4+4＝8．
则△PCD的周长是8．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
10．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.
【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为的内心，
故选：C．
【点评】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．
11．如图，在中，是外一点，与相切于两点，是上两点，若，则（ ）
A．210° B．215° C．220° D．225°
【答案】B
【分析】连接AB，根据圆内接四边形性质和切线长定理求出和的度数即可．
【详解】解：连接AB，
∵与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∵是上两点，
∴，
∴；
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理、圆内接四边形性质、等腰三角形性质，解题关键是恰当连接辅助线，构造等腰三角形和圆内接四边形．
12．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（ ）
A．130° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数．
【详解】解：如下图
连OA、OB、OC
∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A
∴OB⊥PB，OA⊥PA
又∠P=50°
∴∠AOB=130°
∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C
∴DB=DC且OC⊥DC
∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC
同理得∠EOC=∠AOC
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC
=∠BOC+∠AOC
=(∠BOC+∠AOC)
=∠AOB=×130°
=65°．
故选：D．
【点评】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键．
13．在中，，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，得其斜边是10，即可求得外接圆半径和内切圆半径．
【详解】∵AC=6，BC=8，AC=10，，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且斜边是AC=10，
∴其外接圆的半径为5，
三角形的内切圆半径=，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理的逆定理；解题的关键是灵活运用勾股定理的逆定理判断△ABC是以AC为斜边的直角三角形．
14．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．
甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有丙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确
【答案】B
【分析】点为的内心，可用角平分线的性质，再用三角形全等可判断甲和乙，当最小，即当时，的周长最小即可判断丙．
【详解】（1）∵点为的内心，
∴当于，于时，．
当，不垂直于，时，
如图1，过点作于，于．
则．
∵，
∴．∵，
∴．
∵点为的内心，，，
∴．
∴≌．
∴．故甲的判断正确．
（2）如图1，连接．
由（1）可知，四边形的面积为．
∵点的位置固定，
∴四边形的面积是定值．故乙的判断正确．
（3）如图2，过点作于点．
由（1）可得，．
∴的周长．
∴当最小，即当时，的周长最小，此时不垂直于，故丙的判断不正确．
综上所述，答案选B．
【点评】此题考查的是三角形的内心，熟悉掌握三角形内心的性质是解题的关键．
二、填空题
15．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
【答案】切线．
【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.
【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：切线．
【点评】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键.
16．圆的切线垂直于经过切点的_________．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过____________．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过__________．
【答案】半径 切点 圆心
17．经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的________．
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_________，这一点和圆心的连线__________这两条切线的夹角．
【答案】切线长 相等 平分
18．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的_______，这个三角形叫做这个圆的______三角形．
【答案】内切圆 内心 外切
19．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E．已知PA＝12 cm，求△PEF的周长．
解答：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝_______．
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝ _____，FQ＝_______，
∴△PEF的周长＝PE＋PF＋EF＝PE＋PF＋EB＋FA＝PA＋PB＝______＝24 cm．
【答案】PB EQ FA 2PA
20．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为____________．
【答案】120°
21．如果正三角形ABC的内切圆半径为1，那么三角形的边长为__________．
【答案】2
【详解】如图，过O点作OD⊥AB，则OD=1．
∵O是△ABC的内心，
∴∠OAD=30°；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，
∴AD== ，
∴AB=2AD=2．
点睛：本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质，关键在于作辅助线构建直角三角形．
22．已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.
【答案】1
【分析】分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：∠ODC=∠OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.
【详解】解：如图所示，分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF
∴∠ODC=∠OEC=90°
∵∠C=90°，设OD=OE=r
∴四边形OECD是正方形
∴EC=CD=OD=OE=r
根据切线长定理可得：BF=BD=BC－CD=3－r，AF=AE=AC－EC=4－r
由勾股定理可知：AB=
∵AF＋BF=AB
∴（4－r）＋（3－r）=5
解得：r=1
故答案为：1
【点评】此题考查的是求三角形内切圆的半径，掌握正方形的判定及性质、切线的性质和切线长定理是解决此题的关键.
23．如图，在直角三角形中，，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为______．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据三角形内切圆的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据线段的和差可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式可得，据此在中，利用勾股定理即可得．
【详解】如图，设内切圆与的切点分别为点，连接，
则，
在中，，
，
点为斜边的中点，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
，即，
解得，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形内切圆的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
24．如图，点O是△ABC的内心，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AB=5，BC=4，AC=7，则△ODE的周长为____．
【答案】7
【分析】连接AO和CO，证明DA=DO，EO=EC后，将△ODE的周长转化为了AC的长即可求解．
【详解】解：如图，连接AO和CO，
由平移可得：OD∥AB，OE∥BC，
∴∠BAO=∠OAD，∠BCO=∠COE，
∵点O是ABC的内心，
∴AO、CO分别平分∠BAC和∠BCA，
∴∠BAO=∠OAD，∠BCO=∠OCE
∴∠OAD=∠AOD，∠OCE=∠COE，
∴DA=DO，EC=EO，
∴ODE的周长为：DO+EO+DE=DA+DE+EC=AC=7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了三角形的内心、平移的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题关键，学生需要通过作辅助线构造等藏三角形，将△ODE三条边转化到同一条直线上完成求解，此题考查了学生对所学知识点的理解与掌握的程度，其中用到了转化的思想．
25．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为____．
【答案】65°或115°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分别求出∠AOB，再根据切线的性质求出∠COD的度数．
【详解】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE=∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE+∠BOE
∴∠COD=（360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°．
【点评】此题主要考查考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和等知识点的应用，解题的关键是根据题意分情况作图求解．
26．如图，在中，，I是内心，O是外心，则__________．
【答案】140°
【分析】根据三角形的内心得出，根据三角形内角和定理求出，进而可求得的度数，根据圆周角定理即可求得∠BOC．
【详解】解：在△ABC中，∠BIC=125°，I是内心，
∴，
∴，
∴
∴，
∵O是外心，
∴,
故答案为：140°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点．正确识别图中相关角是解题关键．
三、解答题
27．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．
【答案】C△ABC＝40.
【解析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为AD＋AE求解．
【详解】∵AD,AE切于⊙O于D,E，
∴AD＝AE＝20
∵AD,BF切于⊙O于D,F
∴BD＝BF
同理：CF＝CE
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40.
故答案为：C△ABC＝40.
【点评】本题考查切线长定理.
28．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）连接OA，已知AB⊥OP，OB=OA，根据等腰三角形的三线合一的性质可得∠BOP=∠AOP；根据切线的性质定理可得∠OAP=90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质可得∠OBP=∠OAP=90°．由此即可证得结论；
（2）在Rt△AOD中，根据勾股定理求得AD=4，由切线长定理可得PA=PB，在Rt△DBP中，根据勾股定理求得PB= 6，再在Rt△OBP中，根据勾股定理求得OP=3．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD==4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP==3．
【点评】本题主要考查了切线的判定定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质及切线长定理，熟悉图形的几何关系是解题的关键.
29．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD=8，BC=DE，∠B=∠D=30°．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．I是△APC的内心．
（1）求证：∠ACB=∠AED；
（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当∠BAC=100°时∠AIC的取值范围是m°<∠AIC【答案】（1）见解析；（2）PD=8﹣x，PD最大值是3；（3）m=105，n=155
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABC≌△ADE（SAS）即可解答；
（2）由PD=8﹣x知当AP最小时PD最大，当AP⊥BC时，AP最小，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解AP即可解答；
（3）由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，利用三角形的内角和等于180°和角平分线的定义表示出∠AIC，即可求得m、n的值．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）,
∴∠ACB=∠AED；
（2）∵AD=8，AP=x，
∴PD=AD﹣AP=8﹣x，
∴当AP最小时PD最大，当AP⊥BC时，AP最小，
又∵∠B=30°，AB=8，
∴AP的最小值为AB=4，
故PD的最大值为8﹣4=4；
（3）如图，设∠BAP=α，则0＜α＜100°，
∵∠B=30°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣30°﹣100°=50°，∠PAC=100°﹣α，
∵I为△APC的外心，
∴AI、CI分别平分∠PAC、∠ACB，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠ACB，
∴∠AIC=180°﹣∠IAC﹣∠ICA
=180°﹣（∠PAC+∠ACB）
=180°﹣（100°﹣α+50°）
=α+105°，
∵0＜α＜100°，
∴105°＜α+105°＜155°，
∴105°＜∠AIC＜155°
∴m=105，n=155．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质、三角形内心定义、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，将PD的最大值转化为AP的最小值是解答的关键．
30．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长及⊙O的半径．
【答案】BC=10cm，半径为cm．
【分析】由切线长定理和可证明是直角三角形，在Rt 中，由勾股定理可求得BC长．连接OF，利用等积法可求得OF的长，OF即为半径长．
【详解】（1）∵AB、BC、CD是的切线
∴BF＝BE，CF＝CG，∠OBC＝∠ABC，∠BCO＝∠BCD
∵
∴∠ABC＋∠BCD＝
∴∠OBC＋∠BCO＝
∴∠BOC＝
∴是直角三角形
∵BO＝6，CO＝8
∴
∴BC的长为10cm．
（2）连接OF，
∵BC与相切与点F
∴
利用面积可得：
∴
∴的半径为cm．
【点评】本题主要考察切线长定理，求得是直角是解题的关键．
31．已知如图，中，内切圆的半径．求：的最小值．
【答案】最小值是．
【分析】根据Rt△ABC中，内切圆O的半径r，三角形三个边分别为：a、b、c，可得S△ABC＝ab，ab＝2S△，2r＝a＋b c，c＝a＋b 2r，再根据勾股定理列出方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵中，内切圆的半径，三角形三个边分别为：、、，
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∴．
两边平方，得，
．
将，代入，得：
，．
∵且，
∴，是方程的两个根．
∵，是正实数，
∴△，即．
．
解得或，不合题意舍去．
∴的最小值是．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的应用，解决本题的关键是综合运用三角形内切圆的性质、一元二次方程根的判别式等知识．
32．如图，ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若BC＝6，AC＝8，求AD、CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）4，
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，∠ABC+∠COD＝180°，再根据等角的补角得到∠AOD＝∠ABC，然后根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出在AB＝10，再利用切线长定理得到BD＝BC＝6，利用线段差可得AD＝4，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，利用勾股定理得到r2+42＝（8﹣r）2，解得r＝3，连接OB交CD于H，如图，则OB垂直平分CD，然后利用面积法可计算出CH，从而得到CD的长．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠ABC，
∵OD=OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOD＝∠OCD+∠ODC =2∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABC；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∵OC⊥CB，OC为半径，
∴BC为切线，
∴BD＝BC＝6，
∴AD＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△AOD中，r2+42＝（8﹣r）2，
解得r＝3，
∴OC＝3，
连接OB交CD于H，如图，
∵OC＝OD，BC＝BD，
∴OB垂直平分CD，
在Rt△OCB中，OB＝，
∵OB CH＝OC BC，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝．
【点评】本题考查切线性质，四边形内角和，等角的补角性质，圆周角定理，等腰三角形性质，外角性质，勾股定理，切线长定理，三角形面积掌握并会利用这些知识是解题关键．
33．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，D均在圆上．请仅用无刻度的直尺分别下列要求画图．
（1）在图①中，若AB是直径，CD与圆相切，画出圆心；
（2）在图②中，若CB，CD均与圆相切，画出圆心．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）延长CB交圆于一点，把这点与点D连接，与AB交点即为圆心；
（2）连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O即可．
【详解】（1）如图1所示，延长CB交圆于点E，连接DE，与AB交点即为圆心； 由已知可得∠A+∠DBA=90°，∠EBA=∠C=∠A,故∠EBA +∠DBA=90°，DE为直径；
（2）如图2所示，连接AC、BD交于点G，AC交圆于点E，射线DE交BC于F，射线FG交DA于H，连接BH交AC于O．点即为所求．说明：由已知可得，△ADB为等边三角形，由作图可知，AE为直径，DF⊥BC，可得，F是BC中点，进而得出H是AD中点，BH⊥AD，BH过圆心；
【点评】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是准确理解题意，根据圆的有关性质进行作图．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
