中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1：点和圆的位置关系--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段的中点及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
3．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外
4．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（ ）
A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外
C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上
5．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A． B． C． D．
6．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
7．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE
8．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．x轴上
二、填空题
9．观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？
点A在圆内，OA_________r，
点B在圆上，OB________r，
点C在圆外，OC________r．
10．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
则有：
d＜r ＜＝＞点P在___________
d＝r＜＝＞点P在___________
d＞r ＜＝＞点P在_____________
符号“＜＝＞”读作“ _______”，“A＜＝＞B”表示由A条件可推出结论B，B结论可推出条件A．
11．平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有_____个，它们的圆心分布特点_______．
12．不在同一条直线上的_____个点确定一个圆．
13．三角形的外接圆：
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的_________．
2）这个三角形叫做这个圆的__________．
3）三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的________．
作图：三角形三边中垂线的交点．
性质：到三角形三个顶点的距离_______．
一个三角形的外接圆有_____个？
一个圆的内接三角形有______个？
14．首先假设某命题结论_________，然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
15．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
16．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．
三、解答题
17．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
19．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．
20．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
21．如图，内接于，，，则的直径等于多少？
22．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
23．如图，己知△ABC．
（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．
（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．
24．如图，已知射线OC为∠AOB的平分线，且OA＝OB，点P是射线OC上的任意一点，连接AP、BP．
（1）求证：△AOP≌△BOP；
（2）若∠AOB＝50°，且点P是△AOB的外心，求∠APB的度数；
（3）若∠AOB＝50°，且△OAP为钝角三角形，直接写出∠OAP的取值范围．
25．如图，在中，，于点D，，，以点C为圆心，cm为半径画圆，指出点A，B，D与的位置关系，若要使经过点D，求这个圆的半径.
26．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．
27．如图：内接于圆，请用尺规作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出外接圆的圆心．
（2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍．
28．如图，D是的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是的外接圆的圆心．
29．如图是的外接圆，为直径，点C是的中点，连结分别交于点F，E．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
30．如图，是的内接三角形，直径交于点，和的延长线交于点．
（1）若，求证：．
（2）若点在下半圆上运动，则当点运动到什么位置时，的外心在的一边上？请说明理由．
31．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题
（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；
（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；
（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为 ．
32．已知，．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点，使，且、在直线异侧；
（2）在图②中求作一点，使，且、在直线同侧．
33．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
34．如图，在中，，点为的中点．
（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？
（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．
35．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，S△ABC＝32，BC＝8．
（1）求出⊙O的半径r．
（2）求S△ABO．
36．已知AB是的弦，点C为圆上一点．
（1）用直尺与圆规作；
（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；
（3）若已知圆的半径，求所作等腰三角形底边上的高．
37．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
38．已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1：点和圆的位置关系--2021-2022学年期末复习试题精编九年级数学上（人教版）
一、单选题
1．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
【答案】C
【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x==3.125．
故选C．
【点评】本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段的中点及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
【答案】C
【详解】试题分析：三点在同一直线时，过三点不能确定一个圆，根据即可判断A、B、D，根据三角形确定三角形的三个顶点不在同一直线上，即过三角形的三个顶点可以作一个圆，且只有一个圆，即可判断C．
解：A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；
B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；
C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；
D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，则点P在( ).
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．在⊙O内或外
【答案】C
【分析】先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标是（-4，3），
∴OP==5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故选C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（ ）
A．在⊙O内或⊙O上 B．在⊙O外
C．在⊙O上 D．在⊙O外或⊙O上
【答案】D
【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．
【详解】解：∵d≥R，
∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．
故选D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r点P在圆内 d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．
5．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；
【详解】∵B在外，
∴AB＞2，
∴＞2，
∴b＞或b＜，
∴b可能是-1.
故选A．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．
6．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积．
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故选：B．
【点评】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形．
7．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE
【答案】C
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；
【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．
故答案选C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．
8．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．x轴上
【答案】A
【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B、C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．
【详解】解：∵B（－3，0），C（4，0），
∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧，
∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；
当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确；
当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确；
当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处．
二、填空题
9．观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？
点A在圆内，OA_________r，
点B在圆上，OB________r，
点C在圆外，OC________r．
【答案】＜ = ＞
10．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，
则有：
d＜r ＜＝＞点P在___________
d＝r＜＝＞点P在___________
d＞r ＜＝＞点P在_____________
符号“＜＝＞”读作“ _______”，“A＜＝＞B”表示由A条件可推出结论B，B结论可推出条件A．
【答案】⊙O内 ⊙O上 ⊙O外 等价于
11．平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有_____个，它们的圆心分布特点_______．
【答案】无数 它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上
12．不在同一条直线上的_____个点确定一个圆．
【答案】三
13．三角形的外接圆：
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的_________．
2）这个三角形叫做这个圆的__________．
3）三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的________．
作图：三角形三边中垂线的交点．
性质：到三角形三个顶点的距离_______．
一个三角形的外接圆有_____个？
一个圆的内接三角形有______个？
【答案】外接圆 内接三角形 外心 相等 一 无数
14．首先假设某命题结论_________，然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
【答案】不成立
15．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
【答案】或
【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设的半径为
当点在外时，根据题意得：
∴
当点在内时，根据题意得：
∴
故答案为：或．
【点评】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
16．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．
【答案】5．
【分析】根据勾股定理可得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径．
【详解】∵直角边长分别为6和8，
∴斜边==10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5．
故答案为：5
【点评】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键．
三、解答题
17．如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．
【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4
【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB=，CM=AB=，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）（2，0）；（2）点D在⊙M内．
【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；根据图形即可得出点M的坐标
（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
【详解】（1）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（2）圆的半径
线段MD=
所以点D在⊙M内．
【点评】考查点与圆的位置关系，坐标与图形性质，垂径定理，求出圆心的位置是解题的关键.
19．如图，，分别是的高，求证：、、、四点共圆．
【答案】见解析
【分析】取AB的中点O，连接DO、HO，根据BD，AH分别是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角三角形，斜边都是AB，而点O为斜边中点，则有DO＝HO＝AB＝AO＝BO，也就是说以O为圆心、OA为半径的圆，点D、H、B也在这个圆上，即可证明A、B、H、D四点共圆．
【详解】证明：如图，取的中点，连接、，
∵BD，AH分别是的高，
和都是直角三角形，且它们的斜边都是，
∵点为斜边中点，
，
也就是说，点、、在以为圆心、为半径的圆上，
即点、、、都在以为圆心、以为半径的圆上，
故可得：、、、四点共圆．
【点评】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四点共圆．
20．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
【点评】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
21．如图，内接于，，，则的直径等于多少？
【答案】12
【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
【详解】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理，掌握这些知识点是解题关键．
22．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，求⊙O的半径；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．
【答案】（1）⊙O的半径为；（2）OE
【分析】(1)过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH=CH=3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH=4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4-r）2=r2，然后解方程即可；
(2)作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH=EF，利用面积法得到，所以EHAH，然后利用（1）得OH,从而计算EH-OH得到OE的长．
【详解】解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CHBC＝3，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，
在Rt△ABH中，AH4，
连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，
即⊙O的半径为；
（2）作EF⊥AB于F，如图②
∵BD平分∠ABC，
∴EH＝EF，
∵S△ABEBH AEAB EF，
∴，
∴EHAH4，
由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，
∴OE=EH-OH．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点和等腰三角形的性质是解题的关键．
23．如图，己知△ABC．
（1）用直尺和圆规作一点D，使∠ADB＝∠C．
（2）在（1）的条件下，当∠C＝120°，AB＝3时，求点D到线段AB的最大距离，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先作和的垂直平分线，它们的交点为，再以点为圆心，为半径作圆，则（除、、外）上任意取一点得到点；
（2）当点为的中点时，点到的距离最大．连接交于，如图，利用垂径定理得到，所以，利用圆周角定理得到，则，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出即可．
【详解】解：（1）如图，点为所作；
（2）当点为的中点时，点到的距离最大．
连接交于，如图，
，
，，
，
，
，
．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
24．如图，已知射线OC为∠AOB的平分线，且OA＝OB，点P是射线OC上的任意一点，连接AP、BP．
（1）求证：△AOP≌△BOP；
（2）若∠AOB＝50°，且点P是△AOB的外心，求∠APB的度数；
（3）若∠AOB＝50°，且△OAP为钝角三角形，直接写出∠OAP的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠APB＝100°；（3）0°＜∠OAP＜ 65°或90°<∠OAP<155°．
【分析】（1）根据“SAS”证明即可；
（2）根据三角形外心定义得到PA＝PB＝PO，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠APC＝50°，根据∠APO＝∠BPO即可求解；
（3）根据题意得，分为钝角和为钝角两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP；
（2）∵∠AOB＝50°，
∴∠AOP＝∠BOP＝25°，
∵点P是△AOB的外心，
∴PA＝PB＝PO，
∴∠A＝∠AOP＝25°，
∴∠APC＝∠A＋∠AOP＝50°，
∵△AOP≌△BOP，
∴∠APO＝∠BPO，
∴∠BPC＝∠APC＝50°，
∴∠APB＝100°；
（3）∵∠AOB＝50°，
∴ ，
∴，
∴，
如图1，当为钝角时，
90°<∠OAP<155° ；
如图2，当为钝角时，
90°<∠OPA<155°，
即90°<<155°，
∴0°＜∠OAP＜ 65°
∴∠OAP的取值范围为：90°<∠OAP<155°或0°＜∠OAP＜ 65°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形判断，三角形的外心，等腰三角形性质，三角形分类等知识，熟悉相关知识点是解题关键．
25．如图，在中，，于点D，，，以点C为圆心，cm为半径画圆，指出点A，B，D与的位置关系，若要使经过点D，求这个圆的半径.
【答案】若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【解析】
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可通过解直角三角形求出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】在中，，
.
在中，，
.
，
点A在外.
，
点B在上.
，点D在内.
若使经过点D，这个圆的半径为cm.
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内
26．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置；
（2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；
（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置．
【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．
（2）如图②所示，点M即为所求．
（3）如图③所示，点M即为所求．
【点评】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．
27．如图：内接于圆，请用尺规作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出外接圆的圆心．
（2）在图2中画出一个圆周角使得所作角度数为的两倍．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）分别作AB的垂直平分线与AC的垂直平分线，交点O为圆心；
（2）连接BO，再过点A作BO的垂线，交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD即为所求．
【详解】解：（1）如图，点O即为所作；
（2）如图，∠ACD即为所作．
【点评】本题主要考查作图-复杂作图，确定圆心，垂径定理，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．
28．如图，D是的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，．
（1）证明：AB＝AC；
（2）证明：点O是的外接圆的圆心．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证；
（2）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，由此即可得证．
【详解】（1），
，
又点D是的边BC的中点，
垂直平分BC，
；
（2）如图，连接BO，
由（1）已证：AD垂直平分BC，
点O在AD上，
，
又，
，
∴点O是的外接圆的圆心．
【点评】本题考查了平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形外接圆的圆心，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题关键．
29．如图是的外接圆，为直径，点C是的中点，连结分别交于点F，E．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.8
【分析】（1）由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）连接，由勾股定理求出，得出，求出，则可得出答案．
【详解】解：（1）证明：是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，
为的直径，
，
，
是的中点，
，F是AD的中点，
，
，
，
又是的中点，F是AD的中点，
．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．
30．如图，是的内接三角形，直径交于点，和的延长线交于点．
（1）若，求证：．
（2）若点在下半圆上运动，则当点运动到什么位置时，的外心在的一边上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）使是的直径或，理由见解析
【分析】（1）连接．由垂径定理可得，所以，由圆周角定理可得，所以．由，，即可得，由此可得，即可证得 ．
（2）根据已知条件易知不可能为90°，分两种情况讨论：①当时，，根据圆周角定理的推论可得为的直径．所以此时的外心在的边上；②当，是直角三角形，所以．所以此时的外心在的边上．
【详解】（1）如图，连接．
∵，∴，∴，
又，
∴．
∵，，
∴，
又，
∴．
（2）当是的直径或时，的外心在的一边上．理由如下：
易知不可能为90°，分两种情况讨论：
①当时，，∴为的直径．
此时的外心在的边上；
②当，是直角三角形，∴．
此时的外心在的边上．
综上所述，当点运动到使是的直径或时，的外心在的一边上．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论、三角形外心等知识，解决第（2）问时要注意分情况讨论，不要漏解．
31．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题
（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；
（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；
（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；
（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；
【详解】解：（1）如图，△A'B'C′为所求；
（2）如图，取格点E、F、D，连接EF和AD相交于点M；
∵AE∥BF，
∴∠AEN=∠BFN，
∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，
∴△AEN≌△BFN，
∴AN=BN，
∵，，
∴，，
∴，
∴∠BNF=90°，
∴EF垂直平分AB，
根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，
∴点M为△ABC的外接圆的圆心；
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
设直线EF的解析式为y=mx+n，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为，
∴；解得：
∴
【点评】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
32．已知，．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中求作一点，使，且、在直线异侧；
（2）在图②中求作一点，使，且、在直线同侧．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可；
（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．
【详解】（1）如图①，即为所求；
（2）如图②，即为所求．
【点评】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
【答案】证明见解析
【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．
【详解】如图，连接CO
∵AB=6，BC=8，∠B=90°，
∴
∵CD=24，AD=26
∴
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°
∵AD为⊙O的直径
∴AO=OD
∴OC为Rt△ACD斜边上的中线
∴
∴点C在圆O上．
【点评】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
34．如图，在中，，点为的中点．
（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？
（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．
【答案】（1）在圆上，点在圆外，点在圆内 （2）
【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．
【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
，
，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，
∵，
则M在圆内，
BC=5＞4，则B在圆外；
（2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，；
当至少有一点在外时，，
故的半径的取值范围为：．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
35．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，S△ABC＝32，BC＝8．
（1）求出⊙O的半径r．
（2）求S△ABO．
【答案】（1）⊙O半径为5；（2）10
【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC中点，AD⊥BC，根据勾股定理即可得到结论；
（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，由勾股定理得到，过O作OH⊥AB于H，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，
则D是BC中点，AD⊥BC，
∵
∴AD＝8，
∵OD＝8﹣r，BO＝r，BD＝BC＝4，
在Rt△OBD中，r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O半径为5；
（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，
∴
过O作OH⊥AB于H，
∴BH＝AB＝2 ，
∴
∴
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，垂径定理，掌握圆的性质、正确的作出辅助线、是解题的关键．
36．已知AB是的弦，点C为圆上一点．
（1）用直尺与圆规作；
（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；
（3）若已知圆的半径，求所作等腰三角形底边上的高．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8或2
【分析】（1）连接AC，分别作AB、AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）AB的中垂线与⊙O交点分别为E1、E2，△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；
（3）由R=5，AB=8，根据勾股定理易得AB对应的弦心距为3，进而得到h=5+3=8或h=5-3=2．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，分别作AB、AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）如图所示，若AB的中垂线与⊙O交点分别为E1、E2，
则△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；
（3）由圆的半径R=5，AB=8，由勾股定理可得AB对应的弦心距为3，
∴△ABE1中，h=5+3=8；
△ABE2中，h=5-3=2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心的运用，解决问题时注意：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．
37．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点评】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
38．已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：
由所作圆过点A、B，可知，圆心到A、B的距离相等，由此可知，圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A的距离等于3cm，这样先作AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3cm为半径作弧与AB的垂直平分线相交，则交点为所求圆的圆心，这样就可作出所求圆了.
试题解析：
这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，如图：
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
