选修1-2,2-2推理与证明 的教材分析及教学指导
文档属性
| 名称 | 选修1-2,2-2推理与证明 的教材分析及教学指导 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 369.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-10-02 20:18:35 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
普通高中课程标准实验教科书
(A版)
选修1-2，2-2
推理与证明
一、内容结构
二、教学目标
三、教材特点与教学建议
四、需要注意的问题
一、内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
文科（10课时）
2.1合情推理与演绎推理 约5课时
2.2直接证明与间接证明 约4课时
小结 约1课时
理科（8课时）
2.1合情推理与演绎推理 约3课时
2.2直接证明与间接证明 约3课时
2.3数学归纳法 约2课时
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
（必然性推理）
归纳
（部分到整体、
特殊到一般）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
证 明
直接证明
间接证明
综合法
分析法
反证法
数学归纳法
（理科、2课时）
内容与要求
1. 合情推理与演绎推理
⑴ 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
⑵ 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．
⑶ 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
2. 直接证明与间接证明
⑴ 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
⑵ 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
3. 数学文化
（1）通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．
（2）介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
4.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）．
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的思考过程、特点。
5.了解间接证明的一种基本方法──反证法的思考过程、特点。
6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
以学过的知识为载体讲推理和证明方法。
证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。故本章的主要任务：将推理与证明的方法明确化、显性化，通过具体例子（已学的内容）总结各种证明方法的思考过程和特点、明确它们的内涵，通过应用进行强化，让学生能逐步主动、自觉地使用之。
1. 结合实例了解推理（引入、应用）
紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，以具体的例子为载体，了解合情推理和演绎推理，避免空泛地讲推理。
三、教材特点与教学建议
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，
16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
⑴ 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质数之和；
⑵ 没有发现反例 。
歌德巴赫猜想：
任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
总结特点：
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对某类事物的部分对象(有限的资料)进行观察、分析、整理；
⑵ 提出猜想；
⑶ 检验猜想!!!
类比推理
“火星上是否有生命”
这种由两类对象具有某些类似特
征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
总结特点：
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)!!!
类比推理举例
直角三角形 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
归纳推理、类比推理统称为合情推理.
演绎推理
举例归纳出演绎推理的含义
特点：前提和推理形式（规则）正确，结论正确！
证明函数f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1）内是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果f’(x)>0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增．
小前提是f(x) =－x2＋2x 在(－∞，1）内满足f’(x)>0，这是证明本例的关键．
注：很多情况下，省略大前提。
2.纠正典型错误，进一步理解推理
⑴ 合情推理的结论不一定正确
费马猜想：任何形如 （n∈N*）的数都是质数．
反例：
（初步体验证明的必要性）
“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ；
“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” ．
“空间中，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”；
“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线
互相平行”．
类比
⑵ 演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的
3.结合实例讲“证明”
通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真正作到“论证有据”：
回忆遇到过的某类证明方法的特点
通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，体验证明方法的特点
总结特点，给出证明方法的定义
证明的流程框图（提炼特点）
证明数学命题（强化、自觉使用）
综合法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论．
（2）举例——体验特点
（3）总结特点
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 。
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
分析法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个明显成立的条件为止．
（2）举例、体验特点
（3）总结特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
反证法
反证法的特点(选修1-2)：
选修2-2中的引例稍复杂,解决问题的过程均为:
假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．
应用反证法证明数学命题（强化、自觉使用）
应用反证法的情形：
直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。
特点：通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．
归纳出数学归纳法的原理
一个数学问题（需要探索新的证明方法）
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ （n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 an＝ ．”
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
“多米诺骨牌”全部倒下的原理
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：
⑴ 第一块骨牌倒下；
⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下．
两个条件的作用：
条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜想
（经历利用合情推理提出猜想
逻辑推理进行证明）
数学归纳法的原理：
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜想成立的最小的正整数)；
⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋1也成立（k≥n0）．
学生普遍存在的问题：
为什么第二步能在假设下进行证明？
第二步实际上是证明一个命题：“假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立．”
其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递.
四、需要注意的问题
1.推理部分的教学重点(发现问题、解决问题)
（1）教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
（2）用合情推理探索、猜测结论，并体会证明的必要性
通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。（这也是学习和研究的一般方法）
2.根据命题的特点，选择证明方法，并体会证明的必要性
（1）充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明，转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。
（2）综合利用各种方法进行证明
在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进行证明。例如：
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．
3.以已学知识为载体，讲推理、证明方法
例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法和证明方法，详细分析推理和证明的思路，而不只是表述解题的过程。
4.对证明的技巧性不宜作过高的要求
(讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题。)
5.文理差异
普通高中课程标准实验教科书
(A版)
选修1-2，2-2
推理与证明
一、内容结构
二、教学目标
三、教材特点与教学建议
四、需要注意的问题
一、内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
文科（10课时）
2.1合情推理与演绎推理 约5课时
2.2直接证明与间接证明 约4课时
小结 约1课时
理科（8课时）
2.1合情推理与演绎推理 约3课时
2.2直接证明与间接证明 约3课时
2.3数学归纳法 约2课时
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
（必然性推理）
归纳
（部分到整体、
特殊到一般）
类比
（特殊到特殊）
三段论
（一般到特殊）
证 明
直接证明
间接证明
综合法
分析法
反证法
数学归纳法
（理科、2课时）
内容与要求
1. 合情推理与演绎推理
⑴ 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
⑵ 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．
⑶ 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
2. 直接证明与间接证明
⑴ 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
⑵ 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
3. 数学文化
（1）通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．
（2）介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
4.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）．
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的思考过程、特点。
5.了解间接证明的一种基本方法──反证法的思考过程、特点。
6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
以学过的知识为载体讲推理和证明方法。
证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。故本章的主要任务：将推理与证明的方法明确化、显性化，通过具体例子（已学的内容）总结各种证明方法的思考过程和特点、明确它们的内涵，通过应用进行强化，让学生能逐步主动、自觉地使用之。
1. 结合实例了解推理（引入、应用）
紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，以具体的例子为载体，了解合情推理和演绎推理，避免空泛地讲推理。
三、教材特点与教学建议
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，
16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
⑴ 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质数之和；
⑵ 没有发现反例 。
歌德巴赫猜想：
任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
总结特点：
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对某类事物的部分对象(有限的资料)进行观察、分析、整理；
⑵ 提出猜想；
⑶ 检验猜想!!!
类比推理
“火星上是否有生命”
这种由两类对象具有某些类似特
征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
总结特点：
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)!!!
类比推理举例
直角三角形 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
归纳推理、类比推理统称为合情推理.
演绎推理
举例归纳出演绎推理的含义
特点：前提和推理形式（规则）正确，结论正确！
证明函数f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1）内是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a,b）内，如果f’(x)>0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增．
小前提是f(x) =－x2＋2x 在(－∞，1）内满足f’(x)>0，这是证明本例的关键．
注：很多情况下，省略大前提。
2.纠正典型错误，进一步理解推理
⑴ 合情推理的结论不一定正确
费马猜想：任何形如 （n∈N*）的数都是质数．
反例：
（初步体验证明的必要性）
“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ；
“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” ．
“空间中，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形”；
“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线
互相平行”．
类比
⑵ 演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的
3.结合实例讲“证明”
通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真正作到“论证有据”：
回忆遇到过的某类证明方法的特点
通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，体验证明方法的特点
总结特点，给出证明方法的定义
证明的流程框图（提炼特点）
证明数学命题（强化、自觉使用）
综合法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论．
（2）举例——体验特点
（3）总结特点
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 。
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
分析法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个明显成立的条件为止．
（2）举例、体验特点
（3）总结特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
反证法
反证法的特点(选修1-2)：
选修2-2中的引例稍复杂,解决问题的过程均为:
假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．
应用反证法证明数学命题（强化、自觉使用）
应用反证法的情形：
直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。
特点：通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．
归纳出数学归纳法的原理
一个数学问题（需要探索新的证明方法）
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ （n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 an＝ ．”
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
“多米诺骨牌”全部倒下的原理
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：
⑴ 第一块骨牌倒下；
⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下．
两个条件的作用：
条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜想
（经历利用合情推理提出猜想
逻辑推理进行证明）
数学归纳法的原理：
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜想成立的最小的正整数)；
⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋1也成立（k≥n0）．
学生普遍存在的问题：
为什么第二步能在假设下进行证明？
第二步实际上是证明一个命题：“假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立．”
其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递.
四、需要注意的问题
1.推理部分的教学重点(发现问题、解决问题)
（1）教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
（2）用合情推理探索、猜测结论，并体会证明的必要性
通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。（这也是学习和研究的一般方法）
2.根据命题的特点，选择证明方法，并体会证明的必要性
（1）充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明，转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。
（2）综合利用各种方法进行证明
在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进行证明。例如：
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．
3.以已学知识为载体，讲推理、证明方法
例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法和证明方法，详细分析推理和证明的思路，而不只是表述解题的过程。
4.对证明的技巧性不宜作过高的要求
(讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题。)
5.文理差异