第五章 不等式综合测试题详细答案
一、ABDDD DCACD
二、11．2008；12．；13．； 14．。
三、15．（1）证明：∵a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by，
∴a2＋x2＋b2＋y2≥2(ax＋by)，∴ax＋by≤＝1。
又∵a2＋x2≥－2ax，b2＋y2≥－2by，
∴a2＋x2＋b2＋y2≥－2(ax＋by)，∴ax＋by≥－＝－1。
∴|ax＋by|≤1。
（2）证明：
16．解：当a＝0时，不等式的解为x＞1；当a≠0时，分解因式a(x－)(x－1)＜0
当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0，不等式的解为x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；
当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；
当a＝1时，不等式的解为 。
17．解：（1）解法一：
令，则
令，
显然只有一个大于或等于2的根，
即，即的最小值是。
解法二：
令
利用图象迭加，可得其图象（如下图）
当时，递增，。
（2）
当时，的最大值为
18．解： 则
即
∴
又在是增函数，则 .
19．解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,
则有
作出可行域(如图)
目标函数为
作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.
答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.
20．(1)解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切
实数都有2x－1＞m(x2－1)成立。
所以，，即，即
所以，。
(2) 令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立。
当时，f(x)= 2x－1在时，f(x)。（不满足题意）
当时，f(x)只需满足下式：
或或
解之得结果为空集。
故没有m满足题意。第五章 不等式综合测试题
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．若,的大小关系是 （ ）
A． B.
C. D.
2．若实数满足的最小值是 （ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
3．在上满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
5．如果方程的两个实根一个小于 1，另一个大于1，那么实数
m的取值范围是 （ ）
A． B．（－2，0） C．（－2，1） D．（0，1）
6．在三个结论：
①，② ③，其中正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是 （ ）
A．（－π，0） B．（－π，π） C．（－，） D．（－，）
8．设且，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．目标函数，变量满足，则有 （ ）
A． B．无最小值
C．无最大值 D．既无最大值，也无最小值
10．设M=,且a+b+c=1，(a、b、c∈R+)，则M的取值范围是 （ ）
A．[0,] B．[,1] C．[1,8] D．[8,+∞）
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．设0<|x|≤3,1<|y|≤2005,是|x-y|的最大值与最小值的和是 ．
12．设 ．
13．若方程有一个正根和一个负根，则实数
的取值范围是__________________．
14．f(x)的图象是如图两条线段，它的定义域是，则不等
式 的解集是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）（1）设a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；
（2已知a、b是不等正数，且a3－b3= a2－b2 求证：1< a +b<．
16．（12分）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．
17．（12分）（1）求的最小值；
（2）若，且，求的最大值．
18．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0满足
（1）求的值； （2）若，解不等式
19．（14分）要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：
类 型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1 2 1
第二种钢板 1 1 3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
20．（14分）（1）设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；
（2）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|x|≤2的一切实数x的取值都成立．
x
y
O
1
－1 1
－1
