教 案
教学基本信息
课题 平面向量的减法运算
学科 数学 学段： 高一 年级 高一
教材 书名：人教A版数学必修第二册 出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标及教学重点、难点
本节课类比数的减法运算定义平面向量的减法运算；能借助图形画出一个向量的相反向量；借助实例和平面向量的几何表示掌握平面向量减法运算，理解平面向量减法运算的几何意义.感受数形结合、类比、转化等数学思想.在教学过程中设计了三道例题.
教学过程(表格描述)
教学环节 主要教学活动 设置意图
引入 我们知道，在数的运算中，学完加法后，会接着学习减法.同样，在向量的运算中，上节课学面向量的加法运算，本节课我们就来学面向量的减法运算》.我们先回顾一下上节课所学的加法运算的内容. 1.平面向量加法的运算法则. 2.之间的关系. 上节课所学的向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则及之间的关系.与本节课减法的学习都息息相关.回顾旧知，为学习新知作铺垫.
新课 二、探究新知 （一）定义向量的减法 类比实数x的相反数是-x，定义向量a的相反向量-a，并说明相反向量的性质. 给出向量减法的定义是减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （二）动手实践，理解向量减法的几何意义 问题1：已知向量a和b，如何作a- b的图？追问向量的加法的两个法则都是有几何意义的，那么向量减法的几何意义是什么呢？ 探究：向量减法的几何意义. 讲解探究的过程，第一种探究方法: 选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够共起点.设，，，连接，由向量减法的定义，知 ． 在四边形中，，所以是平行四边形，所以． 最后概括出向量减法的作图步骤： 已知向量a，，在平面内任取一点，作，，则就是.强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义. 第二种探究方法：选择选择向量b的相反向量，使得-b与向量a能够首尾相接，选择-b 的终点与向量a的起点相接.探究出向量减法的几何意义. 第三种探究方法：选择选择向量b的相反向量，选择-b 的起点与向量a的终点首尾相接.探究出向量减法的几何意义. 思考：（1）如果从a的终点到的终点作向量，那么所得向量是什么？ （2）如果改变向量的方向，使，怎样作呢？ 例题：如图，已知向量，求作向量，. 作法：如图上图（2）在平面内任取一点，作，，，.则，. （三）之间的关系 问题2：之间有什么关系？ 由上节课我们学习的向量的加法我们得到了之间的关系，那么作两向量的差的图时也形成了三角形，那么之间一定也有关系.一起探究的关系. 通过把减法运算转化成加法运算，再利用整体代换的数学思想把不等式中的向量b用-b替换，就得到了. 再从三角形三边关系出发，从形上验证刚才的代数求解的正确性。同时得到向量a, b共线时，差向量的模与两向量模的关系. 例题：已知，.求的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 三、向量加、减法在几何中的应用 例 如图在中，，，你能用，表示向量，吗？ 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道 . 同样，由向量的减法，知. 追问1：一定成立吗？ 通过举反例，判断提问中的不等式不成立. 第一个反例是矩形，矩形时， 第二个反例是通过画图，变成钝角时，，让学生通过图形感受即可，不用跟学生说明角的大小的变化. 追问2：若平行四边形满足，能得到更特殊的平行四边形吗？ 类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则进行准备。引导学生类比数的减法定义向量的减法． 向量加法的两个法则是通过图形给出的，在此基础上思考如何作向量减法的图形. 让学生明确向量减法的几何意义. 分享多种探究向量减法几何意义的作图法，加深遇到减法时把它转化成加法的数学思想. 通过思考（1）加深对向量减法法则的理解同时通过图形明确向量减法是加法的逆运算. 通过思考（2）掌握共线向量求作两向量的差的方法并比较和数的减法的区别与联系. 通过例题加深对向量减法几何意义的理解。掌握作两个系列的差的基本方法. 把减法转发化成加法来思考，再利用 这个不等式的结论和整体代换的方法得到 . 从形的角度验证数的求解的正确性. 通过例题加深对之间的关系的理解. 平行四边形对角线可以用两个向量的和与两个向量的差来表示. 这就体现了向量既是代数的研究对象也是几何的研究对象. 向量集数与形于一身，用向量表示几何元素是用向量解决几何问题的基础. 让学生感受从数的角度出发，向量的模的关系可以刻画几何图形及其性质.
总结 四、课堂回顾 回顾本节课所学内容 1. 向量减法的几何意义是什么？ 2. 之间有什么关系？ 3. 如何研究向量的减法运算？ 回顾本节课的知识、方法与思想.
作业 五、课后作业 1. 如图，已知向量a，b，求作向量a - b. 2.（1）；（2）. 3.（1）已知向量a，，求作向量c，使. （2）（1）中表示量a，b，c的有向线段能构成三角形吗？ 课后作业，加深对知识的理解和掌握.(共134张PPT)
高一年级 数学
6.2.2 平面向量的减法运算
一、复习引入
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
三角形法则，
平行四边形法则.
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则：
a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
O
a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ，
O
A
a
a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
O
A
B
a
b
a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
则 即为所求 .
O
A
B
a
b
a b
+
a
b
向量加法的平行四边形法则：
a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
O
a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
a
b
O
A
B
a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，
a
b
O
A
B
a
b
C
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，
连接OC ，
a
b
O
A
B
a
b
C
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，
连接OC ，
则 即为所求.
O
A
B
a
b
a b
+
C
a
b
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
2.
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
2.
二、探究新知
逆运算
数
加法
减法
逆运算
数
加法
减法
相反数
类比
逆运算
向量
加法
减法
逆运算
数
加法
减法
相反数
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.
(3)a+(-a)=(-a)+a=0.
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.
(3)a+(-a)=(-a)+a=0.
(4)若a，b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.
a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
向量减法的定义：
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即
a-b=a+(-b).
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
已知非零向量a，b，求作a-b.
探究1：向量减法的几何意义
已知非零向量a，b，a-b的几何意义是什么？
探究1：向量减法的几何意义
作 ， ，
O
A
B
a
不共线向量
作 ， ，
作 ，
O
A
B
a
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)，
O
A
B
a
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
O
A
B
a
C
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
O
A
B
a
C
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
不共线向量
O
A
B
a
C
D
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.
不共线向量
O
A
B
a
C
D
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.所以
O
A
B
a
C
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.所以
因此，我们得到a-b的作图方法.
O
A
B
a
C
D
不共线向量
b
a
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
b
a
O
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
第二步，作 ， ，
b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，
b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，
即 .
b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
即 .
b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
第二步，作 ， ，
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向
量a的终点的向量.
共起点，连终点，指向被减.
即 .
则 ，
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
-b
O
A
B
b
a
探究1：向量减法的几何意义
(-b) + a
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
a +(-b)
探究1：向量减法的几何意义
a-b
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
O
A
B
a-b
a-b
b
a
-b
a
O
A
B
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
答：向量 .
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
答：向量 .
从数的角度看 .
思考：(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
a
b
O
A
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
a
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
a
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
反向
a
b
b
a
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
反向
a
b
b
a
O
A
a
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
反向
a
b
b
a
O
A
a
B
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？
同向
反向
a
b
b
a
O
A
a
B
b
O
A
B
b
a
a
b
d
c
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
a
b
d
c
O
.
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
a
A
O
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
a
b
d
c
a
b
A
O
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
a
b
A
C
O
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
探究2：
分析：
探究2：
分析：
探究2：
转化
分析：
探究2：
分析：
探究2：
分析：
探究2：
把b换成-b
分析：
探究2：
把b换成-b
分析：
探究2：
转化
把b换成-b
探究2：
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a-b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a-b
作 则
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a-b
作 则
共线向量
同向
a
b
O
A
B
b
a
探究2：
共线向量
同向
反向
a
b
O
A
B
b
b
a
a
O
A
a
B
b
探究2：
探究2：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
典型例题：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
解：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
当且仅当a与b方向相反时取得最大值.
由 ，
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最小值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最小值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
当且仅当a与b方向相同时取得最小值.
由 ，
可知 的最小值为
三、向量加、减法的应用
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
a
b
A
C
B
D
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
a
b
A
C
B
D
解：
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
a
b
A
C
B
D
解：由向量加法的平行四边形法则，得
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
a
b
A
C
B
D
a+b
解：由向量加法的平行四边形法则，得
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
典型例题：
追问：
典型例题：
追问：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
分析：
典型例题：
追问：
分析：
D
B
A
a
b
C
典型例题：
追问：
分析：
D
B
A
a
b
C
a+b
典型例题：
追问：
分析：
D
B
A
a
b
C
a-b
a+b
典型例题：
追问：
分析：
D
B
A
a
b
C
不成立.
a-b
a+b
典型例题：
追问：
分析：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
典型例题：
追问：
不成立.
分析：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
追问：如下图，在 中， ，
，你能判断这个平行
四边形是什么形状吗？
若
追问：如下图，在 中， ，
，你能判断这个平行
四边形是什么形状吗？
答：矩形
若
四、课堂回顾
1. 向量减法的几何意义是什么？
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
a-b 表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
O
A
B
a
.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
3. 如何研究向量的减法运算？
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
3. 如何研究向量的减法运算？
我们通过类比数的减法，把减去一个向量转化成加上这个向量的相反向量.
课堂回顾：
五、课后作业
课后作业
1. 如图，已知向量a，b，求作向量a-b.
2．化简：
（1） ；（2） .
3.（1）已知向量a，b求作向量c，使a + b + c=0.
（2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗？
a
b
谢谢观看，同学们再见!第六章 6.2 6.2.2
A级——基础过关练
1．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＝
B．＋＝
C．－＝
D．＋＝0
【答案】ABD 【解析】A项显然正确；由平行四边形法则知B正确；C项中－＝，故C错误；D项中＋＝＋＝0.故选ABD．
2．化简以下各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D 【解析】①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0.
3．(2020年北京期末)如图，向量a－b等于( )
A．3e1－e2
B．e1－3e2
C．－3e1＋e2
D．－e1＋3e2
【答案】B 【解析】如图，设a－b＝＝e1－3e2，∴a－b＝e1－3e2.故选B．
4．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C 【解析】由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3.故选C．
5．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
【答案】C 【解析】由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13.
6．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中所有正确命题的序号为________．
【答案】①②④ 【解析】非零向量a，b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【答案】0 2 【解析】若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0.又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1.因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
8．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：如图所示，作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b；
作向量＝a，则＝a－b＋a.
9．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
，，－，＋，－.
解：＝－＝c－a.
＝＋＝－＝d－a.
－＝＝－＝d－b.
＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
－＝－－(－)＝－＝f－d.
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝，求|＋|与|＋|.
解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||＝1，∴ ABCD为菱形．
∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1.
B级——能力提升练
11．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
【答案】C 【解析】以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．故选C．
12．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
【答案】B 【解析】因为＋＝＋，所以－＝－，即＝.所以ABCD．故四边形ABCD是平行四边形．
13．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c.又，的中点分别为D，E，则向量等于( )
A．(a＋b＋c) B．(－a＋b＋c)
C．(a－b＋c) D．(a＋b－c)
【答案】B 【解析】＝＋＝－a＋(b＋c)＝(－a＋b＋c)．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
【答案】① 【解析】－＋＝＋＝；＋＝＋＝≠；－＝≠；＋＝≠.
15．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|的值为________．
【答案】5或9 【解析】当a与b方向相同时，|a－b|＝||a|－|b||＝7－2＝5；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9.
16．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d.
解：因为a＋b＝，c－d＝，所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA．根据平行四边形法则可得，b－c＝，a＋d＝.
17．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c，试证明：b＋c－a＝.
证明：(方法一)因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
(方法二)＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a.
(方法三)因为c－a＝－＝－＝＋＝＝＋＝－＝－b，所以b＋c－a＝.
C级——探索创新练
18．已知|a|＝8，|b|＝15.
(1)求|a－b|的取值范围；
(2)若|a－b|＝17，则表示a，b的有向线段所在的直线所成的角是多少？
解：(1)由向量三角不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，得7≤|a－b|≤23.
当a，b同向时，不等式左边取等号，
当a，b反向时，不等式右边取等号．
(2)易知|a|2＋|b|2＝82＋152＝172＝|a－b|2.
作＝a，＝b，则||＝|a－b|＝17，
所以△OAB是直角三角形，其中∠AOB＝90°.
所以表示a，b的有向线段所在的直线成90°角．
