人教新课标A版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元练习（含答案)

人教新课标A版必修2第二章
点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1.（2019高二上·宁波期中）下列命题不正确的是（ ）
A. 若 ，且 ，则
B. 若 ，且 ，则
C. 若直线 直线 ，则直线 与直线 确定一个平面
D. 三点 确定一个平面.
2.（2020高一下·扬州期末）已知平面 、平面 、平面 、直线 以及直线 ，则下列命题说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3.（2020高二下·盐城期末）若平行六面体 的底面 是边长为2的菱形，且 ， ⊥底面ABCD， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.（2021高一下·三明期末）如图，在三棱锥P—ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD 平面PEF，则 的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.
5.（2019·恩施模拟）已知 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；③若 是异面直线， ， ， ， ，则 ；④若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（ ）
A. ②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
6.（2019高三上·宝坻期中）有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“直线 、 不相交”是“直线 、 为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线 平面 内所有直线”的充要条件是“ 平面 ”；③“直线 直线 ”的充要条件是“ 平行于 所在的平面”；④“直线 平面 ”的必要而不充分条件是“直线 平行于 内的一条直线．”
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
7.（2020高三上·潍坊期中）已知 ， 为不同直线， ， 为不同平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
8.（2021·重庆模拟）已知棱长为2的正方体 ， 为 的中点，点 在正方体的表面上运动，且 ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
9.（2019高二上·佛山月考）如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ．若 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）
A. 是定值 B. 点 在某个球面上运动
C. 存在某个位置，使 D. 存在某个位置，使 平面
二、填空题
10.（2019高一上·蒙山月考）在正方体 中， 与 所成的角等于________.
11.（2019高一上·汪清月考）如图所示，在圆锥 中， 为底面圆的两条直径， ，且 , ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为________.
12.（2019高一上·衡阳月考）在矩形 中， ，现将 沿矩形的对角线 进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线 与直线 垂直；
②存在某个位置，使得直线 与直线 垂直；
③存在某个位置，使得直线 与直线 垂直.
其中正确结论的序号是 .
13.（2019高一下·安庆期末）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．
14.（2019高三上·大庆期中）如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上 异于点A, ,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点 有以下四个命题：
① ∥平面 ；
② ∥平面 ；
③ 平面 ；
④平面 平面 ．
其中正确的命题的序号是________．
15.（2020高二上·山西月考）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于 ．
16.（2019高二上·濠江期中）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0①l∥平面ABCD；
②l⊥AC；
③直线l与平面BCC1B1不垂直；
④当x变化时，l不是定直线.
其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)
17.（2020·西安模拟）如图，已知圆柱的轴截面 是正方形，C是圆柱下底面弧 的中点， 是圆柱上底面弧 的中点，那么异面直线 与 所成角的正切值为________.
三、解答题
18.（2020·大庆月考）如图所示，正方体 中，棱长为2，且 分别为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求四面体 的体积.
19.（2019·新宁模拟）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别为BC和PC的中点
（1）求证：EF∥平面PBD．
（2）如果AB=PD，求异面直线EF与BD所成角的正切值
20.（2020高二上·静乐月考）如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点．求证：
（1） ， ， ， 四点共面；
（2） ， ， 三线共点．
21.（2020·广东模拟）设三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 是面积为 的等边三角形， ， ，且平面 平面 .
（1）求球 的表面积；
（2）证明：平面 平面 ，且平面 平面 .
（3）与侧面 平行的平面 与棱 ， ， 分别交于 ， ， ，求四面体 的体积的最大值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】解：对于A：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A中，平面 与平面 有一个交点 ，则有一条交线，且 在交线上.所以A符合题意.
对于B：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B真确.
对于C：由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意.
对于D：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知， 三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.
故答案为：D
2.【答案】 D
【解析】A项：因为 ， ，所以 ， ，A符合题意；
B项：因为两平面平行，分别与第三个平面相交，交线平行，
所以根据 、 、 可证得 ，B符合题意；
C项：因为 ，所以 垂直于平面 内的两条相交直线，
因为 ，所以平面 内的两条相交直线必与平面 内的两条相交直线对应平行，
所以 垂直于平面 内的两条相交直线， ，C符合题意；
D项：
如图所示，绘出正方体 ，
令平面 是平面 ，平面 是平面 ，平面 是平面 ，
则满足 ， ，但是 不成立，D不符合题意，
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】连 交于 ， 交于 ，连 ，则 ，
⊥底面ABCD， 底面ABCD，
底面 是边长为2的菱形， ，
，
以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：A.
4.【答案】 C
【解析】解：连接 ，交 于 ，连接 ，如图，
平面 ，平面 平面 ，
，
点 ， 分别为棱 ， 的中点．
是 的重心，
．
故答案为：C．
5.【答案】 A
【解析】①若 ， ，则 与 位置关系不确定；
②若 ，则 存在直线 与 平行，因为 ，所以 ，则 ；
③当 ， ， ， 时，平面 ， 平行；
④逆否命题为：若 与 垂直于同一平面，则 平行，为真命题.
综上，为真命题的是②③④.
故答案为：A
6.【答案】 C
【解析】解：①“直线 、 为异面直线” “直线 、 不相交”，
“直线 、 不相交” 直线 、 的位置关系有平行或异面，故由“直线 、 不相交”得不到“直线 、 为异面直线”
因此“直线 、 不相交”是“直线 、 为异面直线”的必要而不充分条件，因此不正确；
②“直线 平面 内所有直线”的充要条件是“ 平面 ”，正确；
③由“直线 直线 ”则直线 与直线 所在的平面的位置关系有平行、在平面内；
由“ 平行于 所在的平面”则直线 与直线 可能平行，异面；
故“直线 直线 ”与“ 平行于 所在的平面”相互不能推出，
因此不正确；
④由“直线 平面 ” 可得直线 平行平面 内的无数条直线；
由“直线 平行于 内的一条直线”则直线 可能与平面 平行也可能在平面 内；
故“直线 平面 ” “直线 平行于 内的一条直线”，反之不成立，
“直线 平面 ”的必要而不充分条件是“直线 平行于 内的一条直线．”
综上只有②④正确．
故答案为： ．
7.【答案】 C
【解析】A选项，若 ， ，则 或 ，A不符合题意；
B选项，若 ， ， ， ，当 时， 与 可能相交，B不符合题意；
C选项，若 ， ，根据线面垂直的性质，可得 ，又 ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，C符合题意；
D选项，若 ， ， ，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出 ，即不能推出 .D不符合题意；
故答案为：C.
8.【答案】 C
【解析】由题意知， 在平面 和平面 上的投影分别为 和 ，取 中点 ，连 ， ，∵ ， ，∴ ， ，
故 平面 ，
所以 点的轨迹即为平面 与正方体表面的交线，
取 中点 ，连接 ， ，则 ，
∴ ， ， ， 四点共面，
∴ 点的轨迹即为等腰梯形 ，
由正方体棱长为2得 ， ，
故轨迹长度为
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】如下图所示，取 的中点 ，连接 、 ，
、 分别为 、 的中点， ，且 ，易证四边形 为平行四边形，则 ，由等角定理得 ，由余弦定理可知 为定值，A、B选项正确；
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，同理可证 平面 ， ，则平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，D选项正确；
易知 和 均为等腰直角三角形，且 ， ，
，若 ，且 ，可得出 平面 ，
平面 ，则 ，这与 矛盾，C选项错误.
故答案为：C.
二、填空题
10.【答案】
【解析】连结 ， ，
则在正方体中，易得 ，
因此 等于 与 所成的角，
因为 ， ， 均为正方体面对角线，
所以 ，即三角形 为等边三角形，
所以 ，
即 与 所成的角等于 .
故答案为：
11.【答案】
【解析】连接 ，则 ，
即为异面直线 与 所成的角，
又 ， ， ，
平面 ，
，
即 ，
为直角三角形，
.
12.【答案】 ②
【解析】如下图，
若 ，已知 ，那么 平面 ，则 ，这与 矛盾，点 不会重合，所以①不正确；若 ，已知中 ，则 平面 ，点 在平面 内的射影落在线段 上，并且 ，所以存在某个位置使 ；所以②成立；若 ，已知 ，所以 平面 ，即 ，那 ，这与已知矛盾，所以③不正确。
13.【答案】 4
【解析】∵ 是直角三角形， ， 平面 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ 平面 ，
∴图中直角三角形有 （ 是直角 ）， （ 是直角）， （ 是直角）， （ 是直角），
∴图中直角三角形有4个，
故答案为4.
14.【答案】 ①④
【解析】对①,因为 为 的中点,故 为三角形 的中位线,故 ∥平面 .
故①正确.
对②,因为 平面 ,故②错误.
对③,因为 ,故 不会垂直于 ,故 不垂直于平面 .故③错误
对④, 因为 , 面 ,故 .又 .
故 平面 ,又 平面 ,故平面 平面 .故④正确.
故答案为①④
15.【答案】
【解析】由题意得，不妨设棱长为 ，如图， 在底面 内的射影为 的中心，故 ，由勾股定理得 ，过 作 平面 ，则 为 与底面 所成角，且 ，作 于中点 ，所以 ，所以 ，所以 与底面 所成角的正弦值为 ．
16.【答案】 ④
【解析】连接BD，B1D1 ， ∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立，
即不成立的结论是④。
17.【答案】
【解析】取圆柱下底面弧 的另一中点 ，连接 ，
则因为C是圆柱下底面弧 的中点，
所以 ，
所以直线 与 所成角等于异面直线 与 所成角.
因为 是圆柱上底面弧 的中点，
所以 圆柱下底面，所以 .
因为圆柱的轴截面 是正方形，
所以 ，
所以直线 与 所成角的正切值为 .
所以异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为: .
三、解答题
18.【答案】 （1）证明：取 中点为 ，连接 、 ，
因为 是正方体，点 和 为所在棱中点，
所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，
在正方形 中，点 和 为中点，
所以 ∥ ，
所以 ∥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
（2）解：因为 ∥平面 ，
所以 ，
在四面体 中，
，
到平面 的距离为2，
所以 .
19.【答案】 （1）证明： 证明：在△PBC中，E，F为BC和PC的中点，∴EF∥BP，∵EF 平面PBD，
PB 平面PBD，∴EF∥平面PBD.
（2）解：∵在△PBC中，E，F为BC和PC的中点，∴EF∥BP，∴异面直线EF与BD所成角为.
设四边形ABCD的边长为1，则PD=AB=1， ，
在直角三角形PBD中.
20.【答案】 （1）连接 ， ， ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
由两条平行线确定一个平面，得到 ， ， ， 四点共面．
（2）分别延长 ， ，交于点 ，
， 面 ，
面 ．
是 的中点， ，
是 的中点，
连接 ， ，
，
， ， 三线共点于 ．
21.【答案】 （1）解：取 的中点 ,连接 .
因为 ,所以 的外心为 .
因为 ,所以 .
又平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 在 上.
因为 是等边三角形,所以 是线段 上靠近点 的一个三等分点.
由题意得 ,解得 ,
所以球 的半径 ,球 的表面积为 .
（2）证明：因为 在 上,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
连接 ,则 ,又平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
（3）解：因为 ,所以 到平面 的距离 .
设 , 到平面 的距离为 .
因为平面 平面 ,所以 ,则 的面积为 .
又 ,所以 到平面 的距离为 ,
所以四面体 的体积 .
设 , ,
当 时, ；当 时, .
所以 ,
即四面体 的体积的最大值为 .