贵州省威旁中学2012-2013学年高一上学期9月月考数学试题

贵州省威旁中学2012-2013学年高一上学期9月月考数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数.有下列函数
① ② ③ ④
其中是一阶整点函数的是 ( ）
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
【答案】D
2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3． 已知映射,其中，对应法则若对实数，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】B
4． 若，，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
5．定义一种运算：，已知函数，那么函数的大致图象是（ ）
【答案】B
6．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(3)＝(　　)
A． B．8
C． D．16
【答案】C
7．函数的图像大致是 ( ）
【答案】A
8．对实数和，定义运算“”：设函数， ．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
9．偶函数满足，且在x∈0，1时, ，则关于x的方程，在x∈0，3上解的个数是（ ）
A． 1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
10．若定义在R上的二次函数在区间0，2上是增函数，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
11．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：令
从而有，此方程的解即为函数的零点.在同一坐标系中作出函数的图象如图所示.
由图象易知，，从而故
12． 三个数的大小顺序是 ( ）
A． B．
C． D．
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若函数y=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1)，则a=_______,
b=_______.
【答案】2 ， 2
14．已知点在直线上，则的最小值为 .
【答案】
15． 若函数，在上单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
16．若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0, 上是减函数，在，＋∞)上是增函数．
(1)如果函数y＝x＋在(0,4上是减函数，在4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；
(2)设常数c∈1,4，求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大值和最小值．
【答案】 (1)由函数y＝x＋的性质知：y＝x＋在(0，上是减函数，在 ，＋∞)上是增函数，
∴＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.
(2)∵c∈1,4，∴∈1,2．
又∵f(x)＝x＋在(0, 上是减函数，在，＋∞)上是增函数，
∴在x∈1,2上，当x＝ 时，函数取得最小值2 ．
又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，
f(2)－f(1)＝1－．
当c∈1,2)时，f(2)－f(1)>0，f(2)>f(1)，
此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋．
当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，
此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.
当c∈(2,4时，f(2)－f(1)<0，f(2)此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c.
综上所述，函数f(x)的最小值为2；
当c∈1,2)时，函数f(x)的最大值为2＋；
当c＝2时，函数f(x)的最大值为3；
当c∈(2,4时，函数f(x)的最大值为1＋c.
18． 如图是一个二次函数的图象.
(1）写出这个二次函数的零点；
(2）写出这个二次函数的解析式及时函数的值域
【答案】（1）由图可知这个二次函数的零点为
(2）可设两点式，又过点，代入得， ，
其在中，时递增，时递减，最大值为
又，最大值为0，时函数的值域为
19．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈－5,5．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间－5,5上是单调函数．
【答案】(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈－5,5．
由于f(x)的对称轴为x＝1，结合图象知，
当x＝1时，f(x)的最小值为1，
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在区间－5,5上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
20．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，所以这时租出了88辆.
(2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50
整理得:f(x)＝－＋162x－2100＝－(x－4050)2＋307050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元
21．化简或求值：
(1）
(2）。
【答案】（1） 原式==2×22×33+2 — 7— 2+ 1 =210
(2）：分子=；
分母=；原式=1。
22．已知函数，
(Ⅰ）当时，求该函数的定义域和值域；
(Ⅱ）如果在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】 (1) 当时，
令，解得
所以函数的定义域为.
令，则
所以
因此函数的值域为
(2) 解法一：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立
令
当时，，所以满足题意.
当时，是二次函数，对称轴为，
当时，，函数在区间上是增函数，，解得；
当时， ，，解得
当时，，，解得
综上，的取值范围是
解法二：在区间上恒成立等价于在区间上恒成立
由且时，，得
令，则
所以在区间上是增函数，所以
因此的取值范围是.