2020-2021学年鲁教版九年级数学下册5.9弧长及扇形的面积同步练习（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.9弧长及扇形的面积》同步练习题（附答案）
1．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于D、E．若∠A＝60°，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．3π
2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，在点C的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．扇形AOB的面积为 B．弧BC的长为
C．∠DOE＝45° D．线段DE的长是2
3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为150°，AB的长为30cm，BD的长为15cm，则的长为（　　）
A． cm B． cm C．25πcm D．50πcm
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）
A．2π B．4π C． D．π
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若AD＝CD＝2．则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝4，阴影部分的面积是（　　）
A．+8 B．4+ C．8+ D．4+
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）
A．﹣4 B．+4 C．﹣2 D．+2
8．如图扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形ODCF的顶点F，D，C分别在OA，OB，上，过点B作BE⊥FC，交FC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积等于 　 　．
9．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为　 　．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为　 　，线段AE的长为　 　，图中阴影部分面积为　 　．
11．如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2020的坐标是　 　．
14．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝　 　．
15．如图，已知半圆的直径AB＝4，点C在半圆上，以点A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接BC．若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果不取近似值）
16．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以AD、DC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为　 　．
18．如图扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，将扇形OAB绕边OB的中点D顺时针旋转90°得到扇形O'A'B'，弧A'B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．
（1）求证：∠ACO＝∠CDB；
（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长．
20．如图所示，∠AOB＝90°，∠COB＝45°，
（1）已知OB＝10，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积；（结果可保留π）
（2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为　 　平方厘米．
参考答案
1．解：∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO＝∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BOD+∠COE＝360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵BC＝6，
∴OB＝OC＝3，
∴S阴影＝＝3π，
故选：D．
2．解：A、扇形AOB的面积＝＝π，本选项说法错误，不符合题意；
B、弧AB的长＝＝π，
∵点C不一定是的中点，
∴弧BC的长不一定是，本选项说法错误，不符合题意；
C、如图1，连接OC，
∵OB＝OC，OA＝OC，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠COD＝∠COB，∠COE＝∠COA，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠COB+∠COA）＝45°，本选项说法正确，符合题意；
D、如图2，连接AB，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD＝DC，AE＝EC，
∴DE＝AB＝，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
3．解：∵AB＝30cm，BD＝15cm，
∴AD＝AB﹣BD＝15（cm），
∴的长＝＝（cm），
故选：B．
4．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝＝，
故选：D．
5．解：连接AC、OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝ED＝CD＝，＝，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，
∵AD＝CD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠COB＝60°，
在Rt△COE中，OC＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：B．
6．解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OA，OB，OC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴A、O、D共线，
∵∠ACB＝75°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝4，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD＝OB＝＝2，
∴AD＝4+2，
∴S△ABC＝BC AD＝＝8+4，
S△BOC＝BC OD＝＝4，
∴S阴影＝S△ABC+S扇形OBC﹣S△BOC＝8+4+﹣4＝8+；
故选：A．
7．解：由图形可知，扇形ADC的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+π×12﹣22
＝﹣4，
故选：A．
8．解：连接OC，
∵正方形的边长为1，即OD＝CD＝1，
∴OC＝＝，
∴BD＝OB﹣OD＝﹣1，
∵OA＝OB，OF＝OD，
∴AF＝BD，
∵CF＝CD，
∴阴影部分的面积＝长方形CDBE的面积＝﹣1，
故答案为：﹣1．
9．解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴与的长度之比＝：＝：1，
故答案为：：1．
10．解：∵等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，
∴OB＝OC，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的长度为＝π；
∴图中阴影部分面积
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC
＝π×AD2﹣π×AC2
＝π（196﹣100）
＝16π．
故答案为：π；14；16π．
11．解：∵S阴影＝S半圆AB′+S扇形ABB′﹣S半圆AB
而根据旋转的性质可知S半圆AB′＝S半圆AB
∴S阴影＝S半圆AB′+S扇形ABB′﹣S半圆AB＝S扇形ABB′
而由题意可知AB＝12，∠BAB′＝75°
即：S阴影＝＝30π
故答案为30π．
12．解：如图，连接BF，作BH⊥AC于H，
由题意得，BA＝BE＝3，
tan∠BAC＝＝，
则∠BAC＝60°，又BA＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，AF＝AB＝3，
则BH＝AB×sin∠BAC＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×3×＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2020＝505×4，
∴A2020的坐标为（1，2021）．
故答案为：（1，2021）．
14．解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
故CD＝DB＝DA，
∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC＝BC＝x，
则S扇形ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，
其中，
，
故：，
所以：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）
故答案为：2．
15．解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝，AC＝，
∴，
∵∠CAB＝30°，
∴扇形ACD的面积＝，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
16．解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AC，则AC必过点O，连接OD；
则图中的四个小弓形的面积相等，
∴两个半圆的面积﹣Rt△ADC的面积＝4个小弓形的面积，
∴两个小弓形的面积为（2π﹣4），
图中阴影部分的面积＝Rt△ABC﹣2个小弓形的面积＝﹣（2π﹣4）＝12﹣2π．
故答案是：12﹣2π．
17．解：作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为：．
18．解：延长EO交O'A'于P，则由∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，D为OB中点，可得
S阴影OPO′＝12﹣＝1﹣；
∵O′P＝OE，∠EPO'＝90°，
∴cos∠EO'P＝，
∴∠EO'P＝60°，EP＝
∴S阴影A′PE＝S扇形O′A′E﹣S△O′PE
＝﹣××1
＝﹣
∴S阴影＝1﹣+﹣＝1﹣+．
故答案为1﹣+．
19．（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠ACO＝∠CDB；
（2）解：连接OD，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，
∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，
在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，
解得，r＝2，
∵sin∠DOE＝＝＝，
∴∠DOE＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴弧AD的长＝＝π．
20．解：（1）根据题意得：
S半圆＝，
S扇＝；
（2）观察图形可知：
阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，
故答案为：6．