2021-2022学年人教版数学九年级上册第21章一元二次方程 单元测试（word版含答案）

第二十一章《一元二次方程》单元测试题
全卷满分：150分；考试时间：100分钟姓名 班级 学号
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定
5．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（　　）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）2=175
6．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
9．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元 设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A． B．
C． D．
10．已知关于x的一元二次方程M为ax2+bx+c＝0、N为cx2+bx+a＝0（a≠c），则下列结论：①如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；②如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；③如果方程M与方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．把一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是___ __，二次项系数是____ _，
一次项是__ ___，常数项是_____．
12．方程是一元二次方程，则m=___ __．
13．已知一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根分别是x1、x2，那么 (1+x1)(1+x2)的值是_ _．
14．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2021＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为__ _．
15．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是 ，且，则的值是__ ____．
16．一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是___ __．
17．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．
18．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是_ _____．
三、解答题（共78分）
19．（每小题6分，共24分）用指定的方法解下列方程：
（1）；（直接开平方法） （2）；（配方法）
（3）；（公式法） （4）．（因式分解法）
20．（8分）已知关于x的方程.
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2 ．
（1）求k的取值范围;（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．
22．（8分）2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病．
（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？
23．（10分）临近端午节，某食品店每天卖出300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降x（0（1）零售单价降价后，每只利润为 元，该店每天可售出 只粽子.
（2）在不考虑其他因素的条件下，当零售单价下降多少元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多？
24．（10分）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．
（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？
（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误；
2．C
解：
，
，
，
，
3．C
解：移项，得
x2=4，
开方，得
x1=2，x2=-2．
4．B
解：∵在方程x2-4x+5=0中，△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
5．B
解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
6．C
解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，
∴m+6=m2，
解得m=3或m=-2，
∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0
解得m=6或m=-2
∴m=-2．
7．D
解：设主干长出x个支干，则长出个小分支．
根据题意得．
8．B
解：
设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=28，
即
9．D
解：
设房价定为x元，根据题意，得
10．A
解：
①如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，方程两边同时除以25，
得a+ b+c=0，即c+b+a=0，
所以是方程N的一个根，故①正确，符合题意；
②如果方程M有两个不相等的实数根，那么△=b2-4ac＞0，
所以方程N也有两个不相等的实数根，故②正确，符合题意；
③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，
解得：x=±1，故③错误，不符合题意；
二、填空题
11．x2﹣12x﹣2＝0 1 ﹣12x ﹣2
解：（x﹣2）2﹣x＝7x+6，
x2﹣4x+4﹣x﹣7x﹣6＝0，
x2﹣12x﹣2＝0，
所以一元二次方程（x﹣2）2﹣x＝7x+6化为一般形式是x2﹣12x﹣2＝0，二次项系数是1，一次项是﹣12x，常数项是﹣2，
12．-2
解：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.
13．0
解：
根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
所以(1+x1)(1+x2)＝1+x1+x2+x1x2＝1+4+(﹣5)＝0．
14．2022.
解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2021＝0，即m2﹣m＝2021，
则原式＝2021+1＝2022，
15．4
解：
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1 x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
即（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
解得k=﹣2或k=1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，即k≥0，
∴k=1，
∴x1 x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4.
16．23或32
解：
设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（5﹣x），依题意得：
（10x+5﹣x）〔10（5﹣x）+x〕=736
解这个方程得：x1=2，x2=3．
当x=2时，5﹣x=3，当x=3时，5﹣x=2，∴原来的两位数是23或32．
17．1或2
解：设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．
依题意，得x（6-2x）=4．
整理，得x2-3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．
所以当x=1时，6-2x=4；
当x=2时，6-2x=2．
18．k≤且k≠﹣2
解：
∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1=0有实数根，∴△≥0且k+2≠0，即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0，整理得：﹣4k≥﹣1且k+2≠0，∴k且k≠﹣2．
三、解答题
19．（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1），
开平方，得，
解得；
（2），
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，即，
开平方，得，
解得；
（3），
，
，即；
（4），
，
分解因式，得，
∴或，
解得．
20．（1），；（2）证明见解析.
解：（1）设方程的另一根为x1，
∵该方程的一个根为1，∴.解得.
∴a的值为，该方程的另一根为.
（2）∵，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
21．（1）k≥﹣（2）k=2
解：（1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0， 解得k≥﹣ ， ∴k的取值范围为k≥﹣；
（2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2， ∵x1+x2=3x1x2﹣6，
∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0， ∴k1=2，k2=﹣， ∵k≥﹣， ∴k=2．
22．（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有448个健康的人患病．
解：
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人．
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人．
（2）（个）．
答：第三轮传染将又有448个健康的人患病．
23．（1） (1-x) ，（300+1000x）；（2）当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多
解：
（1）该店每天可售出300+100×=（300+1000x）只粽子．
每只利润为（1-x）元；
(2) 根据题意，得(1-x)（300+1000x）=420，
解得x1=0.4 x2=0.3，
显然，当x=0.4时, 300+1000x=700，
当 x=0.3时, 300+1000x=600，
700＞600，
答：当零售单价下降0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元，且卖出的粽子更多.
24．（1）；（2）有最大值，最大值为32.
解：（1）∵，由，
得 ；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
25．解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：(12+6)÷2=9s，
点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s．
∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，
∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm，
答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；
（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，
当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，，
∴12×622，解得：此方程无解；
当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．
∵△APQ的面积能否等于22cm2，，
∴12×622，解得：b1=1，b2=14(舍去)，
即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2．
答案第4页，总7页
答案第5页，总7页