4.4.3不同函数的增长差异 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
4.4.3不同函数增长的差异
人教A(2019)版
必修一
新知导入
复习巩固
1、指数函数的图象和性质
a>1 0(5)奇偶性： (5)奇偶性：
R
(0,+∞)
(0,1)
增函数
减函数
非奇非偶
非奇非偶
(6)当x>0时，y>1.
当x<0时，0(6)当x>o时，0　当x<0时，y>1.
x
y
o
1
x
y
o
1
对数函数的图象和性质
a>1 0图 象
性 质 定义域： 值域：
在（0，+∞）上是 函数 在（0，+∞）上是 函数
（0,+∞）
过点（1，0），即当x=1时，y=0
增
减
0
>

y
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一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上， 这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
我们以y=2x和y=2x为例来探讨一下一次函数与指数函数增长的差异
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在同一坐标系画出y=2x与y=2x的图像
可以看到，函数y＝2x和y＝2x的图象有两个交点(1,2)，(2,4)．在区间[0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之上，2x＞2x；在区间(0,2)上，函数y＝2x的图象位于y=2x的图象之下，2x ＜2x；在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x的图象之上，2x ＞2x．这表明，虽然这两个函数在［０，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数狔＝２狓的增长速度保持不
变，而函数狔＝２狓的增长速度在变化．
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当自变量狓越来越大时，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y=2x的增长速度依然保持不变，与函数y=2x的增长速度相比几乎微不足道．
一般地，指数函数y=ax（a＞１）与一次函数y=kx（k＞０）的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值，y=ax（a＞１）的增长速度最终都会大大超过y=kx（k＞０）的增长速度．
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可以看到，虽然它们在[0,+∞)上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数 的增长速度保持不变，而y=lgx的增长速度在变化．随着狓的增大，函数 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．
我们再来比较一次函数与对数函数的增长差异
我们以y=lgx和 为代表来考察这两类函数
新知讲解
一般地，虽然对数函数y=logax（a＞１）与一次函数y=kx（k＞０）在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y=kx（k＞０）保持固定的增长速度，而对数函数y=logax（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有logax＜kx．
新知讲解
指数函数 对数函数 一元一次函数
解析式 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
单调性 在(0,+∞)上单调递增 图象 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升
增长速度 越来越快 越来越慢 增长速度不变
存在一个x0,当x>x0时,ax>kx>logax 三种函数的性质及增长速度比较
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合作探究
例1、 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要求
分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金总数不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1 000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是,只需在区间[10,1 000],分别检验三个模型是否符合公司要求.
合作探究
解:借助计算机作出函数y=5,y=0.25x,
y=log7x+1,y=1.002x在第一象限内
的大致图象(如图所示):
观察图象发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都
有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,
这说明只有按模型y=log2x+1进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算
确认上述判断.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上递增,当x∈(20,1 000)时,
y>5,因此该模型不符合要求;
合作探究
对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)
内有一个点x0满足1.002x=5,由于它在区间[10,1 000]上递增,因此当x>x0时,
y>5,因此该模型y=1.002x也不符合要求;
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,
y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当
x∈[10,1 000]时,是否有
令y=log7x+1-0.25x,x∈[10,1 000].利用计算机作出函数f(x)的图象
(如图所示).由图象可知它是递减的,因此f(x)y=log7x+1<0.25x,
所以当x∈[10,1 000]时, <0.25.说明按模型y=log7x+1
时,奖金不会超过利润的25%.
课堂练习
1.存在x0,当x>x0时,下列不等式恒成立的是(　　)
A.2x2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来 增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)
A.一次函数 B.幂函数 C.指数型函数 D.对数型函数
答案:D
解析:初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.
答案:D
课堂总结
指数函数 对数函数 一元一次函数
解析式 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
单调性 在(0,+∞)上单调递增 图象 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 直线逐渐上升
增长速度 越来越快 越来越慢 增长速度不变
存在一个x0,当x>x0时,ax>kx>logax 三种函数的性质及增长速度比较
板书设计
指数函数
几类函数增长性差异比较
图像逐渐与y轴平行
增长速度越来越快
对数函数
图像逐渐与x轴平行
增长速度越来越慢
一元一次函数
图像直线逐渐上升
增长速度不变
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=kx(k>0)
存在一个x0,当x>x0时,ax>kx>logax
作业布置
3、课本P139练习1、2、3、4
1、在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并
探究它们的增长情况.
2、某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的
奖励方案:在销售利润达到10万元时, 按销售利润进行奖励,且奖金y(单
位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万
元,同时奖金总数不超过利润的25%.现有三个奖励方案模型:y=0.25x,
y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合该公司的要求
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