如皋市2021-2022学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9.ABC 10.AB 11.AD 12.AB
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.6 14. 15. 16. 18（2分）；（3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
（1）抛物线的方程为.
（2）.
18.（本小题满分12分）
（1）直线的方程为.
（2）面积最大时圆心到湖中心的距离为千米.
19.（本小题满分12分）
（1）椭圆的方程为.
（2）.
20.（本小题满分12分）
（1）轨迹方程为.
（2）最大值为，此时.
21.（本小题满分12分）
（1）轨迹方程为.
（2）的周长为.
22.（本小题满分12分）
（1）椭圆方程为.
（2）点在定直线上.如皋市2021-2022学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
抛物线的准线方程是（ ▲ ）.
A. B. C. D.
已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ▲ ）.
A.（-∞，2） B.（0，2） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（0，2）
已知直线，圆，其中.若点在圆C上，则直线l与圆C的位置关系是（ ▲ ）.
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ▲ ）.
A.[3,5] B.（0,5] C.[4,5] D.[16,25]
已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，过底面圆周上一点作与圆锥底面成30°角的平面，截这个圆锥得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（ ▲ ）.
A. B.8 C.16 D.
已知，，动点M满足，P为直线上一点，则|PM|的最小值是（ ▲ ）.
A. B. C. D.4
在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ▲ ）.
A. B.
C. D.
已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（ ▲ ）.
B. C.4 D.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
方程所表示的曲线可能是（ ▲ ）.
A.圆 B.两条直线 C.椭圆 D.抛物线
已知双曲线上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离可能是（ ▲ ）.
A.2 B.18 C.20 D.42
已知P为椭圆上一点，，为椭圆C的上焦点和下焦点，若为直角三角形，则P点坐标可能是（ ▲ ）.
B. C. D.
月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ▲ ）.
A.椭圆的离心率是 B.线段AB长度的取值范围是
C.面积的最大值是 D.的周长存在最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
圆与圆的公共弦长为 ▲ .
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为 ▲ .
过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为 ▲ .
已知以点为圆心的圆交x轴于O，A两点，交y轴于O，B两点，其中O为坐标原点，则的面积为 ▲ ；若直线与圆T交于M，N两点，且，则圆T的标准方程为 ▲ . (本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
（本小题满分10分）
已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
（1）求拋物线方程；
（2）直线与拋物线相交于两点，求的长.
（本小题满分12分）
滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为千米.一“直角型” 公路A-B-C（即）关于OB对称且与滴水湖圆O相切，如图建立平面直角坐标系.
（1）求直线BC的方程；
（2）现欲在湖边和“直角型”公路A-B-C围成的封闭区域内修建圆 形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最 大？求出此时圆心到湖中心O的距离.
（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为4，右焦点到右准线的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于M，N两点，椭圆上存在点P，使得， 求实数λ的值.
（本小题满分12分）
换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.
例如，已知，，，求的最小值.其求解过程可以是：
设，，，
则，
所以当时取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.
已知平面内两定点，，一动点P到两个定点的距离之和为4.
（1）请利用上述求解方法，求出P点的轨迹方程；
（2）求的最大值，并写出此时P点坐标.
（本小题满分12分）
设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切.
（1）求圆心C的轨迹E的方程；
（2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l与曲线E交于另一点N.试求的周长.
（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足 ，证明：点Q在一定直线上.
