2021-2022学年北师大版九年级数学上学期第四章图形的相似同步达标测试题（word版含答案）

第四章图形的相似同步达标测试题---2021--2022学年北师大版（2012）九年级上学期
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比等于（）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．已知，则的值为（）．
A． B． C． D．
3．如图，三条直线a∥b∥c，若，则＝（）
A． B． C． D．
4．如果线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA、PB，当PA2=PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点.现已知线段AB=10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示.那么线段PB的长约为( )
A．6.18 B．0.382 C．0.618 D．3.82
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延长线上一点, FD⊥BC于D,交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
6．如图，在中，，若，，则的值为（）
A． B．2 C． D．
7．已知，a，b，c是任意实数，且满足，则k的值是（）
A．1 B．2 C．﹣2或＋1 D．﹣1或＋2
8．如图：在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，GEBD且交AB于点E，GFAC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
9．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
10．在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，2)，B(﹣6，﹣4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．(﹣3，﹣2) B．(﹣12，﹣8)
C．(﹣3，﹣2)或(3，2) D．(﹣12，﹣8)或(12，8)
11．如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（）
A． B． C． D．
12．在长8cm，宽6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形后，使留下的矩形BEFA与原矩形ABCD相似，那么留下的矩形BEFA面积为（）cm2
A．24 B．25 C．26 D．27
13．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，若，则的面积是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，矩形中，，平分，于点M，于点N，G为的中点，交于点H，且，，则的值为（用含、的代数式表示）（）
A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点，若与的相似比为，已知，则它对应点的坐标是（）
A． B． C．或 D．或
16．如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长交于点，则等于（）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
17．已知三条线段长为1，2，，请你添上一条线段使它们构成一组成比例线段，则这条线段是______．（只填一个）
18．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为____．
19．若，则＝___．
20．如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是_______．
21．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是黄金分割比．著名的“断臂维纳斯”便是如此，该雕像的高约为，则此雕像的肚脐到足底的长度约是______（精确到）．
22．如图所示△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，已知点C'是OC的三等分点，则△A'B'C'与△ABC的面积之比为____．
23．如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________．
24．复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________．
评卷人得分
三、解答题
25．如图，华华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝1m，DE＝0.8m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝24m，求树高AB．
26．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）若正方形的边长为8，求FG的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，画三角形，使它与位似，且相似比为；
（2）内部一点M的坐标为，写出点M在（1）中的位似图形中对应点的坐标．
28．如图，△ABC中，点D在边BC上，且∠1＝∠B，AC＝，BC＝，求CD的长．
29．如图，在 ABCD中，E是BC上一点，连接AE，在AE上取点F，使得∠DFE＝∠C．求证：AD AB＝AE DF．
30．如图，在△ABC中，AC＝3，AB=5，请用尺规作图法，在BC上求作一点O，使得S△AOC：S△AOB＝3：5．（不写作法，保留作图痕迹）
31．如图，为等边三角形，点D在线段CB的延长线上．点E在线段AC的延长线上，连接AD，DE，．
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长．
32．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，
（1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的；
（2）若将绕某一点旋转可以得到；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求解．
【详解】
解：∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比等于1∶2．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
2．D
【分析】
利用已知将原式变形进而代入求出答案．
【详解】
解：∵5a=4b，
∴a=b，
∴．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确得出a，b之间关系是解题关键．
3．B
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
∴
故选B
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
4．D
【分析】
根据点P是线段AB的黄金分割点，可求出PA，再利用PB=AB－PA即可.
【详解】
∵点P是线段AB的黄金分割点，AB=10
∴PA≈0.618AB=6.18
∴PB=AB－PA≈10－6.18=3.82
故选D.
【点睛】
此题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键.
5．A
【分析】
通过公共角，直角，对顶角的角度信息判断相似的三角形，最后根据相似三角形的传递性得到相似三角形的对数.
【详解】
三角形ABC与三角形BDF中，有∠B公共，∠FDB=∠BAC=90°，则
三角形EFA与三角形EDC中，有∠FAE=∠EDC=90°，∠FEA=∠DEC，则
三角形EFA与三角形BDF中，有∠F公共，∠FAE=∠FDB=90°，则
所以根据相似的传递性四个三角形两两相似
故共有6对.
故答案为A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，务必清楚的是两个角对应相等的三角形相似.
6．B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理可得．
【详解】
解：，，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，解题的关键是根据平行线分线段成比例定理解答．
7．D
【分析】
根据已知条件得出，再把三式相加得出，然后分两种情况当时和当时讨论，即可得出k的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
分类讨论①当时，
则有：；
②当时，则，
则有：．
∴k的值为2 或-1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解决此题关键是把等式变形，进而通过分析的取值，确定k的取值．
8．C
【分析】
由GEBD、GFAC利用平行线分线段成比例，可得出，，进而可得出，此题得解．
【详解】
解：∵GEBD、GFAC，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出，是解题的关键．
9．B
【分析】
过O点作OM∥AB，求出AM和MO的长，利用△AEF∽△MEO，得到关于AE的比例式，求出AE的长即可．
【详解】
解：过O点作OM∥AB，交AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD=14，
∴O为BD的中点，
又∵OM∥AB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=DM=AD=，OM=AB=7．
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE=．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
10．C
【分析】
根据位似变换的性质计算即可．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
11．D
【分析】
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
C、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
12．D
【分析】
矩形BEFA与矩形ABCD相似，再利用相似多边形的对应边成比例列方程解方程求解从而可得答案.
【详解】
解：矩形BEFA与矩形ABCD相似，
故选：
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，判断相似多边形的对应边是解本题的难点.
13．D
【分析】
过E点作边CD的高，根据相似三角形求出EH的长即可．
【详解】
解：过E点作边CD的高EH，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出EH的长是解题关键．
14．B
【分析】
连接并延长交于，求出，求出是中位
线，代入求出即可．
【详解】
解：连接并延长交于，
，，，
，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形性质，平行线等分线段定理，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
15．D
【分析】
直接利用位似图形的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而得出答案．
【详解】
解；与位似，位似中心是原点，与的相似比为，
又∵，
当点B1在第三象限时，即，
当点B1在第一象限时，即，
∴它对应点的坐标是；或．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形位似，掌握三角形位似的性质是解题关键
16．C
【分析】
由题意易得BD=10，则有，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键．
17．2（答案不唯一）．
【分析】
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【详解】
解：根据比例线段的概念：要求第四个数，只需让其中的任何两个数相乘，再除以第三个数，即可求得第四个数．
即是1×2÷＝，或1×÷2＝，或2×÷1＝2．
所以所求的线段的长度为：或或2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了比例线段的概念，正确求解第四个数：让其中的任何两个数相乘，再除以第三个数．掌握比例线段的概念是解题关键．
18．168°
【分析】
根据相似三角形对应角相等求解即可．
【详解】
解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°，
故答案为：168°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题关键是明确相似三角形对应角相等．
19．
【分析】
利用比例的性质，求得，之间的关系，代入代数式求解即可．
【详解】
解：由可得，
则
故答案为：
【点睛】
此题考查了比例的性质，根据比例的性质求得，之间的关系是解题的关键．
20．2:3.
【解析】
试题分析：根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．
∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3．
考点:相似三角形的性质．
21．
【分析】
设此雕像的肚脐到足底的长度为，由黄金分割的定义得，即可解决问题．
【详解】
解：设此雕像的肚脐到足底的长度为，
雕像满足黄金分割比，且身高为，
，
解得：，
即此雕像的肚脐到足底的长度约为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，解题的关键是掌握黄金比值约为0.618．
22．
【分析】
由题意可得，，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵点是OC的三等分点
∴
由题意可得，
∴
∴
由相似三角形的性质可得
故答案为
【点睛】
此题考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
23．10
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．
24．
【分析】
设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为、，
得到的矩形都和原来的矩形相似，
，则，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
25．19.5m
【分析】
首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性质可得，求出BC长，进而可得答案．
【详解】
解：在Rt△DEF中，DE2＋EF2＝DF2，
即：0.82＋EF2＝12，
∴EF＝0.6，
由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵EF＝0.6m，DE＝0.8m，CD＝24m，
∴，
解得：BC＝18米，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋18＝19.5m．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例．
26．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，再由AE＝ED，DF＝DC，可得，即可求证；
（2）可先证得△DEF∽△CGF，从而得到，再由勾股定理，求出，即可求解．
【详解】
证明：（1）在正方形ABCD中，
AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，
∵AE＝ED，DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）在正方形ABCD中，，
∴△DEF∽△CGF，
∴，
∵正方形的边长为8，
∴CD=AD=8，
∵AE＝ED，DF＝DC，
∴DE=4，DF=2，CF=6，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，得到相似三角形是解题的关键．
27．（1）画图见详解；（2）点M′或．
【分析】
（1）根据的顶点坐标，与且相似比为，先求出位似图形中点A′或A″坐标与点B′或B″坐标，然后描点，顺次连结即可；
（2）利用位似比为，点M的横纵坐标都扩大2倍即可．
【详解】
解：（1）以原点O为位似中心，使它与位似，且相似比为，把这个三角形扩大为原来的2倍
∵的顶点坐标分别为，
∴位似图形中点A′坐标为（2×2,1×2）即（4，2）或A″（-2×2，-1×2）即（-4，-2），
位似图形中点B′坐标为（1×2,-2×2）即（2，-4）或B″（-1×2，2×2）即（-2，4），
在平面直角坐标系中描出点A′（4,2），A″（-4，-2），B′（2，-4），B″（-2,4），
顺次连结，得；顺次连结，得；
∴与为的位似图形；
（2）点M的坐标为，且相似比为；
∴点M′即或M″即．
【点睛】
本题考查位似图形的画法，以及求位似图形中点的坐标，掌握位似图形的画法，先求点的坐标，再描点，最后连线构图，利用扩大或缩小的方法求位似图形的点的坐标是解题关键．
28．
【分析】
根据∠1=∠B，∠C=∠C，可证明△ABC∽△DAC，得到，由此求解即可．
【详解】
解：∵∠1=∠B，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
29．见解析
【分析】
根据四边形ABCD是平行四边形、∠DFE＝∠C证明△ABE∽△DFA，可得，即可证得AD AB＝AE DF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠AEB＝∠DAF，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠C，
∴∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴AD AB＝AE DF．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
30．见解析
【分析】
由题意作BM∥AC，在射线BM上截取BD，使得BD＝BA，连接AD交BC于点O，点O即为所求作．
【详解】
解：如图，点O即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
31．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据为等边三角形，可知，从而求得，再根据，可求得，即可证得；
（2）由（1）知，可得，即可求得的长．
【详解】
证明：为等边三角形
，
又
（2），
为等边三角形，
由（1）可知：
，
．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．
32．（1）见详解；（2）旋转中心的坐标为；（3）
【分析】
（1）根据题意及旋转、平移的方法进行画图即可；
（2）由（1）图可直接进行解答；
（3）根据B点关于x轴对称点为，连接，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．
【详解】
解：（1）由题意点的对应点的坐标为，可得：先向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，如图所示：
（2）连接，交于一点E，则E即为旋转中心，如图所示：
由图可得：旋转中心的坐标为；
（3）由（2）图可得B点关于x轴对称点为，连接，交x轴于点P，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，如图所示：
由图可得：PO∥AC，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．