2021--2022 学年度上学期高一第二次月考数学答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A
8．【答案】B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【详解】因为 1 1 ，0 0 ， 0 0 ，3 3.4 3 ，
2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2
1 1 1 1 所以 ， 0， 0， 3.4 3，
2 4 4
1 1 1
∴ f ( ) ( 1) ，①正确； f (3.4) 3.4 3 0.4，②错误 ；
2 2 2
f ( 1 ) 1 1 0 ， f (
1) 1 0 1 1 1 ，∴ f ( ) f ( )故③正确；
4 4 4 4 4 4 4 4
y f (x) 1 1 1 1 1 1的定义域是 R，因为m x m ，所以 x m ，即 x x
2 2 2 2 2 2
f x x x 1 1∴ 值域是 ( , ] ，故④错误.
2 2
综上，正确的命题个数为 2个，故选：B.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．ACD 10．BCD
11．【答案】AC
【详解】解：因为 f (x) x 1 x 1,9 g(x) f (x) 2， f x2 ，
1 x 9
所以 2 ，解得1 x 3，即函数 g(x)的定义域为 1,3 ，
1 x 9
2 2
g(x) x 1 2所以 x2 1 2x2 2x 2 2 x 1 3
，所以 g x 2
x
1 3 在 1,3 上单调递增，所
2 2 2 2
以 g x g 1min 6， g x g 3max 26，故选：AC
12．【答案】BD
2
【详解】函数 f (x) x 1 定义域为 ，
ex 1
R
f (x) x 2 1 x 1 e
x 1 e x x
x x ， f ( x) ( x) x ( x)
e 1
f (x)，
e 1 e 1 e 1
ex 1
故函数 f (x)为偶函数，其图像关于 y轴对称，所以 A错误；
2 2
当 x 0时， y x 1 0，且 y 1在 (0, )单减，e 1 ex 1
设0 x1 x
2 2 2
2，则0 x 1
2
1 ．所以 x
e 1 1 ex2 1 1 ex
1 x 11 1 2 ex2 1
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故 f (x) x
2 x 1
在 (0, )单减，故 C错误；
e 1
又由 f (x)的图像关于 y轴对称，故 f (x)在 ( , 0)上单增，所以 B正确；
结合 f (x)的单调性可知， f (x) f (0) 0，故 f (x)的值域为 ( , 0]，所以 D正确．
故选：BD．
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上）
3 1 1
13．1 14． 3, 15．
2
,0 2
,1
2
16 1．【答案】1 . 2 或 1
【详解】∵ f (x) , g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，
g(0) 0 f 0 g 0 20， 0 1∴ f (0) 1
f ( x) f (x)， g( x) g(x)
f x g x 2x又∵ x①，
∴ f ( x) g( x) f (x) g(x) 2 x x②
1
①+②： 2 f (x) 2 x 2 x x x，∴ f (x) 2 2 ,
2
h x 2 x 2021又∵ λf x 2021 2λ2 2 x 2021 1 2x 2021 2 x 2021 λ 2λ2
2
换元设 x 2021 t
x 2021
又∵关于 x的方程2 λf x 2021 2λ2 0有唯一的实数解，
设m(t) 2 t
1
2t 2 t 2 2，
2
∵m(t) 1为偶函数，∴当且仅当 t 0时为唯一零点，∴1 2 2 0，解得 或 1 .2
1
故答案为： 0； 2 或 1
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1） A x 2 x 6 ， B x 1 x 5
A B x 2 x 6 x 1 x 5 x 1 x 6 .…………………2分
U A x x 2或 x 6 ， ( U A) B x 1 x 2 …………………5分
（2） C x m x m 1 ，C B，
m 1
则 ，解得1 m 4，即m [1, 4] .…………………10分
m 1 5
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18．解：（1）作图如下：
…………………4分
（2）看图可知函数 f (x)的单调增区间为 , 2 , 0,1 ，函数 f (x)的单调减区间为 2,0 , 1, ；…8分
（3）如图，若函数 f (x)的图象与直线 y m有 4个交点，则需 1 m 0 .
所以实数m的取值范围为 1 m 0 .…………………12分
19. （1）当 x 0, 2 时，设 f x ax2 bx c，
f x 是奇函数， f 0 c 0，又 f x 1 1 的图形过 1, 0 和 ，2 4 ，
f 1 a b 0
1 1 1 1 a 1,b 1 f x x 2 ，解得 ，即 x，…………………4分
f a b
2 4 2 4
当 x 2,0 x 0,2 2 2时， ，则 f x x x f x ，即 f x x x，
2
f x x x, 2 x 0 ；…………………7分
x
2 x,0 x 2
2
（2）当 x 0, 2 时， f x x2 1 1 x x
，
2 4
当 x
1 1
时， f x ，当 x 2时， f x 2
2 max 4 min
，
又 f x 为奇函数， f x 的值域为 2, 2 .…………………12分
50 x2 2 30x,0 x 2
20．解：（1）由题意可得 f x 10W (x) 20x 30x 480 ，
480 30 x, 2 x 5
x 1
50x2 30x 100,0 x 2
即 f x ，
480 30
16
x
x 1
, 2 x 5
50x2 30x 100,0 x 2
所以函数 f (x)的函数关系式为 f x .…………………6分
480 30
16 x , 2 x 5
x 1
第 3 页 共 5 页
（2）当0 x 2时， f x 50x2 30x 100 30 3为开口向上的抛物线，对称轴为 x ，
2 50 10
所以当 x 2 2时 f x f 2 50 2 30 2 100 240max ，…………………8分
f x 480 30 16 x 480 30 16 x 1 30 510 30 16当 2 x 5时， x 1
x 1 x 1 x 1
16
510 30 2 16 x 1 270，当且仅当 x 1即 x 3时等号成立，此时 f x 270min ，…11分x 1 x 1
综上所述：当投入的肥料费用为 3 10 30元时，单株水果树获得的利润最大为 270元.………………12分
21．解：（1） f x 的定义域 R关于原点对称.
3 xf (x) 2
x 1 2x 3x 1 6x
3 x 2x
1 2x 3x
1 6x
x x
f ( x) 1 6 6 1所以 f (x) ，则 f x 是奇函数. …………3分
1 6 x 6x 1
1 6x 2
（2）由（1）知 f (x) 1 ， f (x)在 R上单调递减.…………4分
1 6x 6x 1
x x
2 2 2 6 2 6 1
证明如下：任取 x1 x2 R，则 f x1 f x2 x ，6 1 1 6x2 1 6x1 1 6x2 1
x x
因为函数 y 6x在 R上是增函数，且 x1 x2，所以6x2 6x1 0，又 6 1 1 6 2 1 0，
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 >f x2 ，
所以函数 f (x)在 R上单调递减.…………………7分
（3 2）因为 f (x)是奇函数，从而不等式 f kx f 2x 1 0等价于 f kx2 f (2x 1) f (1 2x ) ，
由（2）知 f (x)在 R上上单调递减，由上式推得 kx2 1 2x，
x 1即对一切 ,3
k 1 2x 有 2 恒成立，…………10分 3 x
设 g x
1 2x 1 1
2
1 1
x x 2
2
x ，令 t ， t ,3x 3
1
则有 h(t) t 2 2t ， t ,3 ，所以 g(x)max h(t)max h(3) 3 ， 3
所以 k 3，即 k的取值范围为 (3, ) .…………12分
22．解：（1）①m 1 0 m 1时， f (x) x 2，不合题意，舍去； …………………1分
②m 1 0 m 1时，
m 1 0 m 1 m 2 3 2 2 m 4 m 1 m 1 0
.
3m 4 0 3
综上：m 2 3 . …………………3分
3
第 4 页 共 5 页
（2） f x m即 (m 1)x2 mx 1 0，所以 (m 1)x 1 x 1 0， ……4分
①m 1时，解集为：[1, )； …………………5分
②m 1时， (x 1 ) x 1 0，因为 1 1 0 1，所以解集为： ( , ] [1, )； ……6分
m 1 m 1 m 1
③ 2 m 1时， (x 1 ) x 1 0，因为 1 1，所以解集为： 1, 1 . ……………7分m 1 m 1 m 1
（3）因为不等式 f x 0的解集为D，且 1,1 D，
即对任意的 x 1,1 ，不等式 (m 1)x2 mx m 1 0恒成立，
2
即m x2 x 1 x2 1 1 3恒成立，因为 x2 x 1 x 2 0 ， 4
x2 1
所以m 2 1
2 x
x x 1 x2
，…………………9分
x 1
设 t 2 x 1,3 , x 2 t，
2 x t 1 1 1 2 3 3
2 2 3 所以 x x 1 t 3t 3 t 3 3 3 ，
t 2 t 3
2 3 3
t
当且仅当 t 3 x 2 3 时取“=”.
2 x
所以 1 2 的最大值为：x x 1 1
2 3 3 2 3
，
3 3
所以m 2 3 . …………………12分
3
第 5 页 共 5 页奉新县部分学校2021--2022学年度上学期高一第二次月考数学试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）
A． B． C． D．
4．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
5．已知，，则m等于（ ）
A．0 B． C． D．
6．函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知满足对任意都有成立，
那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是．
则正确的命题的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知集合，，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，使得成立的充分不必要条件可为（ ）
A． B． C． D．
11．若，，那么（ ）
A．有最小值6 B．有最小值12
C．有最大值26 D．有最大值182
12．关于已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图像关于原点对称 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．的值域为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．计算： ．
14．对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是 ．
15．已知函数，集合为函数的定义域，集合为函数的值域，若定义，，则 .
16．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，则的值为______；若关于的方程有唯一的实数解，则实数的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，，，．
（1）求，；
（2）若，求的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围．
19．（12分）已知是定义在上的奇函数．当时，是二次函数，且的图形过和．
（1）试求的解析式；
（2）的值域．
20．（12分）习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．（12分）已知函数，定义域是.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
