新人教版九年级上册4.1.2 垂直于弦的直径

(共39张PPT)
一、圆
二、圆有关概念
弦
直径
弧
半圆
优弧
劣弧
弓形
同心圆
等圆
等弧
知识回顾
§24.1.2 垂直于弦的直径
·
O
C
D
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆的对称性
1.圆是轴对称图形吗？
驶向胜利的彼岸
如果是,它的对称轴是什么
你能找到多少条对称轴？
●O
你是用什么方法解决上述问题的
2.圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么 你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个问题的
圆的对称性
1．圆是轴对称图形.
驶向胜利的彼岸
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
２.圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个问题.
看一看
B
.
O
C
A
E
D
O
.
C
A
E
B
D
AE≠BE
AE＝BE
∟
③AM=BM,
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
驶向胜利的彼岸
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
　AD =BD.
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
②CD⊥AB,
垂径定理的推论
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
驶向胜利的彼岸
过点M作直径CD.
●O
右图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
C
D
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理的推论
●O
A
B
C
D
M└
垂径定理及其推论
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
知二可推其三
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
驶向胜利的彼岸
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦(　 )
②平分弦的直线必垂直弦 ( 　 )
③垂直于弦的直径平分这条弦( 　 )
④平分弦的直径垂直于这条弦(　 )
⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( 　 )
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这弦( )
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧 ( 　　 )
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
练习
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
AB=8cm
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E.求证: 四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 矩形ADOE为正方形.
3.已知：如图,在以O为圆心的两个同心圆中,
大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明:过O作OE⊥弦AB于E，
即OE⊥弦CD于E，
　　　则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE。
∴ AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
驶向胜利的彼岸
挑战自我　做一做
4.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
驶向胜利的彼岸
挑战自我　做一做
5、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 则⊙O 的半径OA＝＿＿＿.
AB
5cm
驶向胜利的彼岸
挑战自我　做一做
6.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
2
③AM=BM,
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
②CD⊥AB,
由 ① CD是直径
③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
可推得
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
垂径定理：
推论：
驶向胜利的彼岸
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ 　　）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦 所对的另一条弧. （ 　 ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（　 ）
⑷弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧( )
(5)分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的 两条弧分别三等分 ( )
结束寄语
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，　　你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
解得：R≈27．9（m）
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
如图，用 AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是AB 的中点，CD 就是拱高．
⌒
⌒
⌒
解：
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且oE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
驶向胜利的彼岸
解:连接oC.
●
O
C
D
E
F
┗
老师提示:
注意闪烁的三角形的特点.
赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
驶向胜利的彼岸
你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？
赵州石拱桥
驶向胜利的彼岸
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
相信自己能独立完成解答.
驶向胜利的彼岸
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
做一做P补
6
驶向胜利的彼岸
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
垂径定理三角形
在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.
⑴d + h = r
⑵
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
驶向胜利的彼岸
E
D
┌
600
垂径定理的逆应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
驶向胜利的彼岸
B
A
O
600
650
D
C
挑战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
驶向胜利的彼岸
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
R
D
O
A
B
C
37.4m
7.2m
不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.
努力吧同学们！