(共16张PPT)
细心观察 积极探索
在观察中发现特点
在探索中提高能力
等腰三角形的性质
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,
并剪去绿色部分,
再把它展开,得到的△ABC有什么特点
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
动手操作
等腰三角形定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边（AB和AC）叫做腰
另一条边（BC）叫做底边
两腰所夹的角（∠A）叫做顶角
折-剪-展
A
B
C
D
腰
腰
底
腰:
底边：
顶角：
底角：
腰与底边的夹角（ ∠B 和∠C）叫底角
做一做
现在请同学们将自己所作的等腰三角形对折，
使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕标为AD。
D
A
B
C
设问1： 等腰△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
折痕AD所在的直线是它的对称轴
设问2：通过折叠，你能发现哪些相等的线段、相等的角？
（1）AB=AC
（2）BD = CD
（3） ∠B = ∠C
（4）∠BAD=∠CAD
（5）∠ADC= ∠ADB=900
A
B
C
D
设问2：通过折叠，你能发现哪些相等的线段、相等的角？
（1）AB=AC
（2）∠B = ∠C
（3）∠BAD=∠CAD
（4）BD = CD
（5）∠ADC= ∠ADB=900
等腰三角形性质：
（简写成“等边对等角”）；
→ 两个底角相等
→ AD为底边BC上的中线
→ AD为顶角∠BAC的平分线
→ AD为底边BC上的高
→ 等腰三角形的两腰相等
性质1 等腰三角形的两个底角相等。
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高互相重合。（简称“三线合一”）
性质1
(等边对等角)
等腰三角形的两个底角相等。
A
B
C
D
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三 角形？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作底边的中线AD，则BD=CD
AB=AC ( 已知 )
BD=CD ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠1=∠2
AB=AC ( 已知 )
∠1=∠2 ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
1
2
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
等腰三角形的两个底角相等。
D
证明：
作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°
AB=AC ( 已知 )
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
在Rt△BAD和Rt△CAD中
几何语言：在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵BD=CD，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵∠BAD=∠CAD，____ ⊥____ ，_____ =_____.
A
B
C
D
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
CD
知一线得二线
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
(简称“三线合一”)
AD
1.判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）
（2）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
（4）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线。 （ ）
×
作业
（1）已知一个角为70°, 其余两个角分别为＿＿
（2）已知一个角为100°，其余两个角分别为＿
(3)已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（ ）
2.填一填
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，
且 BD=BC=AD，问：
1、图中有几个等腰三角形？是哪些三角形？
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
应用新知，体验成功。
△ABC 、△ABD、 △BDC
2、有哪些相等的角？
∠ABC=∠ACB=∠BDC 、 ∠ A=∠ABD
3 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC.
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
A
B
D
C
解：在△ABC中
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C= 1/2 (180°－∠A)
=40°(三角形内角和定理)
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线
与底边上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°
已知:点D、E在△ABC中, AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE。
A
B
C
D
E
F
等腰三角形的性质
文字叙述
几何语言
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）
∵AB=AC，∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=CD
课堂小结(共26张PPT)
等腰三角形的性质
观察下面的图形，你能发现它们有什么共同特点
北京五塔寺
西安半坡博物馆
斜拉桥梁
体育观
看台架
埃及金字塔
欣赏达芬奇的著作-最后的晚餐
你能发现画中最中间的人物的特点吗
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
什么是等腰三角形呢？
D
E
F
△ABC有什么特点
看一看
请问：剪出的三角形是等腰三角形吗？
实践观察，认识等腰三角形
探究
动画演示
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
动画演示
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
动画演示
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
动画演示
A
B
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
动画演示
A
C
把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
腰
腰
底角
B
D
C
A
大胆猜想
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗
探索等腰三角形的性质
合作学习
折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴，由此，我们很容易发现∠B=∠C
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的其他特征吗
结论：
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.∠B=∠C.
等腰三角形的两个底角相等
（简写“等边对等角”）
A
B
C
D
结论 2 用文字如何表述
等腰三角形的性质
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
提问:这命题的题设和结论是什么 用数学符号如何表示题设和结论
你能用所学的知识验证“等腰三角形的两个底角相等”吗？
已知:
求证:
△ABC中,AB=AC
∠B=∠C
证明:
A
B
C
推理证明性质
论证：
A
B
C
D
1
2
作△ABC 的中线AD
作顶角的平分线AD
证：△ABD≌ △ACD
（SAS）
证：△ABD≌ △ACD
(sss)
作△ABC 的高线AD
证：Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
证法欣赏
方法1：
方法2：
方法3：
例题
已知:△ABC中,AB=AC
求证:∠B=∠C
A
B
C
D
1
2
证法欣赏
已知：在△ABC中,AB=AC
求证：∠B=∠C
证明：画BAC的角平线AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知），
∠1=∠2
AD=AD(公共边)，
∴△ABD≌ △ACD(S.A.S.)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
例1 已知：在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,
求∠C和∠A的大小。
A
B
C
解：∵ AB=AC（已知）
∴∠C=∠B=70°（等边对等角）
又∵∠A+ ∠B+∠C=180°（三角
形的内角和等于180°）
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=180°
-（70°+70°）=40°（等式的性质）
知识运用
练习1：判断下列命题是否正确
（1）等腰三角形的底角都是锐角.（ )
(2）钝角三角形不可能是等腰三角形.（ ）
练习2：填空
（1）如果等腰三角形的一个底角等于40°，那么其余两个角的大小分别为（ ）和（ ）
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角的大小为（ ）
知识运用
（3）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角的大小为（ ）
（4）等腰三角形一边等于3，另一边等于6，那么它的周长为（ ）
知识运用
我得出了：
等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平线、底边上中线、
底边上的高线相互重合（简写成“三线
合一”）
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（或底边上的高线，或顶角平分线）所在的直线。
等腰三角形的性质
归纳：
一般的三角形
有这种性质吗？
等腰三角形的性质
2
D
A
B
C
1
(1) ∵ AB=AC ,AD是角平分线,
∴AD⊥ ， ＝CD
(2) ∵ AB=AC,AD是中线,
∴ ⊥ ,∠＿＝∠＿.
(3) ∵ AB=AC,AD 是高,
∴ ＿ ＝ ＿, ∠＿＝∠＿.
等腰三角形底边上的中线和高线、顶角的平分线互相重和。
性质1：∵ AB=AC ，∴∠＿＿＝∠＿＿
性质2：
几何语言表示
例1 已知：在△ABC中,AB=AC,∠B=80°,
求∠C和∠A的大小。
A
B
C
解：∵ AB=AC（已知）
∴∠C=∠B=80°（等边对等角）
又∵∠A+ ∠B+∠C=180°（三角
形的内角和等于180°）
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=180°
-（80°+80°）=20°（等式的性质）
知识运用
例2 如图，在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点，∠B=30°，求： A
（1）∠ADC的大小；
（2）∠1的大小.
解：（1）∵ AB=AC，BD=DC（已知）, ∴AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)
∴∠ADC=∠ADB=90°
（2）∵∠1+ ∠B+∠ADB=180°（三角
形的内角和等于180°）,∠B=30°（已知），
∴∠1=180°-(∠B+∠ADB)=180°-30°-90°=60°(等式的性质)
2
D
B
C
1
知识运用
等边三角形 A
基本概念
1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形
（正三角形）
如图：AB=AC=BC,△ABC就是等边三角形 B C
2、等边三角形的基本性质：
三条边都相等，
即AB=AC=BC
即∠A=∠B=∠C=60°
练习：判断下列命题是否正确
（1）等腰三角形的角平分线、底边上中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”.（ ）
（2）有一个角是60° 的角，其它两个内角也为60° .（ ）
(3)等腰三角形的底角都是锐角.（ )
(4)钝角三角形不可能是等腰三角形.（ ）
知识运用
谈谈收获
这节课我们学到了什么？
小结
1.等腰三角形的性质：等边对等角
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）
3."三线合一"的性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其它两个结论一定成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件
4.等边三角形的性质 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°
谢谢观赏，再见！(共27张PPT)
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情境创设
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高速公路
都有等腰三角形
等腰三角形的性质
华东师大版八年级（上）
学习目标
1、了解等腰三角形的有关概念。
2、理解等腰三角形的有关性质，并能运用
等腰三角形的有关性质解答相关问题。
探索新知
做一做
现在请同学们将刚才所发的等腰三角形对折，
使两腰 AB、AC重叠在一起，折痕为AD，
你能发现什么现象呢？
由此你可以得出什么结论呢？
D
A
B
C
等腰三角形是轴对称图形
∠B=∠C
等腰三角形两个底角相等
简写成“等边对等角”
BD=CD，AD为底边上的中线
∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合
简称“三线合一”
填空：在△ABC中，AB＝AC， D 在BC上，
1、如果AD⊥BC，那么∠BAD = ∠______,
BD = ______
2、如果∠BAD= ∠CAD，那么AD⊥___, BD = ____
3、如果BD=CD,那么∠BAD =∠ _____， AD⊥___,
∠ADB =∠ _____=___°
D
CAD
CD
BC
CD
CAD
BC
ADC
90
同步练习1
１.等腰三角形是轴对称图形
２.等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”
３.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合.简称“三线合一”
等腰三角形的三个性质
要记得哦!!
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。求∠C和∠A的度数．
例1
解:
（已知）
（等边对等角）
（三角形内角和等于 ）
例题解析
已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=30。求∠C和∠B的度数．
解:
结论:
在等腰三角形中,已知一个角,可以求另外两个角
同步练习2
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B( 等边对等角)
∵ ∠A+∠B +∠C=180。（三角形内角和等于180。）
∠A=30。 ( 已知)
∴ ∠B=∠C=75。
动脑筋
1、如果等腰三角形的一个底角为40°，那么它的其余两个角大小为 和
2、如果等腰三角形的顶角为40°，那么它的一个底角大小为
3、等腰三角形一个角为40°,它的另外两个角为________________________
4、等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_________________
同步练习3
40°
100°
70°
70° ， 70° 或40°， 100°
30°， 30°
1. 等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？
同步练习4
练 习
例2
如图，在△ABC中，AB=AC，D是 BC边上的中点，∠B=30。求∠１和∠AD C的度数．
解:
∵ AB=AC，D是 BC边上的中点
∠AD C＝ 90。
∵ ∠BAC=180。-30。-30。=120 。
（三线合一）
例题解析
小结
本节课你学到了什么
1、等腰三角形的定义以及相关概念。
2、等腰三角形的性质：
2）等腰三角形的底边上的中线,底边上的高
和顶角平分线、互相重合（简称“三线合一”）
1）等腰三角形的两底角相等（简写“等边对等角”）
课后作业
1、如图，点E在BC上，AE∥DC,AB=AE
求证：∠B=∠C.
A
B
C
E
D
2、如图，在△ABC中， AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,
垂足分别为D、E.
求证：BD=CE.
E
D
C
B
A
3、如图，AB=AC, ∠B=40 ，点D在BC上，
且∠DAC=50 .求证：BD=CD.
D
C
B
A
谢谢指导
再见！
