辽东南协作体2021—2022学年度上学期期中考试卷
高二数学（B）
考试时间：120分钟 满分：150分
范围：选择性必修一第一章至第2.5椭圆
一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．)
1.圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3.若直线与直线平行，则实数（ ）
A． B． C． D．
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．若直线的横纵截距不可能相等
6已知正方体的棱长为，点为线段上一点，，则点到平面的距离为( )
A． B． C．3 D．4
7.已知直线（为实数）是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．7 B． C．2 D．
8.已知点，，动点到直线的距离为，，则（ ）
A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于
C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值
二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得分5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9.已知椭圆：，关于椭圆下述正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的两个焦点分别为和
C．椭圆的离心率等于
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，则
10.下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是[0°，180°]
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
11.圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则=____.
14.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为________．
15.圆关于直线对称的圆的方程是________．
16.将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为___________.
四、解答题：(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17.（本题满分10分）已知三个顶点坐标分别为，，.
（1）求线段中点的坐标；及中线的直线方程，并把结果化为一般式;
（2）求边高线的直线方程，并把结果化为一般式.
18.（本题满分12分）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值．
19.（本题满分12分）如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点.
（1）证明：
（2）若F为棱PC上一点，且满足，求二面角的余弦值.
22.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线l的方程为.
（1）求圆C的方程
（2）过点作圆C切线，求切线方程
（3）当时，Q为直线l上的点，若圆C上存在唯一点P满足，求点Q的坐标
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高二数学（B）第6页（共6页）高二数学（B ）参考答案
一、单项选择题：1-4 ADBC 5-8 BBAC
二、多项选择题：9.ACD 10.ABD 11.ABD 12.AC
三、填空题：13.-16 14. 15.(x+2)2+(y-5)2=1 16.
四、解答题：17.解：（1）由题意，三个顶点坐标分别为，，，
设中点坐标为，由中点公式可得，
即中点坐标为，------------------------2分
又由斜率公式，可得，-------------4分
所以直线的直线方程为，即.--------------6分
（2）由，，可得,
所以上的高线所在直线的斜率为，--------------------8分
则上的高线所在直线的方程为，即.------10分
18.解：（1）连接，，则交于点.
如图所示：
在中，，分别是，的中点，
.--------------------------------------------------------------------------------2分
又平面，平面．平面；-------4分
（2）如图，
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．．----------6分
设平面的法向量为．
，．
，令，则，，
．------------------------------8分
是平面的法向量．--------------------------10分
．
平面和平面的夹角的余弦值是．--------------------------------12分
19.解：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
因为椭圆的两焦点分别为，，可得，，
所以，可得，所以，----3分
则，
所以椭圆的标准方程为．------------6分
（2）因为点在第二象限，，
在中，由．--------------8分
根据余弦定理得，
即，解得，--------------------10分
所以．-------------------12分
20.解：（1）证明：∵为矩形，且，
∴.-----------------1分
又∵，.∴，.-----2分
又∵，，
∴平面.---------------------4分
∵平面，∴
又∵，，
∴平面.---------------------6分
（2）解：以为原点，，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，
∴，， ----------------8分
设平面的法向量
则，即
∴，----------10分
∴
∴直线与所成角的正弦值为.----------------------分12分
21.解：（1）以点A为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
可得，，，，由E为棱PC的中点，
得，-------------------2分
向量，，故，
所以.-----------4分
（2）向量，，，.
因为点F在棱PC上，，，
所以，---------------6分
由，得，因此，解得，
即，------------------8分
设为平面FAB的法向量，则，即
令，得为平面FAB的一个法向量.----------------10分
取平面ABP的法向量，则，
经观察知二面角是锐角，所以其余弦值为.------------------12分
22.解：（1）设圆的方程为，将M，N坐标代入，
得：
解得
所以圆的方程为---------------2分
（2）当切线斜率不存在时，直线与圆相切；------------3分
当切线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离，-------------5分
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为或.-----------7分
设，，则，
化简得，----------------------9分
此圆与圆C相切，
所以有，解得，
所以或.--------------12
