2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2 双曲线 课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2 双曲线 课件(共39张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-23 21:17:29 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
3.2 双曲线
第三章 圆锥曲线的方程
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
椭圆及其标准方程
对称性
顶点
椭圆的定义
椭圆的标准方程
范围
离心率
椭圆
椭圆的简单几何性质
3.2.1 双曲线及其标准方程
二、知识讲解
我们知道，平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下．
二、知识讲解
如图，在直线 l 上取两个定点 A，B，P 是直线 l 上的动点．在平面内，取定点 F1，F2，以点 F1 为圆心、线段 PA 为半径作圆，再以 F2 为圆心、线段 PB 为半径作圆．
我们知道，当点 P 在线段 AB 上运动时，如果 |F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点 M 的轨迹是椭圆；如果 |F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．
探究
3.2.1 双曲线及其标准方程
P
A
l
B
PA＝3.92
MF1＝3.92
PB＝0.93
MF2＝0.93
PA＋PB＝4.85
MF1＋MF2＝4.85
P
F1
F2
M
M′
二、知识讲解
如图，在 |F1F2|>|AB| 的条件下，让点 P 在线段 AB 外运动，这时动点 M 满足什么几何条件？两圆的交点 M 的轨迹是什么形状？
探究
3.2.1 双曲线及其标准方程
A
l
B
PA＝5.97
MF1＝5.97
PB＝1.12
MF2＝1.12
PA－PB＝4.85
MF1－MF2＝4.85
P
F1
F2
M
M′
二、知识讲解
我们发现，在 |F1F2|>|AB| 的条件下，点 P 在线段 AB 外运动时，当点 M 靠近定点 F1 时，|MF2|－|MF1|＝|AB|；当点 M 靠近定点 F2 时，|MF1|－|MF2|＝|AB|．总之，点 M 与两个定点 F1，F2 距离的差的绝对值 |AB| 是一个常数（|AB|<|F1F2|）．这时，点 M 的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．
一般地，我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
3.2.1 双曲线及其标准方程
二、知识讲解
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
探究
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线 F1F2 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 F1 和 F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 Oxy．
3.2.1 双曲线及其标准方程
x
y
O
M
F2
F1
二、知识讲解
设 M(x，y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点 F1，F2 的坐标分别是 (－c，0)，(c，0)，又设 ||MF1|－|MF2||＝2a（a 为大于 0 的常数）．
3.2.1 双曲线及其标准方程
x
y
O
M
F2
F1
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P＝{M | ||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
因为 |MF1|＝，|MF2|＝，所以
－＝±2a． ①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
两边同除以 a2(c2－a2)，得 －＝1．
由双曲线的定义知，2c>2a，即 c>a，所以 c2－a2>0．
类比椭圆标准方程的建立过程，令 b2＝c2－a2，其中 b>0，代入上式，得
－＝1(a>0，b>0)． ②
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 (x，y) 都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点 (x，y) 与双曲线的两个焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) 的距离之差的绝对值都是 2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在 x轴上，焦点分别是 F1(－c，0)，F2(c，0) 的双曲线，这里 c2＝a2＋b2．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
类比焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么？
？
思考
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是 F1(0，－c)，F2(0，c)，a，b 的意义同上，这时双曲线的方程是
－＝1(a>0，b>0)，
这个方程也是双曲线的标准方程．
x
y
O
M
F2
F1
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
例1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点 P 与 F1，F2 的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由 2c＝10，2a＝6，得 c＝5，又 a＝3，因此 b2＝52－32＝16．
所以，双曲线的标准方程为
－＝1．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
例2 已知 A，B 两地相距 800 m，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及 A，B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A，B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以 A，B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应靠近 B 处的双曲线的一支上．
x
y
O
P
B
A
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
利用两个不同的观测点 A，B 测得同一点 P 发出信号的时间差，可以确定点 P 所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点 C，利用 B，C（或 A，C）两处测得的点 P 发出信号的时间差，就可以确定点 P 所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点 P 的准确位置，这是双曲线的一个重要应用．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
如图，点 A，B 的坐标分别是 (－5，0)，(5，
0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们斜率之
积是 ，试求点 M 的轨迹方程，并由点 M 的轨
迹方程判断轨迹的形状，与 3.1 例 3 比较，你有
什么发现？
探究
x
y
O
M
B
A
二、知识讲解
3.2.2 双曲线的简单几何性质
类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
－＝1(a>0，b>0) ①
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
？
思考
二、知识讲解
1．范围
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是 x≤－a，或 x≥a，纵坐标的范围是 y∈R（如图）．
下面利用双曲线的方程求出它的范围．
由方程①可得 ＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标 (x，y) 都适合不等式 ≥1，y∈R，即 x2≥a2，y∈R．所以 x≤－a，或 x≥a；y∈R．
这说明双曲线位于直线 x＝－a 及其左侧和直线 x＝a 及其右侧的区域．
x
y
O
x＝－a
F2
F1
x＝a
二、知识讲解
2．对称性
类比研究椭圆 ＋＝1(a>b>0)对称性的方法，容易得到，双曲线 －＝1(a>0，b>0) 关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
二、知识讲解
3．顶点
类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令 y＝0，得 x＝±a，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A1(－a，0)，A2(a，0)．因为 x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．
令 x＝0，得 y2＝－b2，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴没有公共点，但我们也把 B1(0，－b)，B2(0，b) 两点画在 y 轴上（如图）．
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长．
x
y
O
b
F2
F1
a
A1
B1
A2
B2
利用信息技术画出双曲线 －＝1 和两条直
线 ±＝0（如图）．在双曲线 －＝1 的右支上
取一点 M，测量点 M 的横坐标 xM 以及它到直线
－＝0 的距离 d．沿曲线向右上方拖动点 M，观
察 xM 与 d 的大小关系，你发现了什么？
探究
二、知识讲解
4．渐近线
可以发现，点 M 的横坐标 xM 越来越大，d 越来越小，但是 d 始终不等于 0．
x
y
O
d
F2
F1
Q
A1
B1
A2
B2
M
二、知识讲解
4．渐近线
实际上，经过两点 A1，A2 作 y 轴的平行线 x＝±3，经过两点 B1，B2 作 x 轴的平行线 y＝±2，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 ±＝0．可以发现，双曲线 －＝1 的两支向外延伸时，与两条直线 ±＝0 逐渐接近，但永远不相交．
x
y
O
d
F2
F1
Q
A1
B1
A2
B2
M
二、知识讲解
4．渐近线
一般地，双曲线 －＝1(a>0，b>0) 的两支向外延伸时，与两条直线±＝0 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
在双曲线方程 －＝1(a>0，b>0) 中，如果 a＝b，那么方程变为 x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 2a．这时，四条直线 x＝±a，y＝±a 围成正方形，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
二、知识讲解
5．离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为c>a>0，所以双曲线的离心率 e＝>1．
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
？
思考
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？
？
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
二、知识讲解
例3 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把双曲线的方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程
－＝1．
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是 (0，－5)，(0，5)；离心率 e＝＝；渐近线方程为 y＝±x．
二、知识讲解
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图（1））．它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1 m）．
(1)
x
y
O
A′
B
A
B′
C′
C
13
12
25
(2)
二、知识讲解
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系 Oxy，使小圆的直径AA′ 在 x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′ 都平行于 x 轴，且 |CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
设双曲线的方程为 －＝1(a>0，b>0)，点 C 的坐标为 (13，y)，则点 B 的坐标为 (25，y－55)．
因为直径 AA′ 是实轴，所以 a＝12．又 B，C 两点都在双曲线上，所以
x
y
O
A′
B
A
B′
C′
C
13
12
25
(2)
二、知识讲解
由方程②，得 y＝（负值舍去）．代入方程①，得 －＝1．化简得
19b2＋275b－18 150＝0． ③
解方程③，得 b≈25（负值舍去）．因此所求双曲线的方程为 －＝1．
二、知识讲解
例5 动点 M(x，y) 与定点 F(4，0) 的距离和它到定直线 l：x＝ 的距离的比是常数 ，求动点 M 的轨迹．
解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，动点 M的轨迹就是点的集合 P＝{M | ＝}，由此得
＝．
x
y
O
M
F
H
l
d
二、知识讲解
将上式两边平方，并化简，得
7x2－9y2＝63，
即
－＝1．
所以，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，实轴长为 6、虚轴长为 2 的双曲线（如图）．
x
y
O
M
F
H
l
d
将例 5 与椭圆一节中的例 6 比较，你有什么发现？
？
思考
二、知识讲解
例6 如图，过双曲线 －＝1 的右焦点 F2，倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A，B 两点，求 |AB|．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为 F1(－3，0)，F2(3，0)．
x
y
O
B
F2
F1
A
因为直线 AB 的倾斜角是 30°，且经过右焦点 F2，所以直线 AB 的方程为
y＝(x－3)． ①
二、知识讲解
x
y
O
B
F2
F1
A
由 消去 y，得 5x2＋6x－27＝0．
解方程，得 x1＝－3，x2＝．
将 x1，x2 的值分别代入①，得 y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B 两点的坐标分别为 (－3，－2)，．
所以 |AB|＝＝＝．
三、小结
双曲线及其标准方程
对称性
顶点
双曲线的定义
双曲线的标准方程
范围
离心率
双曲线
双曲线的简单几何性质
渐近线
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3；
（2）焦点在 x 轴上，经过点 (－，－)，；
（3）焦点为 (0，－6)，(0，6)，且经过点 (2，－5)．
答案：（1）－＝1；（2）x2－＝1；（3）－＝1．
四、练习
四、练习
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（1）x2－8y2＝32； （2）9x2－y2＝81；
（3）x2－y2＝－4 ；（4）－＝－1．
答案：（1）实轴长为 8，虚轴长为 4，顶点坐标为 (4，0)，(－4，0)，焦点坐标为 (6，0)，(－6，0)，离心率 e＝；
（2）实轴长为 6，虚轴长为 18，顶点坐标为 (3，0)，(－3，0)，焦点坐标为 (3，0)，(－3，0)，离心率 e＝；
四、练习
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（1）x2－8y2＝32； （2）9x2－y2＝81；
（3）x2－y2＝－4 ；（4）－＝－1．
答案：（3）实轴长为 4，虚轴长为 4，顶点坐标为 (0，2)，(0，－2)，焦点坐标为 (0，2)，(0，－2)，离心率 e＝；
（4）实轴长为 10，虚轴长为 14，顶点坐标为 (0，5)，(0，－5)，焦点坐标为 (0，)，(0，－)，离心率 e＝ ．
四、练习
3．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8，e＝；
（2）焦点在 y 轴上，焦距是 16，e＝．
答案：（1）－＝1；（2）－＝1．
四、练习
4．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 F1(－6，0)，求双曲线的标准方程和渐近线方程．
答案：双曲线的标准方程为 －＝1；双曲线的渐近线方程为 y＝±x．
5．已知 A，B 两点的坐标分别是 (－6，0)，(6，0)，直线 AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是 ．求点 M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
答案：点 M 的轨迹方程为 －＝1(x≠±6)；该轨迹的形状是中心在原点，焦点在 x 轴上，实轴长为 12，虚轴长为 4 的双曲线，且不包含左右顶点．
谢谢观看
3.2 双曲线
第三章 圆锥曲线的方程
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
椭圆及其标准方程
对称性
顶点
椭圆的定义
椭圆的标准方程
范围
离心率
椭圆
椭圆的简单几何性质
3.2.1 双曲线及其标准方程
二、知识讲解
我们知道，平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下．
二、知识讲解
如图，在直线 l 上取两个定点 A，B，P 是直线 l 上的动点．在平面内，取定点 F1，F2，以点 F1 为圆心、线段 PA 为半径作圆，再以 F2 为圆心、线段 PB 为半径作圆．
我们知道，当点 P 在线段 AB 上运动时，如果 |F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点 M 的轨迹是椭圆；如果 |F1F2|>|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．
探究
3.2.1 双曲线及其标准方程
P
A
l
B
PA＝3.92
MF1＝3.92
PB＝0.93
MF2＝0.93
PA＋PB＝4.85
MF1＋MF2＝4.85
P
F1
F2
M
M′
二、知识讲解
如图，在 |F1F2|>|AB| 的条件下，让点 P 在线段 AB 外运动，这时动点 M 满足什么几何条件？两圆的交点 M 的轨迹是什么形状？
探究
3.2.1 双曲线及其标准方程
A
l
B
PA＝5.97
MF1＝5.97
PB＝1.12
MF2＝1.12
PA－PB＝4.85
MF1－MF2＝4.85
P
F1
F2
M
M′
二、知识讲解
我们发现，在 |F1F2|>|AB| 的条件下，点 P 在线段 AB 外运动时，当点 M 靠近定点 F1 时，|MF2|－|MF1|＝|AB|；当点 M 靠近定点 F2 时，|MF1|－|MF2|＝|AB|．总之，点 M 与两个定点 F1，F2 距离的差的绝对值 |AB| 是一个常数（|AB|<|F1F2|）．这时，点 M 的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．
一般地，我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
3.2.1 双曲线及其标准方程
二、知识讲解
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
探究
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线 F1F2 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 F1 和 F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 Oxy．
3.2.1 双曲线及其标准方程
x
y
O
M
F2
F1
二、知识讲解
设 M(x，y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点 F1，F2 的坐标分别是 (－c，0)，(c，0)，又设 ||MF1|－|MF2||＝2a（a 为大于 0 的常数）．
3.2.1 双曲线及其标准方程
x
y
O
M
F2
F1
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P＝{M | ||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
因为 |MF1|＝，|MF2|＝，所以
－＝±2a． ①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
两边同除以 a2(c2－a2)，得 －＝1．
由双曲线的定义知，2c>2a，即 c>a，所以 c2－a2>0．
类比椭圆标准方程的建立过程，令 b2＝c2－a2，其中 b>0，代入上式，得
－＝1(a>0，b>0)． ②
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 (x，y) 都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点 (x，y) 与双曲线的两个焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) 的距离之差的绝对值都是 2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在 x轴上，焦点分别是 F1(－c，0)，F2(c，0) 的双曲线，这里 c2＝a2＋b2．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
类比焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么？
？
思考
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是 F1(0，－c)，F2(0，c)，a，b 的意义同上，这时双曲线的方程是
－＝1(a>0，b>0)，
这个方程也是双曲线的标准方程．
x
y
O
M
F2
F1
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
例1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点 P 与 F1，F2 的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由 2c＝10，2a＝6，得 c＝5，又 a＝3，因此 b2＝52－32＝16．
所以，双曲线的标准方程为
－＝1．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
例2 已知 A，B 两地相距 800 m，在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及 A，B 两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知 A，B 两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以 A，B 为焦点的双曲线上．因为爆炸点离 A 处比离 B 处远，所以爆炸点应靠近 B 处的双曲线的一支上．
x
y
O
P
B
A
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
利用两个不同的观测点 A，B 测得同一点 P 发出信号的时间差，可以确定点 P 所在双曲线的方程．如果再增设一个观测点 C，利用 B，C（或 A，C）两处测得的点 P 发出信号的时间差，就可以确定点 P 所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，就能确定点 P 的准确位置，这是双曲线的一个重要应用．
二、知识讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
如图，点 A，B 的坐标分别是 (－5，0)，(5，
0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们斜率之
积是 ，试求点 M 的轨迹方程，并由点 M 的轨
迹方程判断轨迹的形状，与 3.1 例 3 比较，你有
什么发现？
探究
x
y
O
M
B
A
二、知识讲解
3.2.2 双曲线的简单几何性质
类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
－＝1(a>0，b>0) ①
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
？
思考
二、知识讲解
1．范围
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是 x≤－a，或 x≥a，纵坐标的范围是 y∈R（如图）．
下面利用双曲线的方程求出它的范围．
由方程①可得 ＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标 (x，y) 都适合不等式 ≥1，y∈R，即 x2≥a2，y∈R．所以 x≤－a，或 x≥a；y∈R．
这说明双曲线位于直线 x＝－a 及其左侧和直线 x＝a 及其右侧的区域．
x
y
O
x＝－a
F2
F1
x＝a
二、知识讲解
2．对称性
类比研究椭圆 ＋＝1(a>b>0)对称性的方法，容易得到，双曲线 －＝1(a>0，b>0) 关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
二、知识讲解
3．顶点
类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令 y＝0，得 x＝±a，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A1(－a，0)，A2(a，0)．因为 x 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．
令 x＝0，得 y2＝－b2，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴没有公共点，但我们也把 B1(0，－b)，B2(0，b) 两点画在 y 轴上（如图）．
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 叫做双曲线的实半轴长；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 叫做双曲线的虚半轴长．
x
y
O
b
F2
F1
a
A1
B1
A2
B2
利用信息技术画出双曲线 －＝1 和两条直
线 ±＝0（如图）．在双曲线 －＝1 的右支上
取一点 M，测量点 M 的横坐标 xM 以及它到直线
－＝0 的距离 d．沿曲线向右上方拖动点 M，观
察 xM 与 d 的大小关系，你发现了什么？
探究
二、知识讲解
4．渐近线
可以发现，点 M 的横坐标 xM 越来越大，d 越来越小，但是 d 始终不等于 0．
x
y
O
d
F2
F1
Q
A1
B1
A2
B2
M
二、知识讲解
4．渐近线
实际上，经过两点 A1，A2 作 y 轴的平行线 x＝±3，经过两点 B1，B2 作 x 轴的平行线 y＝±2，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 ±＝0．可以发现，双曲线 －＝1 的两支向外延伸时，与两条直线 ±＝0 逐渐接近，但永远不相交．
x
y
O
d
F2
F1
Q
A1
B1
A2
B2
M
二、知识讲解
4．渐近线
一般地，双曲线 －＝1(a>0，b>0) 的两支向外延伸时，与两条直线±＝0 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
在双曲线方程 －＝1(a>0，b>0) 中，如果 a＝b，那么方程变为 x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 2a．这时，四条直线 x＝±a，y＝±a 围成正方形，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
二、知识讲解
5．离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为c>a>0，所以双曲线的离心率 e＝>1．
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
？
思考
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？
？
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
二、知识讲解
例3 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解：把双曲线的方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程
－＝1．
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是 (0，－5)，(0，5)；离心率 e＝＝；渐近线方程为 y＝±x．
二、知识讲解
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图（1））．它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1 m）．
(1)
x
y
O
A′
B
A
B′
C′
C
13
12
25
(2)
二、知识讲解
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图（2）所示的直角坐标系 Oxy，使小圆的直径AA′ 在 x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′ 都平行于 x 轴，且 |CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．
设双曲线的方程为 －＝1(a>0，b>0)，点 C 的坐标为 (13，y)，则点 B 的坐标为 (25，y－55)．
因为直径 AA′ 是实轴，所以 a＝12．又 B，C 两点都在双曲线上，所以
x
y
O
A′
B
A
B′
C′
C
13
12
25
(2)
二、知识讲解
由方程②，得 y＝（负值舍去）．代入方程①，得 －＝1．化简得
19b2＋275b－18 150＝0． ③
解方程③，得 b≈25（负值舍去）．因此所求双曲线的方程为 －＝1．
二、知识讲解
例5 动点 M(x，y) 与定点 F(4，0) 的距离和它到定直线 l：x＝ 的距离的比是常数 ，求动点 M 的轨迹．
解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，动点 M的轨迹就是点的集合 P＝{M | ＝}，由此得
＝．
x
y
O
M
F
H
l
d
二、知识讲解
将上式两边平方，并化简，得
7x2－9y2＝63，
即
－＝1．
所以，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，实轴长为 6、虚轴长为 2 的双曲线（如图）．
x
y
O
M
F
H
l
d
将例 5 与椭圆一节中的例 6 比较，你有什么发现？
？
思考
二、知识讲解
例6 如图，过双曲线 －＝1 的右焦点 F2，倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A，B 两点，求 |AB|．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为 F1(－3，0)，F2(3，0)．
x
y
O
B
F2
F1
A
因为直线 AB 的倾斜角是 30°，且经过右焦点 F2，所以直线 AB 的方程为
y＝(x－3)． ①
二、知识讲解
x
y
O
B
F2
F1
A
由 消去 y，得 5x2＋6x－27＝0．
解方程，得 x1＝－3，x2＝．
将 x1，x2 的值分别代入①，得 y1＝－2，y2＝－．
于是，A，B 两点的坐标分别为 (－3，－2)，．
所以 |AB|＝＝＝．
三、小结
双曲线及其标准方程
对称性
顶点
双曲线的定义
双曲线的标准方程
范围
离心率
双曲线
双曲线的简单几何性质
渐近线
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3；
（2）焦点在 x 轴上，经过点 (－，－)，；
（3）焦点为 (0，－6)，(0，6)，且经过点 (2，－5)．
答案：（1）－＝1；（2）x2－＝1；（3）－＝1．
四、练习
四、练习
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（1）x2－8y2＝32； （2）9x2－y2＝81；
（3）x2－y2＝－4 ；（4）－＝－1．
答案：（1）实轴长为 8，虚轴长为 4，顶点坐标为 (4，0)，(－4，0)，焦点坐标为 (6，0)，(－6，0)，离心率 e＝；
（2）实轴长为 6，虚轴长为 18，顶点坐标为 (3，0)，(－3，0)，焦点坐标为 (3，0)，(－3，0)，离心率 e＝；
四、练习
2．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（1）x2－8y2＝32； （2）9x2－y2＝81；
（3）x2－y2＝－4 ；（4）－＝－1．
答案：（3）实轴长为 4，虚轴长为 4，顶点坐标为 (0，2)，(0，－2)，焦点坐标为 (0，2)，(0，－2)，离心率 e＝；
（4）实轴长为 10，虚轴长为 14，顶点坐标为 (0，5)，(0，－5)，焦点坐标为 (0，)，(0，－)，离心率 e＝ ．
四、练习
3．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8，e＝；
（2）焦点在 y 轴上，焦距是 16，e＝．
答案：（1）－＝1；（2）－＝1．
四、练习
4．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是 F1(－6，0)，求双曲线的标准方程和渐近线方程．
答案：双曲线的标准方程为 －＝1；双曲线的渐近线方程为 y＝±x．
5．已知 A，B 两点的坐标分别是 (－6，0)，(6，0)，直线 AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是 ．求点 M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
答案：点 M 的轨迹方程为 －＝1(x≠±6)；该轨迹的形状是中心在原点，焦点在 x 轴上，实轴长为 12，虚轴长为 4 的双曲线，且不包含左右顶点．
谢谢观看