2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1 2.2.2椭圆的简单几何性质 课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
2.2椭圆及简单几何性质
高二数学备课组
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 1.椭圆的定义及应用． 2.椭圆的标准方程． 3.椭圆的简单几何性质． 4.直线与椭圆的位置关系． 1.直观想象．
2.数学运算．
3.逻辑推理．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)
(4) ＋ ＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(5) ＋ ＝1(a>b>0)与＋ ＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)
×
×
√
×
√
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.
又离心率为＝ ，
故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋ ＝1.
D
3．(多选)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m的值可能为(　　)
A．2 B. C．6 D．8
若焦点在x轴上，则a2＝ ，b2＝ ，由e＝ ＝ ，得＝ ，即＝ ，所以＝ ，即＝ ，解得m＝2；
若焦点在y轴上，则a2＝ ，b2＝ ，则＝ ，解得m＝8，
所以m＝2或m＝8.
AD
4．(易错题)平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是_____________．
由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，
即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，
所以点M的轨迹是一条线段．
线段F1F2
5．(易错题)若方程＋ ＝1表示椭圆，则k的取值范围是_____________．
(3，4)∪(4，5)
由已知得
5-k>0
k-3>0
5-k≠k-3
解得3考点梳理
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点
|F1F2|为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| 2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋ ＝1(a＞b＞0) ＋ ＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：(0，0) 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝，e∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3.点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋ ＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 <1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 >1.
常用结论
(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
①b≤|OP|≤a；
②a－c≤|PF|≤a＋c.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝ .
(3)与椭圆＋ ＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为＋ ＝1(λ>－b2)．
椭圆的常用性质
常用结论
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋ ＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝ |PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
(5)若M(x0，y0)是椭圆＋ ＝1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－ .
椭圆的常用性质
常见误区
1．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
2．关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0，1)．
3．判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小．
4．讨论直线与椭圆的位置关系时不要忽略直线斜率不存在的情形．
典例剖析
考点
1
椭圆的定义及应用
[例1] (1)(多选)椭圆＋ ＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为(　　)
A．(4，0) B．(0，5) C．(－4，0) D．(0，－5)
记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以m＝|PF1|·|PF2|≤ ＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立．
所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0).
BD
(2) (2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)椭圆＋ ＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝ ，则m＝(　　)
A．1 B. C. D．2
由题可知，a2＝m2＋1，b2＝m2.
因为∠F1AF2＝ ，所以∠F2AO＝30°，
所以cos∠F2AO＝ ，即cos 30°＝ ，
解得m＝ 或m＝－ (舍去)．
C
方法总结
椭圆定义的应用主要有两个方面：
一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；
二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
椭圆定义的应用技巧
跟踪训练
1．设F1，F2为椭圆＋ ＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A. B. C. D.
如图，设线段PF1的中点为M，
因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，
可得PF2⊥x轴，
可求得|PF2|＝ ，|PF1|＝2a－|PF2|＝ ， ＝ .
D
2．已知点F1，F2分别为椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝________．
由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，
得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，
则S△F1PF2＝ |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝ ×4sin 60°＝ .
考点
2
椭圆的标准方程
[例2] (1)(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　 　)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝ D．△PF2Q的周长为4
由已知得，2b＝2，b＝1， ＝ ，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝3. 所以椭圆方程为x2＋ ＝1.如图．
所以|PQ|＝ ＝ ＝ ，△PF2Q的周长为4a＝4 .
ACD
(2)(一题多解)过点(，－ )，且与椭圆＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
方法一(定义法)
椭圆＋ ＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝ ，解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋ ＝1.
C
(2)(一题多解)过点(，－ )，且与椭圆＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
C
方法二(待定系数法)
设所求椭圆方程为＋ ＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入，可得＋ ＝1，
解得k＝5或k＝21(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋ ＝1.
(2)(一题多解)过点(，－ )，且与椭圆＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
C
所以所求椭圆的标准方程为＋ ＝1.
方法三(待定系数法)
设所求椭圆方程为＋ ＝1(a>b>0)．
由题意得解得
方法总结
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
用定义法求椭圆的标准方程
用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
方法总结
[提醒]　当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋ ＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．
跟踪训练
1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋x2＝1 D. ＋ ＝1
由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
则2a＝6，c＝2，故a2＝9，
所以b2＝a2－c2＝5，
故椭圆的方程为＋ ＝1.
D
2．设椭圆＋ ＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为，则此椭圆的方程为________________．
椭圆的右焦点为(2，0)，
所以m2－n2＝4，e＝ ＝ ，所以m＝2，
代入m2－n2＝4，得n2＝4，
所以椭圆方程为＋ ＝1.
＋ ＝1
3．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_____________．
设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由，解得m＝ ，n＝ .
所以椭圆方程为＋ ＝1.
＋ ＝1
考点
3
椭圆的几何性质
角度一　求椭圆离心率的值(范围)
[例3] (1) (2020·四川资阳二诊)已知椭圆＋ ＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝ |OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
依题意可知，a＝b，即b＝ a.
又c＝ ＝ ＝ a，
所以该椭圆的离心率e＝ ＝ .
B
[例3](2) (2020·东北三校第一次联考)已知椭圆＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝ 上存在一点P满足(＋ )· ＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
取AP的中点Q，则＝ (＋ )，
所以(＋ )· ＝2 ·＝0.所以FQ⊥AP，
所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝ ＝a.
因为点P在直线x＝ 上，所以|FP|≥ －c，即a≥ －c，
所以≥ －1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥ 或e≤ .
又0C
方法总结
(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝ ＝ ＝1－直接求．
(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
求椭圆离心率或其取值范围的方法
角度二　与椭圆性质有关的最值问题
[例4] 已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2 ，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2，
因为点A，B在椭圆上，所以,得y2＝ m＋ ，
所以＝m－(3－2y2)2＝－ m2＋ m－ ＝－ (m－5)2＋4≤4，
所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
5
方法总结
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．
求解最值、取值范围问题的技巧
跟踪训练
1．已知椭圆＋ ＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝ ＝5.
因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5，0)．
D
2．(多选)(2020·山东4月全真模拟)已知P是椭圆C： ＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝ 上的动点，则(　　)
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
依题意可得c＝ ＝ ，则C的焦距为2，e＝ ＝ .
设P(x，y)(－ ≤x≤ )，由题意知D(－1，0)，
则|PD|2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－ ＝ ＋ ≥ > ，
所以圆D在C的内部，且|PQ|的最小值为－ ＝ .
BC
3．(2020·福建龙岩质量检查)已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
如图所示，F(－c，0)，A(0，b)，B(a，0)．
因为△ABF是直角三角形，所以AF⊥AB，所以·＝0，
又因为＝(－c，－b)， ＝(a，－b)，所以－ac＋b2＝0，
又因为b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0，
又因为e＝ ，所以e2＋e－1＝0，所以e＝ ，
又因为0D
随堂练习
1．(多选)(2020·海南模拟)设椭圆＋ ＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝ 时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
ACD
解析：
设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|为定值6，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0，6)，所以△ABF周长的取值范围是(6，12)，B错误；
将y＝ 与椭圆方程联立，可解得A( )，B ( ).又易知F(，0)，所以· ＝ () () ＋()2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－ ，1)，B(，1)，所以S△ABF＝ ×2×1＝ ，D正确．
2．若椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．
由题意可得b＝c，
则b2＝a2－c2＝c2，a＝ c，
故椭圆的离心率e＝ ＝ .
3．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，|C1C2|＝8，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋ ＝1.
＋ ＝1
4．(2020·昆明市三诊一模)已知椭圆M： ＋ ＝1(a>b>0)的左顶点为A，O为坐标原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．
由题意，知A(－a，0)．
因为四边形OABC为平行四边形，
所以OA∥BC，且|OA|＝|BC|＝a，又∠OAB＝45°，所以C(, ±)，代入椭圆方程，得＋ ＝1，
所以＝ ，所以e＝ ＝ ＝ .
5．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋ ＝1(a>b>0)，
依题意得,因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋ ＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝ |yP|×2c＝ ×4×6＝12.
椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.
本课小结