人教版（2019）数学必修第二册8_2立体图形的直观图课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
1.2.3 空间几何体的直观图
高一数学备课组
本节目标
1.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
2.会用斜二测画法画常见的柱、椎、台以及简单组合体的直观图；
3.会根据斜二测画法规则进行相关的运算.
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
1. 画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2. 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3. 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
课前小测
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
C
∠A的两边分别平行于x轴，y轴
∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′轴
∠x′O′y′＝45°或135°
∠A′＝ 45°或135°
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
B
×
3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　)
直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
A
4.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．
O
x
y
3
6
(A)
B
C
S△ABC＝ ×6×3＝9
9
新知探究
情景引入
眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里是什么形状？
平行四边形
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的___________画法．
平行投影
2．平面图形直观图的画法及要求
思考1：相等的角在直观图中还相等吗？
[提示]　不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
3．空间几何体直观图的画法
①与平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的_____轴，直观图中与之对应的是_____轴；
②平面_______表示水平平面，平面______和_____表示竖直平面；
③已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中_______和_______都不变．
④成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为_______．
z
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
思考2：空间几何体的直观图唯一吗？
[提示]　不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
①在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图所示．
x
y
x′
y′
O′
题型一　水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
x
y
x′
y′
O′
②在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝ OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图.
B′
D′
l
C′
题型一　水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
x
y
x′
y′
O′
B′
D′
l
C′
③所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图.
B′
D′
C′
O′
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
画平面图形的直观图的技巧
方法技巧
跟踪训练
1.用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
①如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
B
C
A
x
O
y
跟踪训练
1.用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．
B
C
A
x
O
y
②画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝ OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图所示．
x′
y′
O′
B′
C′
A′
题型二　空间图形直观图的画法
[例2]　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
技法点拨
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
画空间图形的直观图的原则
跟踪训练
2. 用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
(1)画轴．
画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．
按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
跟踪训练
2. 用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
(3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
题型三　直观图的还原与计算
[例3]　(1)如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是 (　　)
A．1 B. C．2 D．4
由题图知，△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝ ××4＝2.
C
(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，
上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝ ×2＝5.
技法点拨
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，
则有S′＝S或S＝2S′.
利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
1．直观图的还原技巧
2．直观图与原图面积之间的关系
多维探究
1. [变条件]本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝ .
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.
所以BC＝BE＋EC＝ ＋1.
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为
S＝ (A′D′＋B′C′)·A′B′＝ ×(1+1+ )×2＝2＋ .
1. [变条件]本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积.
2．[变条件，变设问]本例(1)若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？
由斜二测画法规则可知，
直观图△A′B′C′一底边上的高为a××＝a，
所以S△A′B′C′＝ ×a× a＝ a2.
3．[变设问]本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝××＝1，
原图形面积为S△OAB＝2.
所以＝ ＝ .
随堂检测
1．判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交. (　　)
(2)原来垂直的仍垂直. (　　)
(3)原来平行的仍平行. (　　)
(4)原来共点的仍共点. (　　)
√
×
√
√
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
A　　　 　B　　　 　C　　　　 D
正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1.
C
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为_______．
由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.
故原四边形OPQR的周长为10.
10
4．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
①　　　　 ②　　　　　　③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝ OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝ EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
本课小结
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．