人教版（2019）数学必修第二册8_3_1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积(1)
高一数学备课组
本节目标
1 ．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、
棱台的表面积与体积的求法．
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．棱柱、棱锥、棱台的体积公式分别是什么？
课前小测
1．棱长为3的正方体的表面积为(　　)
A．27 B．64 C．54 D．36
3
3
3
根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.
C
2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48 B．64 C．16 D．96
a
正方体的表面积为96
6a2＝96
a＝4
体积V＝a3＝43＝64
B
3．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为(　　)
A．4 B. C．2 D.
每个面的面积都为
每一个面都是边长为1的正三角形
表面积为4× ＝
D
4．已知棱台的上、下底面积分别为4, 16，高为3，则棱台的体积为________．
由棱台的体积公式可求得其体积为
V＝ (4＋ ＋16)×3＝28.
28
新知探究
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：柱体的底面积为S，高为h，则V=Sh.
棱椎：椎体的底面积为S，高为h，则V= Sh.
棱台：台体的上、下底面面积为S，高为h，则
V= (+ +S)h.
注意
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．
V= (+ +S)h
= S
V=Sh
= 0
V= Sh
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
9
15
5
如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝ ＝ ＝ ＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
[例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
9
15
5
技法点拨
注意
1
清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．
2
求出其底面的面积．
3
求和得到表面积．
求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
组合体的表面积应注意重合部分的处理．
跟踪训练
1. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为__________．
如图，在四棱台ABCD -A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝ ×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝ ＝2，
所以S梯形BB1C1C＝ ×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
80＋48
题型二 　棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2]　(1)如图所示，正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A -DED1的体积为______．
VA-DED1＝VE -DD1A＝ × ×1×1×1＝
(2)如图，某几何体下面部分为正方体ABCD- A′B′C′D′， 上面部分为正四棱锥S- ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为________．
5
2
V＝V正方体＋VS- ABCD＝12
V正方体＝23＝8
VS -ABCD＝×22×(5－2)＝4
12
(3) (全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm. 3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝ × ×4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
118.8
技法点拨
求几何体体积的常用方法
跟踪训练
2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm3.
V＝VABC- A′B′C′－VM-ABC
＝S△ABC·5－ S△ABC·3
＝ ×3×4×5－ × ×3×4×3
＝30－6＝24
还原
24
3.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，截下一个棱锥C -A1DD1，求棱锥C -A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．
设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，
∴VABCD- A1B1C1D1＝VADD1A1- BCC1B1＝Sh.
而棱锥C-A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C- A1DD1的体积为：
VC -A1DD1＝ × S×h＝ Sh，
余下部分体积为：Sh－ Sh＝ Sh.
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
题型三　棱台与棱锥之间关系的综合问题
[例3]　 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
6
12
12
如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，
则O1O＝12. 连接OE，O1E1，
则OE＝ AB＝ ×12＝6，O1E1＝ A1B1＝3.
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，
所以E1E＝3.
所以S侧＝4× ×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3＝108.
[例3]　 已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
技法点拨
二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．
解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路
一是把基本量转化到直角梯形中去解决；
跟踪训练
4. 在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？
如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点．
O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．
由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，
且有O1E1＝ A1B1＝3，OE＝ AB＝6，
则有＝ ＝ ，
跟踪训练
4. 在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？
即＝ . 所以PO1＝O1O＝12.
在Rt△PO1E1中，
＝ ＋O1＝122＋32＝32×17，
在Rt△POE中，
PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，
所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.
所以S侧＝4× ×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3＝108.
随堂检测
1．判断正误
(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)
(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(　　)
(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(　　)
×
√
√
2．如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1 -ACD的体积是(　　)
A. B. C. D．1
三棱锥D1 -ADC的体积
V＝ S△ADC×D1D
＝ × ×AD×DC×D1D
＝ ×
＝
A
3．已知高为3的棱柱ABC- A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1 -ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
D
3
1
1
1
VB1 -ABC= Sh = ××1×1×sin60°×3 =
4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为_________．
原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝ a2×6＝ a2，
所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.
18a2
本课小结
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．
2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．
3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．