山东省临沂市兰山区、罗庄区2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省临沂市兰山区、罗庄区2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 461.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-23 12:44:50 | ||
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文档简介
临沂市兰山区、罗庄区2021—2022学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题
2021.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或
3．直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线和圆没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．2 B．0或1 C．1 D．0
5．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线l：与圆交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是双曲线C：上一点，，是双曲线C的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆C：的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
10．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C． D．
11．已知，是双曲线C：的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．点M的横坐标为 D．的面积为
12．椭圆C：的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．，满足的点P有两个
B．，满足的点P有四个
C．的面积的最大值为
D．周长小于4a
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上）
13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为______．
14．过点（3，1）作圆的弦，其中最短弦的长为______．
15．已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于______．
16．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为______．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在平行六面体中，设，，，E，F分别是，BD的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形， ，，，平面ABCD，，．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离．
19．（本小题满分12分）
已知圆C经过和两点，圆心在直线上．
（1）求圆C的方程．
（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；
（3）求的面积．
21．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点D在棱上运动（不包括端点）．
（1）若D为的中点，证明：；
（2）设平面与平面ABC所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．
2021—2022学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共计40分．）
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9．AC 10．AD 11．ACD 12．ACD
三、填空题（每小题5分，其计20分，16题第一空2分，第2空3分）
13．2 14． 15．1 16．
四、解答题
17．解：（1），连接AF，
．
（2），
所以，，．
18．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
所以，．
设异面直线PB与CD所成角为，则，
所以异面直线PB与CD所成角大小为．
（2）设平面PBC的一个法向量为，则
所以 取，得，
所以点D到平面PBC的距离．
19．解：（1）因为，AB中点为，
所以AB中垂线方程为，
即，解方程组 得
所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，
因此，所求的圆C的方程为．
（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，
解得或，此时，符合．
②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，
又因为，所以，
即，解得，直线方程为，
综上，直线l方程为或．
20．解：（1）∵，∴设双曲线方程为．
又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为．
（2）证明：（证法1）由（1）知，，
∴，，∴，，
∴．又点（3，m）在双曲线上，∴，
∴，∴，即．
（证法2）：∵，，
∴．
∵M在双曲线上，
∴，∴，∴．
（3）解：∵在中，，且，
∴．
21．（1）证明：分别取AB，的中点O，E，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，D为的中点，
所以，，，，
故，，
则，所以；
（2）设，则点D（1，0，t），所以，设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故，
又平面ABC的一个法向量为，
所以，
因为，则，
所以．故的取值范围为．
22．解：（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．
又由可得，即．
又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．
（2）解法一：依题意，设直线FQ的方程为，则直线FQ的斜率为．
由（1）知，则直线AE的方程为，即，
与直线FP的方程联立，可解得，，
即点Q的坐标为．
由已知，有．
整理得．所以．即直线FQ的斜率为．
解法二：依题意设直线FQ的斜率为k，则直线FQ的方程为
由（1）知，则直线AE的方程为，即，
由解得
∴点Q坐标为，
由已知，
有，
整理得，即．即直线FQ的斜率为．
高二数学试题
2021.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若向量，，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或
3．直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线和圆没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．2 B．0或1 C．1 D．0
5．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线l：与圆交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是双曲线C：上一点，，是双曲线C的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆C：的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
10．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C． D．
11．已知，是双曲线C：的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．点M的横坐标为 D．的面积为
12．椭圆C：的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．，满足的点P有两个
B．，满足的点P有四个
C．的面积的最大值为
D．周长小于4a
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上）
13．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为______．
14．过点（3，1）作圆的弦，其中最短弦的长为______．
15．已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于______．
16．已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的最小值为______．若点M，N分别是圆和椭圆C上的动点，当椭圆C的离心率取得最小值时，的最大值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在平行六面体中，设，，，E，F分别是，BD的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形， ，，，平面ABCD，，．
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（2）求点D到平面PBC的距离．
19．（本小题满分12分）
已知圆C经过和两点，圆心在直线上．
（1）求圆C的方程．
（2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；
（3）求的面积．
21．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点D在棱上运动（不包括端点）．
（1）若D为的中点，证明：；
（2）设平面与平面ABC所成的二面角大小为（为锐角），求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），的面积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点Q在线段AE上，若，求直线FQ的斜率．
2021—2022学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共计40分．）
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9．AC 10．AD 11．ACD 12．ACD
三、填空题（每小题5分，其计20分，16题第一空2分，第2空3分）
13．2 14． 15．1 16．
四、解答题
17．解：（1），连接AF，
．
（2），
所以，，．
18．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
所以，．
设异面直线PB与CD所成角为，则，
所以异面直线PB与CD所成角大小为．
（2）设平面PBC的一个法向量为，则
所以 取，得，
所以点D到平面PBC的距离．
19．解：（1）因为，AB中点为，
所以AB中垂线方程为，
即，解方程组 得
所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径，
因此，所求的圆C的方程为．
（2）①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得，
解得或，此时，符合．
②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离，
又因为，所以，
即，解得，直线方程为，
综上，直线l方程为或．
20．解：（1）∵，∴设双曲线方程为．
又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为．
（2）证明：（证法1）由（1）知，，
∴，，∴，，
∴．又点（3，m）在双曲线上，∴，
∴，∴，即．
（证法2）：∵，，
∴．
∵M在双曲线上，
∴，∴，∴．
（3）解：∵在中，，且，
∴．
21．（1）证明：分别取AB，的中点O，E，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，D为的中点，
所以，，，，
故，，
则，所以；
（2）设，则点D（1，0，t），所以，设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故，
又平面ABC的一个法向量为，
所以，
因为，则，
所以．故的取值范围为．
22．解：（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．
又由可得，即．
又因为，解得．所以，椭圆的离心率为．
（2）解法一：依题意，设直线FQ的方程为，则直线FQ的斜率为．
由（1）知，则直线AE的方程为，即，
与直线FP的方程联立，可解得，，
即点Q的坐标为．
由已知，有．
整理得．所以．即直线FQ的斜率为．
解法二：依题意设直线FQ的斜率为k，则直线FQ的方程为
由（1）知，则直线AE的方程为，即，
由解得
∴点Q坐标为，
由已知，
有，
整理得，即．即直线FQ的斜率为．
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