山东省青岛市4区市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

青岛市4区市2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于无穷常数列7，7，…，7…，下列说法正确的是（ ）
A．该数列既不是等差数列也不是等比数列 B．该数列是等差数列但不是等比数列
C．该数列是等比数列但不是等差数列 D．该数列既是等差数列又是等比数列
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，是两个空间向量，，则不一定共面
B．
C．若P在线段AB上，则
D．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面xOy的对称点为
3．已知数列满足且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－4
4．在三棱锥O－ABC中，M是OA的中点，P是的重心．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则春分当日日影长为（ ）
A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺
6．已知等差数列的前n项和为，，公差，．若取得最大值，则n的值为（ ）
A．6或7 B．7或8 C．8或9 D．9或10
7．已知为正项数列的前n项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b为两条异面直线，在直线a上取点，E，在直线b上取点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．若，，，，则异面直线a，b所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
10．下列结论正确的是（ ）
A．直线l的方向向量，平面的法向量，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．若直线l的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D．若，，，则点P在平面ABC内
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，记，则（ ）
A． B．
C．， D．的最大值为
12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线平面
B．当时，线段CP长度的最小值为
C．当时，直线CP与平面所成的角不可能为
D．当时，存在唯一点P使得直线DP与直线所成的角为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知为等差数列，为其前n项和，若，则______．
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
15．如图，在平行六面体中，，，，，AC与BD相交于点O，则______．
16．设集合，，把集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，则______，数列的前50项和为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知数列为等差数列，，，数列为各项均为正数的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
18．（12分）
如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，，是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点．
（1）求异面直线AC与所成的角的余弦值；
（2）求点到平面PBC的距离．
19．（12分）
已知数列前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和，求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．
（1）求线段PQ长度的最小值；
（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成的角的余弦值．
21．（12分）
在如图所示的多面体中，且，，且，且，平面ABCD，，M，N分别为棱FC，EG的中点．
（1）求点F到直线EC的距离；
（2）求平面BED与平面EDC的夹角的余弦值；
（3）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面平面EDC？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．
22．（12分）
已知正项数列满足，，，成等比数列，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求及数列的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和，并证明：．
2021——2022学年度第一学期期中学业水平检测高二数学评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．
1—8：DCAC DBCB
二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．
9．AB；10．BD；11．ACD；12．ABC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．0；
14．；
15．；
16．3，4590．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，
因为
所以令得，即
又
所以
因为，
所以解得或（舍）
所以
（2）由（1）得
所以
18．（12分）
解：（1）由题意可得平面ABC，C是弧AB的中点，则
则以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
，
∴，
∴异面直线AC与所成角的余弦值为
（2）由题意可得，，
则，，
设平面PBC的法向量，则
取，得
∴点到平面PBC的距离为：
19．（12分）
解：（1）由，得，
两式相减，得．
由，，得，
所以，
即数列是以1为首项，公比为3的等比数列，
从而有
（2）由可知：
当时，
当时，适合上式
所以
所以
所以
，
两式相减得：
所以
20．（12分）
解：（1）因为四边形ABCD是菱形，，，
所以和是等边三角形．
设O是BD的中点，则，，，
所以，所以，
由于，所以平面BCD
以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
设，，其中，，
所以
当，时，线段PQ的长度取得最小值为
（2）由（1）得，，
，，，
，，
设平面ACD的法向量为，
则，
取，则
设PQ与平面ACD所成角为，
则
所以
21．（12分）
解：（1）由平面ABCD知，，，又，
以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，，，
则，，，，
所以点F到直线EC的距离
（2）由（1）知，，，
设平面BED的法向量为，
则，令，则
设平面EDC的法向量为，
则，令，则
故
所以平面BED与平面EDC夹角的余弦值为
（3）设GF上存在一点Q，设，
则，
设平面MNQ的法向量为
则，令，则
∵平面平面EDC ∴，即，无解，
故不存在点Q使得平面平面EDC
22．（12分）
解：（1）因为，，成等比数列，
所以，
所以
因为，所以，
将式两边取对数，得，即，
所以，数列是首项为，公比为2的等比数列
（2）由（1）知，
所以，所以
所以
（3）（解法一）因为，即①；
又因为，所以，即②；
①式代入②式消去，可得
所以
因为，，则，所以
又，所以
（解法二）因为
所以
又，所以