2021～2022 学年度第一学期质量检测
高二数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题 5分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D C B D C A
二、多项选择题(每小题 5分，共 20 分)
9．AC 10．BC 11．BCD 12．AB
三、填空题(每小题 5分，共 20 分)
3
13． 14． (2, 1)
4
3
15． 5 16．[0, ]
3
四、解答题(共 70 分)
（注意：答案仅提供一种解法，学生的其他正确解法应依据本评分标准，酌情赋分．）
17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）因为B( 2,3)，C(0, 3)， BC的中点为D，
所以D( 1,0)． ................................................................................................. 2 分
y 1 x 2
所以直线 AD的方程为： ，
0 1 1 2
整理得： x 3y 1 0． ................................................................................. 4 分
（Ⅱ）因为B( 2,3)，C(0, 3)，
所以 | BC | ( 2 0)2 (3 3)2 2 10． ............................................... 5 分
BC y 3 x 2又直线 的方程为： ，
3 3 0 2
即3x y 3 0． ............................................................................................ 7 分
高二数学参考答案 第1页 共8页
3 2 1 3
则 A点到直线BC的距离：d 10 ． .............................. 9 分
32 12
所以△ABC的面积为：
S 1△ABC | BC | d
1
2 10 10 10． .................................. 10 分
2 2
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）圆心C(1,1)到直线 x y 4 0的距离： d |1 1 4 | 2 ．
2
因为直线 x y 4 0与圆C相切，
所以 r d 2 ． ................................................................................................ 2 分
故圆的标准方程为： (x 1)2 (y 1)2 2． .................................................. 4 分
（Ⅱ）①当直线 l的斜率存在时，
设直线 l的方程为： y 3 k(x 2)，
即： kx y 3 2k 0． ................................................................................... 6 分
则圆心C(1,1) | 2 k |到直线 l的距离：d ，
k 2 1
又因为直线被圆C所截得的弦长为2，
所以d 2 1 2，可得d | 2 k | 1．
k 2 1
3
解得 k ． .......................................................................................................... 8 分
4
3
所以直线 l的方程为： y 3 (x 2)，
4
整理可得：3x 4y 6 0． ........................................................................... 10 分
②当直线 l的斜率不存在时，
高二数学参考答案 第2页 共8页
直线 l的方程为： x 2，
代入圆的方程可得： (y 1)2 1，
解得 y 0或 y 2．
可得弦长为2，满足条件．
综上所述直线 l的方程为：3x 4y 6 0或 x 2． ................................. 12 分
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设 AB a， AC b， AD c．
由题知：a2 b2 c2 1，
a b b c c a 1 ． ........................................................................... 1 分
2
又 AO AB BO AB 2 BE
3
2
AB (AE AB)
3
1 2
AB AE
3 3
1
AB 2 1 (AC AD)
3 3 2
1 1 1
AB AC AD
3 3 3
1 1
a b 1 c． ...................................................................................... 3 分
3 3 3
故 AO BC 1 (a b c)(b a)
3
1
(a b a2 b2 b a c b c a)
3
0．
故 AO BC． ...................................................................................................... 5 分
又 AO 1 BD (a b c) (c a)，
3
高二数学参考答案 第3页 共8页
1
(a c a2 b c b a c2 c a)
3
0．
故 AO BD． ...................................................................................................... 7 分
又因为 BC 平面BCD，BD 平面BCD，且BC BD B，
所以 AO 平面 BCD． ....................................................................................... 8 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点 A到平面 BCD的距离为：
| AO | | 1 (a b c) |．
3
1
(a b c)2
3
1
a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c
3
6
． .................................................................................................... 12 分
3
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 AD BD得， ABD BAD 45 ，
所以 ADB 90 ．
又 PD 平面 ABCD，DA 平面 ABCD，所以PD DA．
同理PD DB．所以DA，DB，DP两两垂直，
分别以DA，DB，DP为 x轴， y轴， z轴建立如图空间坐标系． .............. 1 分
z
则 A(1,0,0)，C( 1,1,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)． P
所以PA (1,0, 1)，PC ( 1,1, 1)， ............. 2 分
D
故PA PC 1 0 1 0， C
A
x B y
高二数学参考答案 第4页 共8页
所以PA PC． ....................................................................................................... 4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得PB (0,1, 1)．
设m (x1, y1, z1)为平面 PAB的一个法向量，
m P A则
0
，
m PB 0
x1 z1 0即 ，
y1 z1 0
可取m (1,1,1)． ..................................................................................................... 7 分
同理，设n (x2 , y2 , z2 )为平面 PBC 的一个法向量，
n
所以
P C 0，
n PB 0
x2 y即 2
z2 0
，
y2 z2 0
可取n (0,1,1)．.................................................................................................... 10 分
所以 cos m,n m n 1 1 6 ． ............................................. 11 分
|m | | n | 3 2 3
由图可知，二面角 A PB C的平面角是钝角，
所以，二面角 A 6 PB C的余弦值 ． ...................................................... 12 分
3
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意可知，点B在直线 x 2y 5 0上，
设点 B(2b 5,b)． .................................................................................................... 1 分
AB 2b 3 b 1则线段 的中点坐标为 ( , )． ........................................................... 2 分
2 2
高二数学参考答案 第5页 共8页
由题意可知，点 (2b 3 , b 1)在直线2x 3y 1 0上，
2 2
2 2b 3 3 b 1则 1 0．
2 2
b 5解得 ．
7
则2b 25 5 ，
7
所以点B 25 5的坐标为： ( , )． ........................................................................... 6 分
7 7
（Ⅱ）设点 A关于直线 x 2y 5 0的对称点为点M (m,n)，
2 m 1 n
2 5 0 2 2
由题意可得 ，
n 1 1 1
m 2 2
m 0
解得 ．
n 5
即点M (0,5)． ......................................................................................................... 10 分
5 5 6
直线BM 的斜率为： k 7BM 25 ， 0 5
7
所以直线BC 6的方程为 y x 5，
5
即6x 5y 25 0．.............................................................................................. 12 分
22（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为圆心C在直线 x y 2 0上，
设圆心坐标为C(a, 2 a)． ..................................................................................... 1 分
又因为圆C经过坐标原点O和点G( 2,2)，
所以 OC CG ，即a2 (2 a)2 (a 2)2 [(2 a) 2]2，
高二数学参考答案 第6页 共8页
解得： a 0．
所以圆心为C(0,2)． ............................................................................................... 3 分
半径为 r 2．
所以圆C的方程为： x2 y2 4y 0． .............................................................. 4 分
a2
（Ⅱ）设点P(a, )，其中 a 4，故过P与圆相切的直线斜率一定存在且不为0．
4
设过P的与圆相切的直线斜率为 k，
a2
则切线方程为： kx y ka 0．
4
| a
2
ka 2 |
故圆心C到切线的距离d 4 2．
1 k 2
a3 a4
整理得： (a2 4)k 2 ( 4a)k a2 0． ............................................. 5 分
2 16
a3 4a a
4
a2
故： k 2 161 k2 2 ， k1k2 2 ． ......................................... 6 分 a 4 a 4
不妨记直线 PA的斜率为 k1，直线PB的斜率为 k2
a2
所以有PA : y k1(x a)， 4
2
PB : y a k2 (x a)， 4
2 2
令 y 0得 xM a
a a
， xN a ． ....................................................... 7 分 4k1 4k2
高二数学参考答案 第7页 共8页
|MN | =|x x | | a
2 a2
所以： M N | 4k1 4k2
a2 | k2 k1 |
4 | k1k2 |
a2 (k1 k
2
2
) 4k1k2
4 | k1k2 |
4a2
2 ． ........................................................................................... 9 分 a 16
S = 1 |MN | y 1 |MN | a
2
△PMN 2 P
2 4
2a2 a2
a2 16 4
a4
2(a2
16)
1 1
1 16 ． .......................................................................................... 10 分 2
2 a a4
1
令 2 t (a
1
4)，则 t (0, )．
a 16
1 16
2 4 16t
2 t
a a
= 16(t 1 )2 1 (0, 1 ]．
32 64 64
1
所以 1 16 64．
a2 a4
∴ S△PMN 32． ...................................................................................................... 12 分
高二数学参考答案 第8页 共8页21.(本小题满分12分)
已知△ABC的顶点A(2,1),AB边上的中线所在直线的方程为2x+3y-1=0,∠B
的平分线所在直线的方程为x-2y+5=0
(1)求B点坐标
(1)求BC边所在的直线方程
22.(本小题满分12分)
已知圆C经过坐标原点O和点G(-2,2),且圆心C在直线x+y-2=0上
(1)求圆C的方程;
(1)设PA、PB是圆C的两条切线,其中A,B为切点若点P在曲线y-4
(其中x>4)上运动,记直线PA,PB与x轴的交点分别为M,N,求
△PMN面积的最小值
高二数学试题第6页共6页
保密★启用前
2021~2022学年度第一学期期中质量检測
高二数学
注意事项
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一井交回。
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+√3y+10=0的倾斜角为
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
2.在空间直角坐标系中AB=(1、2,3),AC=(45,6),则向量BC=
A.(-3,-3,-3)B.(3,3,3)
C.(5,7,9)
D.(4,10、18)
3.直线x+2y+3=0在y轴上的截距为
B.3
C.-3
D
2
4.已知向量a=(2,-3,5),向量b=(3,,以),且a/b,则2+H=
C.3
D.4
5.两平行直线x-2y+1=0与2x-4y+3=0之间的距离为
C.√5
5
20
6.已知a=(,0,1),b=(-2,2,1),c=(3,4,z),若a,b,c共面,则z的值是
高二数学试题第1页共6页
A.-5
B.5
C.-9
D.9
7.已知四面体ABCD中,DA=a,DB=b,DC=c,点M在棱DA上,DM=3MMA,
N为BC中点,则MN=
A
b
B.-a+-b+-c
C
C
a+-b+
D
b--c
B
8.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y=2上,
则△ABP面积的取值范围是
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[√2,321D.[22,3√2
、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的基底的一组向量是
A. a+b, a-2b, c
B. a-b, a+3b, 2a
C. a, 26, b-c
D. a+c. a-c. c
10.下列说法正确的是()
A.过(x,y1),(x2,y2)两点的直线方程为
y-y1 x-Y
V2-y x2-x
B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(,1)
C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
高二数学试题第2页共6页
