山东省青岛市4区市2022届高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

青岛市4区市2022届高三上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的实数根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，平面平面，为上一点，为上一点，直线平面，则的面积为（ ）
A． B． C． D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．有最大值 D．当时，的最大值为21
10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的最小正周期为
D．函数的一个单调递增区间为
11．已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．平面平面
D．点到平面的距离为
12．设正实数，满足，则（ ）
A．有最大值2 B．有最小值
C．有最小值4 D．有最大值
三、填空题本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，则________．
14．若，且，则________．
15．已知是定义域为的奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是________．
16．已知是数列的前项和，，则________；
若，则________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛相距为5nmile，小岛与小岛相距为nmile，小岛与小岛相距为2nmile，为钝角，且．
（1）求小岛，，围成的三角形的面积；
（2）求小岛与小岛之间的距离。
18．（12分）
如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，为的中点，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线到平面的距离．
19．（12分）
已知为数列的前项和，，，，为数列的前项和。
（1）求数列的通项公式；
（2）若对所有恒成立，求满足条件的最小整数值。
20．（12分）
在“①；②，，”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在中，，，分别是三内角，，的对边，已知，是边上的点，且，，若_______________，求的长度。
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
21．（12分）
四棱锥的底面为直角梯形，，，，，且平面平面，为中点．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22．（12分）
已知函数，．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求证：有且只有一个零点；
（3）设且，求证：．
2021-2022学年度第一学期期中学业水平检测高三数学评分标准
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8：BCAC DABC
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9．BC； 10．ACD； 11．BCD； 12．AD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．； 14．72； 15．； 16．；218．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）在中，由余弦定理得，
2分
所以 3分
所以
所以小岛、、，围成的三角形的面积为．
（2）因为、、，四点共圆，所以与角互补，
所以， 6分
因为，且为钝角，所以
所以
8分
在，由正弦定理得：
所以
所以小岛与小岛之间的距离为5nmile 10分
18．（12分）
证明：（1）取中点，连接交于，连接，
∵在三棱柱中，为中点，
∴， 2分
∵点为的中点
∴且
∴且 3分
∴四边形为平行四边形
∴ 4分
又平面，平面
∴平面 5分
（2）由（1）得，点到平面的距离即为直线到平面的距离
连接，则
∵平面，
∴平面，∴，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 6分
则，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
∴即
取，则，， 9分
又
所以点到平面的距离为
即直线到平面的距离为 12分
19．（12分）
解：（1）由题意
当时，
两式相减得： 1分
即：
所以时，为等比数列 2分
又因为时，
所以 3分
所以，对所有，是以2为首项，8为公比的等比数列 4分
所以 5分
（2）由题知：
6分
8分
所以 10分
所以 11分
所以满足恒成立的最小值为674．
20．（12分）
解：若选择条件①
由，根据正弦定理得 1分
所以
即，也即 2分
因为，所以 （1）式 3分
又因为
即，所以 5分
又由（1）式，，所以 6分
所以， 7分
所以， 8分
因为，所以， 9分
在中，
11分
所以 12分
若选择条件②
因为，，且
所以
即 1分
所以 2分
，所以 （1）式 3分
又因为
即
所以 （2）式 4分
， 5分
所以 6分
所以
所以，也即
所以
即 7分
因为
所以，所以， 8分
所以，
，所以， 9分
在中，
11分
所以 12分
21．（12分）
解：（1）证明：取中点，连接，，
因为，为中点
所以 1分
因为平面平面
所以平面 2分
平面
所以 3分
因为，所以 4分
，，
所以四边形为平行四边形，所以
所以 5分
因为，所以平面
所以 6分
（2）连结，可得四边形为平行四边形，，
所以四边形为正方形，所以，
所以
因为平面平面，所以平面 7分
所以即为与平面所成角，所以 8分
，所以，所以为等边三角形，所以
以为原点，分别以，，所在直线为正方向建立空间直角坐标系如图，
可得，，，，
为平面的法向量， 9分
又因为，，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，解得：，，所以 11分
所以平面与平面所成角的余弦值
所以平面与平面所成角的余弦值为 12分
22．（12分）
解：（1）由题知：若，，其定义域为 1分
2分
由得
所以，当时，；当时，
所以，在上单调递增，在上单调递减 3分
所以 4分
（2）由题知： 5分
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减
因为，
当时，，
则在无零点 6分
当时，，
又因为且
所以在上有且只有一个零点
所以，有且只有一个零点 8分
（3）因为等价于 9分
由（1）知：若，，且在上单调递增，在上单调递减，
且，所以，，即 10分
令，，
所以
所以，在上单调递增， 11分
所以，
又因为且，所以
又因为，，且在上单调递减
所以，即 12分