2.1数列的概念与简单表示法
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(共68张PPT)
在日常生活中，我们经常会遇到如存款利息、购房贷款等与人们生活密切相关的问题．“花明天的钱，圆今天的梦”是一种新的消费观念．一则流传很广的小笑话是：一名中国老妇与一名美国老妇在天国相遇，中国老妇说：“我存了一辈子钱，临终时终于买到了一套住房！”而美国老妇则说：“我在临终前，终于把分期付款的买房款全部还清了！”如今，分期付款的方式被越来越多的人接受了．你能明白其中的奥妙吗？
本章通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式的研究．首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式、简单的递推公式)．等差数列是从现实生活中的一些实例引入，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式．等差数列的前n项和公式是通过1＋2＋3＋…＋100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法．
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂，计算机病毒感染，银行存款利息，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究，探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项和，并用错位相减法探索发现等比数列的前n项和公式．
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活的联系．本章内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及由特殊到一般的思想方法等．
本章内容设计体现了现代信息技术的应用．实际学习中可根据具体情况适当地、适度地应用现代教育技术，以做到真正有利于我们的学习，帮助我们认识丰富多彩的大自然，帮助理解数学，提高学习数学的兴趣．
§2.1 数列的概念与简单表示法
（一） 数列的概念与通项公式
1．数列、数列的项：按照 排列着的一列数叫做数列， 叫做这个数列的项．
2．数列的通项公式： 与
之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．
一定顺序
数列中的每个数
数列{an}的第n项
序号n
3．数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量 取值时对应的一列函数值．
4．数列可用图象来表示．在直角坐标系中， 来表示一个数列．
图象是一些 ，它们位于 ．
以序号为横坐标
相应的项为纵坐标描点画图孤立的点
第一象限、第四象限或x轴的正半轴
从小到大依次
答案：B
解析：逐项验证．
答案：B
解析：由题意知，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.
答案：20
4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n＋7，则数列中三位数的个数有________个．
解析：令100≤an≤999，即100≤4n＋7≤999，解得23.25≤n≤248，又n∈N＋，∴24≤n≤248，n∈N＋.故数列中三位数共有248－24＋1＝225个．
答案：225
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，问：
(1)80、90是不是该数列的项？如果是，是第几项？
解：(1)令n(n＋2)＝80，得n1＝8，n2＝－10(舍)，∴80是数列的第8项．令n(n＋2)＝90，而此方程无正整数解．∴90不是该数列的项．
(2)∵a99＝99×101<10000，而a100＝100×102>10000，∴从第100项开始，该数列的项大于10000.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①注意省略号“…”及其位置；
②观察数列的项的变化趋势与规律；
③利用数列的通项公式．
解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．
[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
[点评] 若数列{an}满足anan＋1，则是递减数列；若存在正整数T(T为常数)使an＋T＝an，则数列的周期为T.解答本题应体现出“概念优先”原则．
迁移变式1 分别写出下面的数列．
(1)正整数1,2,3,4,5，…的倒数顺次构成的数列.
(2)0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列.
(3)(-2)1 ,(-2)2 , (-2)3…顺次构成的数列．
[分析] 观察数列的前几项与序号之间的关系，即可写出．
[点评] 由数列的前几项写出一个通项公式，应尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现规律，并且写出通项后要进行验证或调整．
[点评] 通项公式直接反映了an与n之间的关系，给出一个数a，可以通过通项公式来判断数a是否为数列中的项，判断时只要看an＝a是否有正整数解即可．研究数列中项的某些性质时一般利用通项公式，如由本例(2)的证明可知该数列具有周期性．
迁移变式3 已知数列的通项公式为an＝(n＋1)(n＋2)．若an＝9900，问an是第几项？
解：由an＝(n＋1)(n＋2)得(n＋1)(n＋2)＝9900
即n2＋3n－9898＝0
(n－98)(n＋101)＝0
∴n＝98.
[例4] 在数列{an}中，an＝(n＋1) n(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减.
(2)求数列{an}的最大项．
[分析] ∵an＝(n＋1) n是积幂式子的形式，∵an>0，∴可用作商法比较an与an－1 的大小．
[点评] 数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性，或用证明不等式的方法证明数列的单调性．
迁移变式4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
1．数列的通项公式
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．
2．数列与函数的关系
对任一数列{an}，每一项的序号n与这一项an的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(图1)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…
3．数列的表示法
从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：
(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．
(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．
在日常生活中，我们经常会遇到如存款利息、购房贷款等与人们生活密切相关的问题．“花明天的钱，圆今天的梦”是一种新的消费观念．一则流传很广的小笑话是：一名中国老妇与一名美国老妇在天国相遇，中国老妇说：“我存了一辈子钱，临终时终于买到了一套住房！”而美国老妇则说：“我在临终前，终于把分期付款的买房款全部还清了！”如今，分期付款的方式被越来越多的人接受了．你能明白其中的奥妙吗？
本章通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式的研究．首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式、简单的递推公式)．等差数列是从现实生活中的一些实例引入，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式．等差数列的前n项和公式是通过1＋2＋3＋…＋100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法．
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂，计算机病毒感染，银行存款利息，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究，探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项和，并用错位相减法探索发现等比数列的前n项和公式．
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活的联系．本章内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及由特殊到一般的思想方法等．
本章内容设计体现了现代信息技术的应用．实际学习中可根据具体情况适当地、适度地应用现代教育技术，以做到真正有利于我们的学习，帮助我们认识丰富多彩的大自然，帮助理解数学，提高学习数学的兴趣．
§2.1 数列的概念与简单表示法
（一） 数列的概念与通项公式
1．数列、数列的项：按照 排列着的一列数叫做数列， 叫做这个数列的项．
2．数列的通项公式： 与
之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．
一定顺序
数列中的每个数
数列{an}的第n项
序号n
3．数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量 取值时对应的一列函数值．
4．数列可用图象来表示．在直角坐标系中， 来表示一个数列．
图象是一些 ，它们位于 ．
以序号为横坐标
相应的项为纵坐标描点画图孤立的点
第一象限、第四象限或x轴的正半轴
从小到大依次
答案：B
解析：逐项验证．
答案：B
解析：由题意知，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.
答案：20
4．已知数列{an}的通项公式为an＝4n＋7，则数列中三位数的个数有________个．
解析：令100≤an≤999，即100≤4n＋7≤999，解得23.25≤n≤248，又n∈N＋，∴24≤n≤248，n∈N＋.故数列中三位数共有248－24＋1＝225个．
答案：225
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，问：
(1)80、90是不是该数列的项？如果是，是第几项？
解：(1)令n(n＋2)＝80，得n1＝8，n2＝－10(舍)，∴80是数列的第8项．令n(n＋2)＝90，而此方程无正整数解．∴90不是该数列的项．
(2)∵a99＝99×101<10000，而a100＝100×102>10000，∴从第100项开始，该数列的项大于10000.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①注意省略号“…”及其位置；
②观察数列的项的变化趋势与规律；
③利用数列的通项公式．
解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．
[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)
[点评] 若数列{an}满足an
迁移变式1 分别写出下面的数列．
(1)正整数1,2,3,4,5，…的倒数顺次构成的数列.
(2)0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列.
(3)(-2)1 ,(-2)2 , (-2)3…顺次构成的数列．
[分析] 观察数列的前几项与序号之间的关系，即可写出．
[点评] 由数列的前几项写出一个通项公式，应尽量避免盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现规律，并且写出通项后要进行验证或调整．
[点评] 通项公式直接反映了an与n之间的关系，给出一个数a，可以通过通项公式来判断数a是否为数列中的项，判断时只要看an＝a是否有正整数解即可．研究数列中项的某些性质时一般利用通项公式，如由本例(2)的证明可知该数列具有周期性．
迁移变式3 已知数列的通项公式为an＝(n＋1)(n＋2)．若an＝9900，问an是第几项？
解：由an＝(n＋1)(n＋2)得(n＋1)(n＋2)＝9900
即n2＋3n－9898＝0
(n－98)(n＋101)＝0
∴n＝98.
[例4] 在数列{an}中，an＝(n＋1) n(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减.
(2)求数列{an}的最大项．
[分析] ∵an＝(n＋1) n是积幂式子的形式，∵an>0，∴可用作商法比较an与an－1 的大小．
[点评] 数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性，或用证明不等式的方法证明数列的单调性．
迁移变式4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
1．数列的通项公式
如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．
2．数列与函数的关系
对任一数列{an}，每一项的序号n与这一项an的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(图1)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…
3．数列的表示法
从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：
(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n项来表示数列的方法．
(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．