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2.2.1二次函数的图象和性质教学设计
课题 2.2.1二次函数的图象和性质 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.探索二次函数图象的画法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验； 2.能用描点法画出二次函数的图象，并根据图想象认识和理解二次函数的性质，能解决一些简单的问题.
重点 二次函数图象的画法和性质.
难点 能用描点法画出二次函数的图象，并根据图想象认识和理解二次函数的性质，能解决一些简单的问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.回顾正比例函数，一次函数与反比例函数图象特征，请同学们谈谈它们的图象有哪些特征？ 2.画函数图象的主要步骤是什么？ 3.你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗 学生独立思考并给出自己的答案 提问法，复习二次函数的图象和性质的有关内容，为本节课做好铺垫
讲授新课 一、画二次函数y = x2的图象. 1. 列表：观察y=x2 的表达式,选择值,并计 算相应的y值,完成下表： (1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流. (2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么？你是如何知道的？ (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴交流. 二、试着作出y=-x2的图象 三、归纳总结y=ax2的性质 填表： 例题 已知二次函数y=x2.求： （1）当x=5时，y的值； （2）当y=4时，x的值； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 学生自己动手列表，描点，连线绘出函数图像，并根据图象回答问题。 继续引导学生绘出y=-x2的图象，并归纳出图象的性质。 要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路. 让学生根据函数图象的画法自主探究二次函数图象的形状，在学生作图的过程中，由于取值的不同，作图结果各有不同，教师展示几种不同的作图，让学生进行判断，可以加深对二次函数图象形状的记忆和理解. 在探究二次函数y＝±x2的图象与性质的问题上，不再按课本上的问题一一罗列给学生，而是给学生一个开放的空间，一个交流的平台，让学生通过小组讨论与交流相互学习，共同提高. 此例题着重考查了二次函数图象上点的坐标与二次函数表达式之间的关系.
课堂练习 1.两条抛物线y=与y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( ) 3. 对于函数y＝5x2，下列说法正确的是( ) A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下 C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的 4.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 ． 5．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． 6.若一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，). (1)求这个二次函数的表达式，并画出它的图象； (2)指出当x＞0时y随x的变化情况； (3)指出函数的最大值或最小值． 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 二次函数y=ax2的性质1.开口 2.对称轴 3.顶点坐标 4.最值 5.增减性 例题:习题板书区
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2.2.1二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质
北师大版 九年级下册
复习旧知
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
（1）列表.
（3）连线.
（2）描点.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
导入新知
（1）一次函数的图象是 ．
一条直线
3.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
一次函数y=kx+b(k≠0)
x
y
o
b<0
b>0
b=0
x
y
o
b<0
b>0
b=0
（2)反比例函数的图象是 .
双曲线
反比例函数(k≠0)
0
x
y
问题:二次函数的图象是什么形状呢？
新知讲解
画二次函数y = x2的图象.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
1.列表:在y = x2中,自变量x可以是任意实数.
新知讲解
2.描点:根据表中x, y的数值在坐标平面中描点(x, y).
3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到y = x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
新知讲解
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
1.你能描述图象的形状吗？
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0,0).
3.当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
议一议
新知讲解
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.
是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.
练一练
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0）
合作探究
二次函数y =－x2的图象是什么形状
它与二次函数y=x2的图象有什么关系
二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线,它的开口向下,关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最高点.
y =x2和 y=－x2的图象关于x轴对称.
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
y
归纳总结
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
二次函数 y=-x2图象是一条开口向下的抛物线；
对称轴：y轴；
当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
顶点：坐标（0，0），是抛物线上的最高点.
新知讲解
问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着探究二次函数y=ax2的性质.
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
y = x2
y =- x2
对称轴都是y轴
共同点：
顶点都是坐标原点
不同点：
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
联 系：
新知讲解
-1
-2
-3
-4
5
1
-2
3
-4
-5
-1
2
-3
4
-5
1
2
3
4
5
y
O
x
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
要点归纳
y＝x2 y＝－x2
图象
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：（1）把x=5代入，得
y=52=25.
（2）把y=4代入，得
x2=4，
解得x=±2.
（3）当x＞0时，y随x的增大而增大.
练一练
已知函数y=ax2的图象过点（3，9）和（2，t）.
（1）求a和t的值；
（2）试判断这个函数的图象是否过点（-3，9）
解：（1）把x=3，y=9代入，得9=a×32.
∴a=1
把x=2，y=t，代入y=x2 ，得22=t，∴t=4
（2）把x=-3,y=9代入y=x2 ，得(-3)2=9
∴这个函数的图象过点(-3,9)
课堂练习
1.两条抛物线y=与y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）
A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0
C. 开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值
2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( )
C
A
课堂练习
3. 对于函数y＝5x2，下列说法正确的是( )
A．y随x的增大而增大 B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称 D．无论x取何值时，y的值总是正的
4.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 ．
5．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________．
C
(-2，4)
减小
课堂练习
解：(1)设y＝ax2，将(－1，)代入，得a＝，∴y＝x2，如图
(2)当x＞0时，y随x的增大而增大;
(3)当x＝0时，有最小值为0.
6.若一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，).
(1)求这个二次函数的表达式，并画出它的图象；
(2)指出当x＞0时y随x的变化情况；
(3)指出函数的最大值或最小值．
课堂练习
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得 解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
作业布置
1.课本习题2.2
2.点A(2,4)在二次函数y=x2的图象上吗 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B,C,D在二次函数y=x2的图象上吗 在二次函数y=-x2的图象上吗
课堂小结
二次函数y=x2和y=－x2图象与性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
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