2.5.1 二次函数与一元二次方程的关系 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
北师版九年级下册 二次函数
§2.5.1 二次函数与一元二次方程
1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程, 体会二者之间的联系;
2.理解掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的
个数之间的三种关系，以及方程根与交点横坐标的对应关系;(重点)
3.理解两种函数（含二次函数）图象的交点问题的相关解法，以及
二次函数与不等式之间的问题思考范式.（难点）
温故知新
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？
当b2－4ac≥0时，
当b2－4ac<0时，方程无实数根.
2.解下列一元二次方程：
（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.
解：（1）x1=0, x2=-2.
（2）x1=x2=1.
（3）没有实数根.
温故知新
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t(s)的关系可以用公式
h=－5t2+v0t +h0 表示，
其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)
是抛出时的速度.一个小球从地面被
以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的
高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，
那么
（1）h与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴交流.
h/m
t/s
1 2 3 4 5 6 7 8
80
70
60
50
40
30
20
10
情境导入
二次函数
①y=x2+2x，
②y=x2-2x+1，
③y=x2-2x+2的图象如图所示.
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
典例精析一
如前页可知：
方程 x2+2x=0， 有两个不相等的实数根；
方程x2-2x+1=0，有两个相等的实数根；
方程x2-2x+1=0，有两个相等的实数根；
通过观察、对比可以发现：
1、三个方程均可理解为是函数y=0转化而来；
2、方程根的个数与图象与x轴的交点个数一一对应；
典例精析一
一、方程根的个数与图象和x轴的交点个数间关系.
小结：
1、b2-4ac＞0，方程有两个不等实数根 对应函数图象与x轴有两个交点；
2、b2-4ac=0，方程有两个相等实数根 对应函数图象与x轴有一个交点；
3、b2-4ac＜0， 方程有没有 实数根 对应函数图象与x轴没有交点.
二、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴的交点的横坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系？
1、方程x2+2x=0（根为0、-2）
2、x2-2x+1=0（根为1）
3、方程x2-2x+1=0（无根）

交点横坐标分别为0、-2；

交点横坐标分别为1；
小结：二次函数图象与x轴的交点横坐标即是
对应一元二次方程的两个根。
小结：
我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t(s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t +h0 表示，
其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)
是抛出时的速度.一个小球从地面被
以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的
高度h (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，
那么
（1）h与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴交流.
h=-5t2+40t+h0
8秒
方法一：落地时，h=h0=0，∴-5t2+40t=0 t=0或8
问题反思
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
跟踪练习
D
2．抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都不对
C
3．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是( )
A．－8 B．8
C．±8 D．6
B
b2-4ac=0
4．已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝－2，则二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为 ．
(1，0)，(－2，0)
跟踪练习
合作共学
1．抛物线y＝2x2－3x＋1与坐标轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式】　(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D
C
特别注意：“坐标轴”指代x，y两轴.
3．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
－1或2或1
解析：通过观察表达式，可以发现二次项系数不确定，所以可以分
（1）a=0；（2）a≠0 两类情况讨论
（1）当a=1时，原函数为y=-4x+2，其图像与x轴交于（0.5,0），一个点;
（2） 当a≠1 时，函数为二次函数，若与x轴交于一点，则由b2-4ac=0
解得：a=-1或2.
合作共学
4．已知二次函数y＝ax2＋bx的图象如图．若一元二次方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k的最小值为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．0
A
解析：通过对比观察，可以发现方程其实就是二次函数y=y＝ax2＋bx中，y=-k时
转化而来.而 y=-k 是一个常函数，其图像大致如上图所示，若想要二次方程有解，
则两个函数图象必须有交点。据此可以发现k最小为-4
合作共学
典例精析二
1、二次函数y=-x2＋3x十4的图象与一次函数y=2x—1的图象相交吗 如果相交，请求出它们的交点坐称.
解析：以往我们在学习两个一次函数图象相交问题时，强调过——两个函数的图象
交点坐标就是由两个函数关系式联立，组成的方程组（或二次方程）的公共解.
解：令2x-1=-x2＋3x十4
整理得：x2-x-5=0
2．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该拋物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
解：(1)证明：令x2－4x＝kx＋1，则x2－(4＋k)x－1＝0.
∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点．
典例精析二
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)，直线l与y轴交点为C(0，1)．
由(1)知x1＋x2＝4＋k＝2，x1x2＝－1.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4＋4＝8.
∴|x1－x2|＝2√2.
∴S△OAB＝· OC·|x1－x2|＝ ×1×2√2＝2√2 .
典例精析二
1．(2019·新乡一模)如果函数y＝－2x与函数y＝ax2＋1有两个不同的交点，则实数a的取值范围是 .
跟踪练习
a＜1且a≠0
2、如图，已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
请写出该函数的三条性质．
解：如图所示．答案不唯一，如：
①抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)；
②与y轴交于点(0，3)；③当－1＜x＜3时，y>0；
④对称轴为直线x＝1；⑤顶点坐标为(1，4)．
令 -2x=ax2+1 则ax2+2x+1=0
b2-4ac＞0且a≠0
抛物线y=ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4.0）;抛物线的对称轴是x=1.
下列结论中∶
①abc>0；②2a+b=0；③方程ax +bx+c=3有两个不相等的实数根
④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2，0）
⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则
am + bm十 c ≤a+b十c.
其中正确的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
典例精析三
【解析】
①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab<0,
抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0, ∴abc<0, 故①错误;
∵对称轴为x=1,∴b=-2a,2a+b=0, 故②正确;
由图象得∶y=3时，与抛物线有两个交点，
∴方程ac +bx+c=3有两个不相等的实数根;故③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2，0）.故④正确;
∵抛物线的对称轴是x=1，y有最大值是a+b+C，
又∵点A（m，n）在该抛物线上，∴am +bm+c≤a+b+c，故⑤正确
1.（天津.中考） 已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（-1,0）,（0,3）,其对称轴在y轴右侧，有下列结论:
①抛物线经过点（1,0）;②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③.-3＜a+b＜3。其中,正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
课堂练习
C
2．（甘肃白银.中考）（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是 。
课堂练习
①②④
1.理解了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；
2.学习了二次方程根与二次函数图象与x交点个数的三种情况；
3、学习了常函数（y=k）和一次函数与二次函数图象相交时的各类问题的解法.