人教新课标A版必修4第二章 平面向量 单元练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修4第二章 平面向量 单元练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 101.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-24 15:00:31 | ||
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文档简介
人教新课标A版必修4第二章
平面向量
一、单选题
1.（2021高二下·保山期末）若向量 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（ ）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
3.（2020高二上·平谷月考）如图，在等腰直角 中，斜边 ，且 ，点 是线段 上任一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020高三上·南京月考）已知非零向量 、 ，若 ， ，则 与 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5.（2020高一下·杭州月考）已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10)
6.（2020高二上·常德月考）如图所示，在正方体 中，已知 分别是 和 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020高二上·山东月考）如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， 是 与 的交点，则 （ ）
A. B. C. D.
8.（2019高一上·广州期末）已知向量与夹角为120°， （1，0），| |＝2，则| |＝（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
9.（2021高二上·龙江期中）如图，在三棱柱 中， 与 交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
10.（2019高二上·山西月考）设 ， ， 为空间的三个不同向量，如果 成立的等价条件为 ，则称 ， ， 线性无关，否则称它们线性相关．若 ， ， 线性相关，则 ( )
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
二、填空题
11.（2020高二上·金山月考）已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标为 ．
12.（2019高一下·衢州期中）在平行四边形ABCD中， ， ， ， ，若 ，则 ________； ________.
13.（2021·青浦一模）已知向量 的模长为1，平面向量 满足： ，则 的取值范围是________.
14.（2020高三上·德州期中）已知 ， ， ，若 ，则 ________.
15.（2020高一下·胶州期中）已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足 ，若 ，则 ________.
16.（2020高二上·常德月考）三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， .若 ， ， ，则 的长为 .
17.（2020高一下·平顶山期末）如图所示，点P在由线段AB ， AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ． （填写所有正确说法的序号）
①存在点P ， 使得 ；
②存在点P ， 使得 ；
③存在点P ， 使得 ；
④存在点P ， 使得 ．
三、解答题
18.（2020高一下·泰安期末）设 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求 ， 的值.
19.（2019高一下·吉林期末）已知向量 ．
（1）求 与 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 与 垂直，求 的值．
20.（2020高一下·邹城期中）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
21.（2021高一下·桂林期末）平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与 轴的正半轴的交于点为 ．
（1）若过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， ．线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别是 ， ，证明： 为定值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】因为 ，所以 ，得出 ，则 ，
所以 。
故答案为：C．
2.【答案】 C
【解析】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
3.【答案】 B
【解析】解：由题意可知， ,
,
设 ，则 ， ，
所以
，
因为 ，
所以当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值4，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：B
4.【答案】 A
【解析】设 与 的夹角为 ， ， ，
则 ，可得 ，
， .
故答案为：A.
5.【答案】 C
【解析】解：平面向量 =（1，2）， =（-2，m）且 ∥ ，
所以1×m=2×（-2），即m=-4
则2 +3 =2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）
故答案为：C．
6.【答案】 C
【解析】建立如图所示的坐标系
设正方体的棱长为 ，则
， ， ， ，
， ，
与 所成角的余弦值为
。
故答案为：C。
7.【答案】 D
【解析】设
则
则
故答案为：D
8.【答案】 A
【解析】由 ，得 ，
又向量 与向量 的夹角为 ， ，
，
，即 .
故答案为：A.
9.【答案】 A
【解析】由题设，易知四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
， ，即 。
故答案为：A．
10.【答案】 A
【解析】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数 ， ， ，使得 成立．故 由 得 ， ，代入 ，得 ，由于 ， ， 不全为0，故 ，则 ．
故答案为：A
二、填空题
11.【答案】 （5,14）
【解析】设点B（x,y）， ，因此 ，得 ，得点B（5,14）．
12.【答案】 3；2
【解析】由向量加法的三角形法则，
得到 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
故答案为：3；2。
13.【答案】 [-1,8]
【解析】由题意知：不妨设 ， ，
则根据条件可得：
， ，
根据柯西不等式得：
因为 ，
， ，
当且仅当 时取等号；
令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，当 时， ，即 ；
，而 ，所以当 时， ，即 ，故 的取值范围是[-1,8].
14.【答案】
【解析】由题得 ，因为 ， ，所以 ，所以 .
故答案为： .
15.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
由 得 ，
得 ，
得 ，
得 ，即 ，即
，
，
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】如图设 ， ， ，
所以
，
因为
,
所以 ，所以 的长为 。
故答案为： 。
17.【答案】 ①④
【解析】设 ，由图可知：
且 ，
∴①④正确。
故答案为：①④。
三、解答题
18.【答案】 （1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
即 ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ， 或 ， .
19.【答案】 （1）解： ， ， ，
∴ .
（2）解： ．
若 ，
则 ，
解得 .
20.【答案】 （1）解： ， ，
，
，
∴ ，∴ ，
∴向量 与 的夹角 .
（2）解： ，
.
21.【答案】 （1）设点 ，因为 为弦 中点，所以 ，
， ，
∴由 ，得 化简得 .
∴ 的轨迹方程是 .
（2）由题意点 ，联立 得
设 ， ，则
∴ 是定值.
平面向量
一、单选题
1.（2021高二下·保山期末）若向量 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.（2019·全国Ⅱ卷理）已知 =(2,3)， =(3，t)，| |=1，则 =（ ）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
3.（2020高二上·平谷月考）如图，在等腰直角 中，斜边 ，且 ，点 是线段 上任一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020高三上·南京月考）已知非零向量 、 ，若 ， ，则 与 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5.（2020高一下·杭州月考）已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10)
6.（2020高二上·常德月考）如图所示，在正方体 中，已知 分别是 和 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2020高二上·山东月考）如图，在平行六面体 中， ， ， ， ， 是 与 的交点，则 （ ）
A. B. C. D.
8.（2019高一上·广州期末）已知向量与夹角为120°， （1，0），| |＝2，则| |＝（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
9.（2021高二上·龙江期中）如图，在三棱柱 中， 与 交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
10.（2019高二上·山西月考）设 ， ， 为空间的三个不同向量，如果 成立的等价条件为 ，则称 ， ， 线性无关，否则称它们线性相关．若 ， ， 线性相关，则 ( )
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
二、填空题
11.（2020高二上·金山月考）已知点 和向量 ，若 ，则点 的坐标为 ．
12.（2019高一下·衢州期中）在平行四边形ABCD中， ， ， ， ，若 ，则 ________； ________.
13.（2021·青浦一模）已知向量 的模长为1，平面向量 满足： ，则 的取值范围是________.
14.（2020高三上·德州期中）已知 ， ， ，若 ，则 ________.
15.（2020高一下·胶州期中）已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足 ，若 ，则 ________.
16.（2020高二上·常德月考）三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， .若 ， ， ，则 的长为 .
17.（2020高一下·平顶山期末）如图所示，点P在由线段AB ， AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ． （填写所有正确说法的序号）
①存在点P ， 使得 ；
②存在点P ， 使得 ；
③存在点P ， 使得 ；
④存在点P ， 使得 ．
三、解答题
18.（2020高一下·泰安期末）设 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求 ， 的值.
19.（2019高一下·吉林期末）已知向量 ．
（1）求 与 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 与 垂直，求 的值．
20.（2020高一下·邹城期中）已知 ， ， .
（1）求 与 的夹角 ；
（2）求 .
21.（2021高一下·桂林期末）平面直角坐标系 中，已知点 ，圆 与 轴的正半轴的交于点为 ．
（1）若过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， ．线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别是 ， ，证明： 为定值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】因为 ，所以 ，得出 ，则 ，
所以 。
故答案为：C．
2.【答案】 C
【解析】 , = ，求出t=3即可得出 , = .
故答案为：C
3.【答案】 B
【解析】解：由题意可知， ,
,
设 ，则 ， ，
所以
，
因为 ，
所以当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值4，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：B
4.【答案】 A
【解析】设 与 的夹角为 ， ， ，
则 ，可得 ，
， .
故答案为：A.
5.【答案】 C
【解析】解：平面向量 =（1，2）， =（-2，m）且 ∥ ，
所以1×m=2×（-2），即m=-4
则2 +3 =2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）
故答案为：C．
6.【答案】 C
【解析】建立如图所示的坐标系
设正方体的棱长为 ，则
， ， ， ，
， ，
与 所成角的余弦值为
。
故答案为：C。
7.【答案】 D
【解析】设
则
则
故答案为：D
8.【答案】 A
【解析】由 ，得 ，
又向量 与向量 的夹角为 ， ，
，
，即 .
故答案为：A.
9.【答案】 A
【解析】由题设，易知四边形 是平行四边形，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
， ，即 。
故答案为：A．
10.【答案】 A
【解析】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数 ， ， ，使得 成立．故 由 得 ， ，代入 ，得 ，由于 ， ， 不全为0，故 ，则 ．
故答案为：A
二、填空题
11.【答案】 （5,14）
【解析】设点B（x,y）， ，因此 ，得 ，得点B（5,14）．
12.【答案】 3；2
【解析】由向量加法的三角形法则，
得到 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
故答案为：3；2。
13.【答案】 [-1,8]
【解析】由题意知：不妨设 ， ，
则根据条件可得：
， ，
根据柯西不等式得：
因为 ，
， ，
当且仅当 时取等号；
令 ，则 ，又 ，则 ，
所以 ，当 时， ，即 ；
，而 ，所以当 时， ，即 ，故 的取值范围是[-1,8].
14.【答案】
【解析】由题得 ，因为 ， ，所以 ，所以 .
故答案为： .
15.【答案】
【解析】解：如图，
，
，
由 得 ，
得 ，
得 ，
得 ，即 ，即
，
，
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】如图设 ， ， ，
所以
，
因为
,
所以 ，所以 的长为 。
故答案为： 。
17.【答案】 ①④
【解析】设 ，由图可知：
且 ，
∴①④正确。
故答案为：①④。
三、解答题
18.【答案】 （1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
即 ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ， 或 ， .
19.【答案】 （1）解： ， ， ，
∴ .
（2）解： ．
若 ，
则 ，
解得 .
20.【答案】 （1）解： ， ，
，
，
∴ ，∴ ，
∴向量 与 的夹角 .
（2）解： ，
.
21.【答案】 （1）设点 ，因为 为弦 中点，所以 ，
， ，
∴由 ，得 化简得 .
∴ 的轨迹方程是 .
（2）由题意点 ，联立 得
设 ， ，则
∴ 是定值.