5.2 任意角与三角函数概念 同步学案（含解析）

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专题13任意角与三角函数概念
要点一：任意角的概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
2.终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
3．轴线角与象限角
角的终边所在位置 角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
要点二：弧度制
1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)
3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
要点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
(1)叫做的正弦，记做，即；(2)叫做的余弦，记做，即；
(3)叫做的正切，记做，即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离，那么，，。
要点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
要点五：同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
(2)商数关系：
例题1．点A(sin 1 893°，cos 1 893°)在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【详解】
，
是第二象限角，
是第二象限角，则，，
点A(sin 1 893°，cos 1 893°)在直角坐标平面上位于第四象限．
例题2．（多选题）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．笫四象限
【答案】ABD
【详解】是第二象限的角，则，，
，，当时，是第一象限角，
当时，是第二象限角，当时，是第四象限角，
例题3．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数等于_______.
【答案】- .【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，
由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，
由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，
故答案为- .
例题4．已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
例题5．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【详解】（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；（2）扇形周长，
，．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
例题6．已知．
（1）求及的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）在等式两边平方可得，解得，
，则，所以，，
，因此，；
（2）由已知条件可得，解得，因此，.
练习
1．若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A由题意，所以，，
当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．
故选：A．
2．10．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，
所以，扇形的面积为，
当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时，
如下图所示：
取的中点，则，且，因此，.
故选：C.
3．若α为第一象限角，则k·180°＋α（k∈Z）的终边所在的象限是
A．第一象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
【答案】C【详解】
试题分析：当k为偶数，设k=2m ，则 ，则在第一象限；
当k为奇数，设k=2m+1，则 ，则在第三象限；
4．2弧度角的终边在第______________象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B【详解】
2弧度，为第二象限角.
故选：B
5．是
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】C解：∵，
-是第三象限角，
∴是第三象限角．
6．已知在扇形AOB中，，弦AB的长为2，则该扇形的周长为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，因为，且，所以，即，
由弧长公式，可得弧的长为，
所以扇形的周长为.
故选：B.
7．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，即，
所以.
8．点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【详解】
∵，∴913°角为第三象限角，
∴，，∴点位于第三象限.
故选:C．
9.三个数中，值为负数的个数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B【详解】
因为，，
，所以，
，，故值为负数的个数有1个，故选：B
10．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
11．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．
（1）求的值；
（2）化简并求的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由已知条件可知：，又，所以，，，，
（2），又，所以，从而；
.
12．已知，其中.
（1）求的值；（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由①，得.
，所以，；
（2）法一：由（1）知，
，，，.
，②.
由①②得，，，；
法二：由（1）知，，.
，即，整理可得，
得或.
因为，所以，，
又，所以，，所以.
13.若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为，
所以，取等号时，即，
所以面积取最大值时，
如下图所示：
设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，
因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
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