人教新课标A版必修5第二章 数列 单元练习（含答案）

人教新课标A版必修5第二章
数列
一、单选题
1.（2021·敦煌模拟）记 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.（2021高三上·河南开学考）若数列 满足： ，则数列 的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
3.（2020高二上·渭滨期末）在 中， 分别为 的内角 的对边，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. 成等差数列 D. 成等差数列
4.（2019高二下·柳州期中）等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
5.（2019高一下·长春月考）已知数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
6.（2019高二上·榆林月考）在等差数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的前11项的和为（ ）
A. 22 B. -33 C. -11 D. 11
7.（2019高二上·河南月考）已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 1009 B. 1010 C. 2020 D. 2021
8.（2019高三上·赤峰月考）已知 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则数列 的公比 为（ ）
A. 3 B. 2 C. -3 D. -2
9.（2019高一下·余姚月考）已知两个等差数列 ， 的前n项和分别为 和 ，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10.（2019高三上·长春期末）等差数列 的公差为 ，关于 的不等式 的解集为 ，则使数列 的前 项和 最大的正整数 的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.（2020高二上·桂林期末）若三个正数1，b，16成等比数列，则 ________．
12.（2020高二上·宝安期末）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升；
13.（2020高二上·浙江期中）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ， ．
14.（2019高三上·上海期中）已知无穷等比数列 的各项和为4，则首项 的取值范围是________．
15.（2020高二上·咸阳期末）已知数列 满足 ， .设 ， ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围是________.
16.（2019高二上·新余月考）设函数 ， ， ， ， ，记 ， .则 ， ， 大小关系是________.
17.（2020高二上·徐州期末）已知等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，且数列 也为公差为d的等差数列，则 ________．
三、解答题
18.（2020高三上·拉萨月考）设数列{an}（n＝1，2，3…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3 ， 且a1 ， a2＋1，a3成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为Tn ， 求Tn.
19.（2018高二上·延边期中）设正项等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）记 ，求数列 通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和 ，求满足 的最小正整数的值.
20.（2020高三上·石家庄月考）已知前 项和为 的等比数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： .
21.（2020高三上·天津期中）已知数列 的前 项和为 ， ，设 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）设 ，求 的前 项和 ，若对于任意 恒成立，求 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】在等差数列 中， ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B
2.【答案】 D
【解析】由 ①得，当 时 ②
由①-②得
当 时 也满足上式
故答案为：D
3.【答案】 A
【解析】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 成等差数列.
故答案为：A
4.【答案】 A
【解析】依题意 ，故选A.
5.【答案】 C
【解析】由等比数列性质可得：
又 是由正数组成的等比数列 且
，
故答案为：
6.【答案】 D
【解析】等差数列{an}中，若a5 ， a7是方程x2－2x－6＝0的两根，
则a5＋a7＝2，∴a6＝ (a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为
S11＝ ＝11a6＝11×1＝11.
故答案为：D.
7.【答案】 B
【解析】由已知可得 ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：B.
8.【答案】 A
【解析】由 时， ，故 .∵ ，∴ .又 ，解得 ， .
故答案为：A
9.【答案】 C
【解析】由题,
,
所以若 为整数,则 是 的因数,即 可取2,3,4,6,12,
则 为1,2,3,4,11,共有5个,
故选:C
10.【答案】 B
【解析】∵关于 的不等式 的解集为 ，∴ ， 分别是一元二次方程 的两个实数根，且 ．∴ ，可得： ，∴ ．∴ ，可得： ， ．∴使数列 的前 项和 最大的正整数 的值是 ．
故答案为：B．
二、填空题
11.【答案】 4
【解析】三个正数1,b,16成等比数列
由等比中项定义可得
解得
由题正数
故答案为: 4
12.【答案】
【解析】由题意可知 ，解得 ，所以 。
13.【答案】 -4；-20
【解析】由题得 ；
故答案为：-4；-20。
14.【答案】
【解析】由题意可得, ，
且
且
故答案为:
15.【答案】
【解析】由 可得，数列 是首项和公比均为 的等比数列，所以 ，则 ，又因为 是递增数列，所以 恒成立，即 恒成立，所以 ，所以 .
故答案为： .
16.【答案】
【解析】因为函数 ， ，
则 ，
所以 .
因为 ，
则
，
所以
，
因为 ，
则
.
因为 , ，
所以 ，
而 ，
所以 即 ，
综上所述, ，
所以 ，
故答案为: .
17.【答案】
【解析】等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，设其首项为 ，
则 = ，
又数列 也为公差为 的等差数列，首项为 ，
所以 = ，即：
整理得：
上式对任意正整数n成立，
则 ，解得： ，
三、解答题
18.【答案】 解：（Ⅰ）由已知Sn＝2an－a1 ， 有
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2）
即an＝2an－1（n≥2）
从而a2＝2a1 ， a3＝2a2＝4a1 ，
又因为a1 ， a2＋1，a3成等差数列
即a1＋a3＝2（a2＋1）
所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列
An＝2n.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以Tn＝
19.【答案】 （1）解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
由 ，得 （舍）.
当 时， ，所以 .所以 ，
所以 ，则 .
（2）解：由（1）可知， .
则 .
令 ，解得 ，又 ，所以 .
20.【答案】 （1）解：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
由 有 ，可得 ，
又由 ，有 ，解得 ，
有 .
故数列 的通项公式为 .
（2）证明：由 ，
可得 ，
又 ，所以 ；
而 显然随 的增大而增大，所以 ，
因此 .
21.【答案】 （1）解：当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，即 ，
又∵ ，
∴ 是首项 ，公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知 ，即 ，
所以

∴
当 为偶数时， 是递减的，
此时当 时， 取最大值 ，则 .
当 为奇数时， 是递增的，
此时 ，则 .
综上， 的取值范围是 .