人教新课标A版必修5第三章 不等式 单元练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修5第三章 不等式 单元练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 111.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-24 15:03:50 | ||
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文档简介
人教新课标A版必修5第三章
不等式
一、单选题
1.（2021高二下·杭州期中）已知实数 ， 满足 ，设 ，则 的最大值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 0 D. -3
2.（2019高二上·阳江月考）已知x、y满足条件 则2x+4y的最小值为（ ）
A. -6 B. 6 C. 12 D. -12
3.（2020高一下·大庆期中）若不等式 对一切 恒成立，则实数a取值的集合（ ）
A. B. C. D.
4.（2020高一下·宣城月考）若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 3
5.（2019高一上·重庆月考）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.（2019高三上·安徽月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.（2019高一下·大庆期中）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则 的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
8.（2020高一上·泉州月考）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
9.（2019高一下·广东期中）在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 上的任一点，实数 ， 满足 ，设 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 ，记 （ ），则 取到最大值时， 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. D.
二、填空题
10.（2020高二上·峨山月考）设 满足约束条件 则 的最大值为 .
11.（2020高一上·南京月考）设集合 中的最大、最小元素分别为M、m，则 的值是________，当x取最小元素m时， 的值是________．
12.（2021高一下·抚州期末）设 ， ，且 恒成立，则n的最大值为 .
13.（2020高一上·上海期中）已知关于 的不等式 解集为空集，则实数 的取值范围是________
14.（2019高一下·合肥期中）已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值为________．
15.（2019高二上·蛟河期中）已知 则 的最小值是________.
16.（2019高三上·镇江期中）若 ，则 的最小值是 ．
17.（2019高一下·黑龙江月考）若函数 有两个极值点 ，其中 ，且 ，则方程 的实根个数为________．
18.（2020高二上·徐州期中）若 ，且 ，则 的最小值为________.
三、解答题
19.（2020高一上·启东月考）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量 （千辆/时）与汽车的平均速度 （千米/时）之间的函数关系为 ．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到 千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过 千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
20.（2019高一上·长沙月考）某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为 （k＞0，k为常数， 且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为 万元．
（Ⅰ）求k的值，并求出 的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高 最高利润为多少万元
（2019高一上·上海月考）若抛物线 与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围.
22.（2020高一上·金华期末）已知函数 是奇函数， .
（1）求 的值;
（2）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】解：由题意作出 所表示的可行域，如图所示，
令z=0，得初始直线l0：y=-x，平移直线l0 ，
当直线l0经过点A（3,3）时，z=x+y取得最大值，且最大值为6.
故答案为：A
2.【答案】 A
【解析】作出平面区域如图所示，令 ，欲求 的最小值，
即求 在 轴上截距的最小值，
由 可得
平移直线 ，
可以看出当直线过点 时，纵截距最小，
，
故答案为：A.
3.【答案】 C
【解析】解：① 时，不等式化为 对一切 恒成立，因此 满足题意；
② 时，要使不等式 对一切 恒成立，则必有 解得 ．
综上①②可知：实数a取值的集合是 ．
故答案为：C．
4.【答案】 A
【解析】解：∵ ，∴
∴ ，
当且仅当 即 ， 时，取等号，
故答案为：A.
5.【答案】 B
【解析】 可化为:
可得
不等式 的解集为
, 是方程
代入
得: 即
即
根据用数轴标根法可得: 或
不等式 的解集为:
故答案为：B.
6.【答案】 A
【解析】设 ，则
（当且仅当 ，即 时取等号）
且 ，解得： ，即
的最小值为
故选：
7.【答案】 C
【解析】∵正项等比数列 的公比为3，且
∴
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
故答案为：C.
8.【答案】 B
【解析】因为 ，
取等号时 ，所以 ，
因为不等式 有解，所以 ，
所以 或 ，
故答案为：B.
9.【答案】 D
【解析】如图所示：
因为 是△ 的中位线，
所以 到 的距离等于△ 的 边上高的一半，
所以 ，
由此可得 ，
当且仅当 时，即 为 的中点时，等号成立，
所以 ，
由平行四边形法则可得 ， ，
将以上两式相加可得 ，
所以 ，
又已知 ，
根据平面向量基本定理可得 ，
从而 .
故答案为：D.
二、填空题
10.【答案】 14
【解析】由约束条件 作出可行域，
化目标函数 为
，
由图可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小，
有最大值为：14
故答案为：14
11.【答案】 ；
【解析】 ，
取最小值为1，b取最大值为2．
所以最大值 ，
又 ，
当且仅当 时取到等号，
即 时，
有最小值 ，
所以 ，
当x取最小元素m时 的值是 ．
故答案为： ， ．
12.【答案】 4
【解析】解：由 ，可得 ， ， ，
由 ，可得 ，
则
，
当 时，上式取得等号，
由题意可得 ，
即 的最大值为4．
故答案为：4．
13.【答案】 [0,4)
【解析】由题意，关于 的不等式 解集为空集，
当 时，不等式 ，此时解集为空集，符合题意；
当 时，要使得不等式 解集为空集，则满足 ，
解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是[0,4).
故答案为：[0,4).
14.【答案】 -6
【解析】解：由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,
当直线 经过点A(0，3)时，直线的纵截距 最大，z最小，所以 故填-6。
15.【答案】 1
【解析】根据限制条件画出可行域，如图所示，可知 内部含边界是可行域，
将目标函数 ，转化成 ，可知 是斜率为 的一簇平行线在 轴上截距，所以过 点时， 最小.
解 ，得 ，代入到 得 的最小值是 .
16.【答案】 25
【解析】解：由 ，得
所以 ，可得 .
则 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：25.
17.【答案】 5
【解析】∵函数f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有两个极值点x1 ， x2 ，
∴f′（x）=﹣ +2ax+b= ，
即为2ax2+bx﹣1=0有两个不相等的正根，
∴△=b2+8a＞0．解得x= ．
∵x1＜x2 ， ﹣ ，b＞0，
∴x1= ，x2= ．
而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2
即有0＜x1＜x2 ， ：∵x1 ， x2＞0又x1x2=﹣ ＞1
∴x2＞1，∵f（1）=﹣b＜0∴f（x1）＜0，
f（x2）＞0．
①根据f′（x）画出f（x）的简图，
∵f（x2）=x2 ， 由图象可知方程f（x）=x2有两解，方程f（x）=x1有三解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2共有5个实数解．
即关于x的方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的共有5不同实根．
故答案为：5
18.【答案】
【解析】令 ，则
， ，即 ，
， ， ，
当 取得最小值时， 也取得最小值，
又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，即 的最小值为 ，
故答案为： 。
三、解答题
19.【答案】 （1）解：依题意 ，当且仅当 等号成立，
最大车流量 （千辆/时）；
（2）解：由条件得 ，整理得 ，解得 ．
故汽车的平均速度应该在 范围内．
20.【答案】 解：（Ⅰ）由 ，当n＝0时，由题意，可得k＝8，
所以 ．
（Ⅱ）由
．
当且仅当 ，即n＝8时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．
21.【答案】 解：设 的两根为 ，
由题得 ，（1）， ，（2），
解（1）（2）得 或 .
所以实数 的取值范围为 .
22.【答案】 （1）解： ，
则 或 ，
因为 是奇函数，
故 ， ，
即 ，
所以 ；
（2）解： ，
令 ， ，
所以 ， .
易知 ，当 时取等号，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以 .
不等式
一、单选题
1.（2021高二下·杭州期中）已知实数 ， 满足 ，设 ，则 的最大值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 0 D. -3
2.（2019高二上·阳江月考）已知x、y满足条件 则2x+4y的最小值为（ ）
A. -6 B. 6 C. 12 D. -12
3.（2020高一下·大庆期中）若不等式 对一切 恒成立，则实数a取值的集合（ ）
A. B. C. D.
4.（2020高一下·宣城月考）若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 3
5.（2019高一上·重庆月考）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.（2019高三上·安徽月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.（2019高一下·大庆期中）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则 的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
8.（2020高一上·泉州月考）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
9.（2019高一下·广东期中）在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 上的任一点，实数 ， 满足 ，设 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 ，记 （ ），则 取到最大值时， 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. D.
二、填空题
10.（2020高二上·峨山月考）设 满足约束条件 则 的最大值为 .
11.（2020高一上·南京月考）设集合 中的最大、最小元素分别为M、m，则 的值是________，当x取最小元素m时， 的值是________．
12.（2021高一下·抚州期末）设 ， ，且 恒成立，则n的最大值为 .
13.（2020高一上·上海期中）已知关于 的不等式 解集为空集，则实数 的取值范围是________
14.（2019高一下·合肥期中）已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最小值为________．
15.（2019高二上·蛟河期中）已知 则 的最小值是________.
16.（2019高三上·镇江期中）若 ，则 的最小值是 ．
17.（2019高一下·黑龙江月考）若函数 有两个极值点 ，其中 ，且 ，则方程 的实根个数为________．
18.（2020高二上·徐州期中）若 ，且 ，则 的最小值为________.
三、解答题
19.（2020高一上·启东月考）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量 （千辆/时）与汽车的平均速度 （千米/时）之间的函数关系为 ．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到 千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过 千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
20.（2019高一上·长沙月考）某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为 （k＞0，k为常数， 且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为 万元．
（Ⅰ）求k的值，并求出 的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高 最高利润为多少万元
（2019高一上·上海月考）若抛物线 与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围.
22.（2020高一上·金华期末）已知函数 是奇函数， .
（1）求 的值;
（2）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】解：由题意作出 所表示的可行域，如图所示，
令z=0，得初始直线l0：y=-x，平移直线l0 ，
当直线l0经过点A（3,3）时，z=x+y取得最大值，且最大值为6.
故答案为：A
2.【答案】 A
【解析】作出平面区域如图所示，令 ，欲求 的最小值，
即求 在 轴上截距的最小值，
由 可得
平移直线 ，
可以看出当直线过点 时，纵截距最小，
，
故答案为：A.
3.【答案】 C
【解析】解：① 时，不等式化为 对一切 恒成立，因此 满足题意；
② 时，要使不等式 对一切 恒成立，则必有 解得 ．
综上①②可知：实数a取值的集合是 ．
故答案为：C．
4.【答案】 A
【解析】解：∵ ，∴
∴ ，
当且仅当 即 ， 时，取等号，
故答案为：A.
5.【答案】 B
【解析】 可化为:
可得
不等式 的解集为
, 是方程
代入
得: 即
即
根据用数轴标根法可得: 或
不等式 的解集为:
故答案为：B.
6.【答案】 A
【解析】设 ，则
（当且仅当 ，即 时取等号）
且 ，解得： ，即
的最小值为
故选：
7.【答案】 C
【解析】∵正项等比数列 的公比为3，且
∴
∴
∴ ，当且仅当 时取等号，
故答案为：C.
8.【答案】 B
【解析】因为 ，
取等号时 ，所以 ，
因为不等式 有解，所以 ，
所以 或 ，
故答案为：B.
9.【答案】 D
【解析】如图所示：
因为 是△ 的中位线，
所以 到 的距离等于△ 的 边上高的一半，
所以 ，
由此可得 ，
当且仅当 时，即 为 的中点时，等号成立，
所以 ，
由平行四边形法则可得 ， ，
将以上两式相加可得 ，
所以 ，
又已知 ，
根据平面向量基本定理可得 ，
从而 .
故答案为：D.
二、填空题
10.【答案】 14
【解析】由约束条件 作出可行域，
化目标函数 为
，
由图可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小，
有最大值为：14
故答案为：14
11.【答案】 ；
【解析】 ，
取最小值为1，b取最大值为2．
所以最大值 ，
又 ，
当且仅当 时取到等号，
即 时，
有最小值 ，
所以 ，
当x取最小元素m时 的值是 ．
故答案为： ， ．
12.【答案】 4
【解析】解：由 ，可得 ， ， ，
由 ，可得 ，
则
，
当 时，上式取得等号，
由题意可得 ，
即 的最大值为4．
故答案为：4．
13.【答案】 [0,4)
【解析】由题意，关于 的不等式 解集为空集，
当 时，不等式 ，此时解集为空集，符合题意；
当 时，要使得不等式 解集为空集，则满足 ，
解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是[0,4).
故答案为：[0,4).
14.【答案】 -6
【解析】解：由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,
当直线 经过点A(0，3)时，直线的纵截距 最大，z最小，所以 故填-6。
15.【答案】 1
【解析】根据限制条件画出可行域，如图所示，可知 内部含边界是可行域，
将目标函数 ，转化成 ，可知 是斜率为 的一簇平行线在 轴上截距，所以过 点时， 最小.
解 ，得 ，代入到 得 的最小值是 .
16.【答案】 25
【解析】解：由 ，得
所以 ，可得 .
则 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：25.
17.【答案】 5
【解析】∵函数f（x）=﹣lnx+ax2+bx﹣a﹣2b有两个极值点x1 ， x2 ，
∴f′（x）=﹣ +2ax+b= ，
即为2ax2+bx﹣1=0有两个不相等的正根，
∴△=b2+8a＞0．解得x= ．
∵x1＜x2 ， ﹣ ，b＞0，
∴x1= ，x2= ．
而方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的△1=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x1或x2
即有0＜x1＜x2 ， ：∵x1 ， x2＞0又x1x2=﹣ ＞1
∴x2＞1，∵f（1）=﹣b＜0∴f（x1）＜0，
f（x2）＞0．
①根据f′（x）画出f（x）的简图，
∵f（x2）=x2 ， 由图象可知方程f（x）=x2有两解，方程f（x）=x1有三解．
综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2共有5个实数解．
即关于x的方程2a（f（x））2+bf（x）﹣1=0的共有5不同实根．
故答案为：5
18.【答案】
【解析】令 ，则
， ，即 ，
， ， ，
当 取得最小值时， 也取得最小值，
又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，即 的最小值为 ，
故答案为： 。
三、解答题
19.【答案】 （1）解：依题意 ，当且仅当 等号成立，
最大车流量 （千辆/时）；
（2）解：由条件得 ，整理得 ，解得 ．
故汽车的平均速度应该在 范围内．
20.【答案】 解：（Ⅰ）由 ，当n＝0时，由题意，可得k＝8，
所以 ．
（Ⅱ）由
．
当且仅当 ，即n＝8时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．
21.【答案】 解：设 的两根为 ，
由题得 ，（1）， ，（2），
解（1）（2）得 或 .
所以实数 的取值范围为 .
22.【答案】 （1）解： ，
则 或 ，
因为 是奇函数，
故 ， ，
即 ，
所以 ；
（2）解： ，
令 ， ，
所以 ， .
易知 ，当 时取等号，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以 .