人教新课标A版必修2 综合复习与测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修2 综合复习与测试（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 354.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-24 15:05:51 | ||
图片预览
文档简介
人教新课标A版必修2
综合复习与测试
一、单选题
1.（2020高二上·遵义月考）若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 120
2.（2019高二下·青浦期末）已知空间不重合的三条直线l、m、n及一个平面 ，下列命题中的假命题是（ ）．
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
3.（2020高三上·宁波期末）如图，正方体 中， ，点 在侧面 内.若 ，则点 的轨迹为（ ）
A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线一部分 D. 椭圆一部分
4.（2019高一下·韶关期末）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：
① 与 平行；② 与 是异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④
5.（2019高一下·韶关期末）已知直线 与圆 交于A、B两点，O是坐标原点，向量 、 满足 ，则实数a的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 或 D. 2或-2
6.（2019·云南模拟）已知直三棱柱 的顶点都在球 的球面上， ， ，若球 的表面积为 ，则这个直三棱柱的体积是（ ）
A. 16 B. 15 C. D.
7.（2020高二上·朝阳期末）如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8.（2021高三上·河南月考）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.（2020·江西模拟）在平面五边形 中， ， ， ， ，且 .将五边形 沿对角线 折起，使平面 与平面 所成的二面角为 ，则沿对角线 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.（2019高三上·广东月考）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，点 分别是 的中点， ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.（2019高三上·柳州月考）已知三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在平面互相垂直， , , ,则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
12.点 关于直线 的对称点是 ， 关于原点O的对称点是 ，则 ________．
13.（2020高二上·重庆月考）已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．
14.（2020高二上·四川月考）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断：
① m ^ n ②α^β ③ m ^β ④ n ^α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为
正确的一个命题：________.
15.（2020高二上·成都月考）已知直线 和圆 相交于 、 两点，则弦长 ________．
16.（2021·衡阳模拟）设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点（异于 、 ），若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则圆锥的体积为 .
17.（2020高二上·安徽期中）在平行四边形ABCD中， ， ，将此平行四边形沿对角线BD折叠，使平面 平面CBD，则三棱锥A-BCD外接球的体积是________.
18.（2019高三上·杨浦期中）已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为 、面积为 ，则该圆锥的体积为 .
19.（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.
20.（2020高三上·兴宁期末）已知空间四边形 中， ， ， ，若平面 平面 ，则该几何体的外接球表面积为________．
三、解答题
21.（2020·盐城模拟）在极坐标系中，已知圆 和直线 相交于 两点，求线段 的长.
22.（2019高一下·广东期末）已知直线 ： ，过点 且圆心在x轴上的圆C与y轴相切.
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l被圆C截得的弦长.
23.（2021高一下·长春期末）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
24.（2019高一下·石河子月考）如图，
（I）求证
（II）设
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】设直线AB的倾斜角为 ，由两点斜率公式的直线AB的斜率 所以 ，
故答案为：A．
2.【答案】 B
【解析】对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，B选项是假命题.
对于C选项，由于 ， ，根据空间角的定义可知， ，C选项正确.
对于D选项，由于 ，所以 平行于平面 内一条直线 ，而 ，所以 ，所以 ，即D选项正确.
故答案为：B.
3.【答案】 A
【解析】如图建立空间直角坐标系，
设棱长为3， ， ， ， ， ， ，
，整理为： ，
所以点 的轨迹方程是关于 的二元一次方程，所以点M的轨迹是平面 平面内，直线 内的一段线段。
故答案为：A
4.【答案】 C
【解析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD﹣EFMN后，
可得AF，CN异面；BM，AN平行；
连接AN，NF，可得∠FAN为AF，BM所成角，且为60°；
BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，
可得③④正确，
故答案为：C．
5.【答案】 D
【解析】由 ，两边平方，得 ，
所以 ，则 为等腰直角三角形，
而圆 的半径AO=2，
则原点O到直线x+y=a的距离为 ，
所以 ，解得a的值为2或-2。
故答案为：D．
6.【答案】 A
【解析】由题， ，
因为 ， ，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故答案为：A
7.【答案】 D
【解析】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，
易知K为 的四等分点，L为 的中点，M为 的四等分点， ，
取 的中点N，易证 ，
则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角 ，
在 中， ， ，
故
故答案为：D
8.【答案】 C
【解析】圆锥底面周长为 ，
所以圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，
所以圆锥的体积为 ，
由祖暅原理，该几何体的体积也为 .
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】设 的中心为 ，矩形 的中心为 ，
过 作垂直于平面 的直线 ，
过 作垂直于平面 的直线 ，
则由球的性质可知，直线 与 的交点 ，
即几何体 外接球的球心..取 的中点 ，
连接 ， ，由条件得 ，
.连接 ，因为 ，
从而 .连接 ，则 为所得几何体外接球的半径.
又 ，则 ，
故所得几何体外接球的表面积等于 .
故答案为：C.
10.【答案】 C
【解析】
，
平面 平面 ，
点 分别是 的中点， ，
设球 半径为
，
故答案为：C
11.【答案】 D
【解析】解：
， ， ,
，
，
的外接圆的半径为
和 所在平面互相垂直，
球心在 边的高上，
设球心到平面 的距离为 ，
则
，
球 体积 .
故答案为：D
二、填空题
12.【答案】
【解析】因为点 关于直线 的对称点是
所以 ，
又因为 关于原点O的对称点是
所以 ，
所以 ．
故答案为：
13.【答案】 垂直
【解析】 ，
则 平面 平面
所以
故 和 的关系是垂直
14.【答案】 或
【解析】若① ，② ，③ 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即④ 不一定成立；若① ，② ，④ 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即③ 不一定成立；若① ，③ ，④ 成立，则② 成立；若② ，③ ，④ 成立，则① 成立，故答案为 或 .
15.【答案】
【解析】由圆 方可知其圆心坐标为 ，半径 ，弦心距 ，∴ ，故答案为 .
16.【答案】 24π或8π
【解析】设圆锥 的外接球球心为 ，则 在直线 上，
设球 的半径为 ，则 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.
17.【答案】
【解析】如图所示，
因为平面 平面ABD，所以 平面BDC， 平面ABD，
可得 ， ，
取AC的中点O，则 ，
于是外接球的球心是O， ，则 ，
又由 ，
所以半径 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为：
18.【答案】
【解析】解：由扇形的面积公式 有： ，解得 ，
由弧长公式有 ，即 ，即该圆锥的母线长为 ，底面圆周长为 ，
即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为 ，
由圆锥的体积公式可得 ，
故答案为： .
19.【答案】 26；
【解析】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
20.【答案】
【解析】如图：
由于 是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为 ，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R= ， 。填 。
三、解答题
21.【答案】 解：圆C： 直角坐标方程为 ，即
直线 ： 的直角坐标方程为
圆心 到直线 的距离
所以 ,
22.【答案】 （1）解：∵圆心 在 轴上且该圆与 轴相切,
∴设圆心 ,半径 , ,
设圆的方程为 ,将点 代入得 ,
∴ ,
∴所求圆C的方程为 .
（2）解：∵圆心 到直线 ： 的距离
,
∴直线 被圆截得的弦长为 .
23.【答案】 （1）设 与 相交于点 ，则 为 中点，连接 ，
∵ 为 中点，∴ ，
又∵ 平面 ，∴ 平面 ；
（2）连接 ，则 ，
在正三棱柱 中， 平面 ，
则 与 到平面 的距离相等，
∵ 为 的中点，∴ ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
在等边三角形 中，由 ，得 ，
又正三棱柱的侧棱长为 ，∴ ，
∴ .
24.【答案】 解：（I） ,
,
（II）
， , ，
综合复习与测试
一、单选题
1.（2020高二上·遵义月考）若直线经过 两点，则直线 的倾斜角为（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 120
2.（2019高二下·青浦期末）已知空间不重合的三条直线l、m、n及一个平面 ，下列命题中的假命题是（ ）．
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
3.（2020高三上·宁波期末）如图，正方体 中， ，点 在侧面 内.若 ，则点 的轨迹为（ ）
A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线一部分 D. 椭圆一部分
4.（2019高一下·韶关期末）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：
① 与 平行；② 与 是异面直线；③ 与 成60°角；④ 与 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④
5.（2019高一下·韶关期末）已知直线 与圆 交于A、B两点，O是坐标原点，向量 、 满足 ，则实数a的值是（ ）
A. 2 B. -2 C. 或 D. 2或-2
6.（2019·云南模拟）已知直三棱柱 的顶点都在球 的球面上， ， ，若球 的表面积为 ，则这个直三棱柱的体积是（ ）
A. 16 B. 15 C. D.
7.（2020高二上·朝阳期末）如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8.（2021高三上·河南月考）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.（2020·江西模拟）在平面五边形 中， ， ， ， ，且 .将五边形 沿对角线 折起，使平面 与平面 所成的二面角为 ，则沿对角线 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.（2019高三上·广东月考）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，点 分别是 的中点， ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.（2019高三上·柳州月考）已知三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在平面互相垂直， , , ,则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
12.点 关于直线 的对称点是 ， 关于原点O的对称点是 ，则 ________．
13.（2020高二上·重庆月考）已知△ABC和直线l，若l⊥AB，l⊥BC，则l和AC的关系是________．
14.（2020高二上·四川月考）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断：
① m ^ n ②α^β ③ m ^β ④ n ^α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为
正确的一个命题：________.
15.（2020高二上·成都月考）已知直线 和圆 相交于 、 两点，则弦长 ________．
16.（2021·衡阳模拟）设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点（异于 、 ），若 ，三棱锥 的外接球表面积为 ，则圆锥的体积为 .
17.（2020高二上·安徽期中）在平行四边形ABCD中， ， ，将此平行四边形沿对角线BD折叠，使平面 平面CBD，则三棱锥A-BCD外接球的体积是________.
18.（2019高三上·杨浦期中）已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为 、面积为 ，则该圆锥的体积为 .
19.（2019·全国Ⅱ卷理）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.
20.（2020高三上·兴宁期末）已知空间四边形 中， ， ， ，若平面 平面 ，则该几何体的外接球表面积为________．
三、解答题
21.（2020·盐城模拟）在极坐标系中，已知圆 和直线 相交于 两点，求线段 的长.
22.（2019高一下·广东期末）已知直线 ： ，过点 且圆心在x轴上的圆C与y轴相切.
（1）求圆C的方程；
（2）求直线l被圆C截得的弦长.
23.（2021高一下·长春期末）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
24.（2019高一下·石河子月考）如图，
（I）求证
（II）设
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】设直线AB的倾斜角为 ，由两点斜率公式的直线AB的斜率 所以 ，
故答案为：A．
2.【答案】 B
【解析】对于A选项，根据平行公理可知，A选项正确.
对于B选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，B选项是假命题.
对于C选项，由于 ， ，根据空间角的定义可知， ，C选项正确.
对于D选项，由于 ，所以 平行于平面 内一条直线 ，而 ，所以 ，所以 ，即D选项正确.
故答案为：B.
3.【答案】 A
【解析】如图建立空间直角坐标系，
设棱长为3， ， ， ， ， ， ，
，整理为： ，
所以点 的轨迹方程是关于 的二元一次方程，所以点M的轨迹是平面 平面内，直线 内的一段线段。
故答案为：A
4.【答案】 C
【解析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD﹣EFMN后，
可得AF，CN异面；BM，AN平行；
连接AN，NF，可得∠FAN为AF，BM所成角，且为60°；
BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，
可得③④正确，
故答案为：C．
5.【答案】 D
【解析】由 ，两边平方，得 ，
所以 ，则 为等腰直角三角形，
而圆 的半径AO=2，
则原点O到直线x+y=a的距离为 ，
所以 ，解得a的值为2或-2。
故答案为：D．
6.【答案】 A
【解析】由题， ，
因为 ， ，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
故三棱柱的高
故体积
故答案为：A
7.【答案】 D
【解析】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，
易知K为 的四等分点，L为 的中点，M为 的四等分点， ，
取 的中点N，易证 ，
则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角 ，
在 中， ， ，
故
故答案为：D
8.【答案】 C
【解析】圆锥底面周长为 ，
所以圆锥的底面半径 ，圆锥的高 ，
所以圆锥的体积为 ，
由祖暅原理，该几何体的体积也为 .
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】设 的中心为 ，矩形 的中心为 ，
过 作垂直于平面 的直线 ，
过 作垂直于平面 的直线 ，
则由球的性质可知，直线 与 的交点 ，
即几何体 外接球的球心..取 的中点 ，
连接 ， ，由条件得 ，
.连接 ，因为 ，
从而 .连接 ，则 为所得几何体外接球的半径.
又 ，则 ，
故所得几何体外接球的表面积等于 .
故答案为：C.
10.【答案】 C
【解析】
，
平面 平面 ，
点 分别是 的中点， ，
设球 半径为
，
故答案为：C
11.【答案】 D
【解析】解：
， ， ,
，
，
的外接圆的半径为
和 所在平面互相垂直，
球心在 边的高上，
设球心到平面 的距离为 ，
则
，
球 体积 .
故答案为：D
二、填空题
12.【答案】
【解析】因为点 关于直线 的对称点是
所以 ，
又因为 关于原点O的对称点是
所以 ，
所以 ．
故答案为：
13.【答案】 垂直
【解析】 ，
则 平面 平面
所以
故 和 的关系是垂直
14.【答案】 或
【解析】若① ，② ，③ 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即④ 不一定成立；若① ，② ，④ 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即③ 不一定成立；若① ，③ ，④ 成立，则② 成立；若② ，③ ，④ 成立，则① 成立，故答案为 或 .
15.【答案】
【解析】由圆 方可知其圆心坐标为 ，半径 ，弦心距 ，∴ ，故答案为 .
16.【答案】 24π或8π
【解析】设圆锥 的外接球球心为 ，则 在直线 上，
设球 的半径为 ，则 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.
17.【答案】
【解析】如图所示，
因为平面 平面ABD，所以 平面BDC， 平面ABD，
可得 ， ，
取AC的中点O，则 ，
于是外接球的球心是O， ，则 ，
又由 ，
所以半径 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为：
18.【答案】
【解析】解：由扇形的面积公式 有： ，解得 ，
由弧长公式有 ，即 ，即该圆锥的母线长为 ，底面圆周长为 ，
即底面圆半径为3，由勾股定理可得圆锥的高为 ，
由圆锥的体积公式可得 ，
故答案为： .
19.【答案】 26；
【解析】结合图形的对称性数一数即可得到面的个数为26个。
根据题意补全该半正多面体的正方体，其俯视图为,
设该半正多面体的棱长为a,则有正方体的棱
长为 , ∴ .
20.【答案】
【解析】如图：
由于 是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为 ，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R= ， 。填 。
三、解答题
21.【答案】 解：圆C： 直角坐标方程为 ，即
直线 ： 的直角坐标方程为
圆心 到直线 的距离
所以 ,
22.【答案】 （1）解：∵圆心 在 轴上且该圆与 轴相切,
∴设圆心 ,半径 , ,
设圆的方程为 ,将点 代入得 ,
∴ ,
∴所求圆C的方程为 .
（2）解：∵圆心 到直线 ： 的距离
,
∴直线 被圆截得的弦长为 .
23.【答案】 （1）设 与 相交于点 ，则 为 中点，连接 ，
∵ 为 中点，∴ ，
又∵ 平面 ，∴ 平面 ；
（2）连接 ，则 ，
在正三棱柱 中， 平面 ，
则 与 到平面 的距离相等，
∵ 为 的中点，∴ ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
在等边三角形 中，由 ，得 ，
又正三棱柱的侧棱长为 ，∴ ，
∴ .
24.【答案】 解：（I） ,
,
（II）
， , ，