2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 同步达标训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 同步达标训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 255.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-24 13:40:38 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》同步达标训练（附答案）
1．如图所示，第一个图形共6个小圆圈，第二个图形共12个小圆圈，第三个图形共20个小圆圈，则按此规律，第8个图形共（ ）个小圆圈．
A．56 B．72 C．64 D．90
2．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2025应标在（ ）
A．第507个正方形的左上角
B．第507个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角
D．第506个正方形的右下角
3．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．请用归纳思想解决下列问题：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+3）个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得的三角形个数为（ ）
三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形个数
1 3
2 5
3 7
… … …
A．2n﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+3
4．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a1，第2幅图中“ ”的个数为a2，第3幅图中“ ”的个数为a3，…，以此类推，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，果农将苹果树种在正方形的果园．为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种针叶树，根据图中规律，该果农计划种100棵苹果树，需要种针叶树的棵数为 ．
7．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰7”中C的位置是有理数 ，﹣2121应排在A、B、C、D、E中 的位置．
在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数 ．
9．如图，在正方形ABC B1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长C B1交直线l于点 A1，做正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2交直线l于点 A2，做正方形 A2B2C2B3；延长 C2B3交直线l于点 A3，…，依次规律，则 A2021B2021＝ ．
10．探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19＝ ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ ．
11．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．
解答下列问题：
（1）填表：（n代表第n个图形）
n 1 2 3 4 5 … n
黑点个数 1 3 7 13 …
（2）当n＝100时，黑点个数为 ；
（3）当n＝ 时，黑点个数为381．
12．某市民广场地面铺设地砖，决定采用黑白2种地砖，按如下方案铺设：首先在广场中央铺2块黑色砖（如图①），然后在黑色砖的四周铺上白色砖（如图②），再在白色砖的四周铺上黑色砖（如图③），再在黑色砖的四周铺上白色砖（如图④）．这样反复更换地砖的颜色，直至铺满整个广场．观察图，解决下列问题：
（1）填表：
图形序号数 ① ② ③ ④ …
地砖总数（包括黑白地砖） 2 12 …
（2）按照这种规律第n个图形一共用去地砖多少块？（用含n的代数式表示）
13．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
14．观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图①共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…
（1）写出第⑥个图中看不见的小立方体有 个；
（2）猜想并写出与第n个图形中看不见的小立方体的个数．
15．将正整数1至2024按一定规律排列成如图所示的8列，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，…从左往右依次为第1列至第8列．
（1）数56在第 行 列；
（2）平移图中带阴影的方框，使方框框住相邻的三个数，若被框住的三个数中最大的一个数为x，则被框的三个数的和能否等于2019？若能，请求出x；若不能，请说明理由．
16．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．
【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：
第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝2+4＝6张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝2+4+6＝12张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝2+4+6+8＝20张正方形纸片；
…
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
【规律归纳】
（1）第（7）个图形中有 张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据上面的发现我们可以猜想：2+4+6+2n＝ （用含n的代数式表示）；
【规律应用】
根据你的发现计算：
①2+4+6+…+2000；
②202+204+206+…+600．
17．观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，第n层有 个小圆圈．
（2）某一层上有65个圆圈，这是第 层．
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，
由此得，1+3＝22．
同样：
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5＝32．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7＝42．
…
根据上述规律，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用n的代数式把它表示出来 ．
（4）运用（3）中的规律计算：73+75+77+…+153．
18．图1为奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为m，其它四个数分别记为a，b，c，d（如图2）；图3为按某一规律排成的另一个数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为n，其它四个数记为e，f，g，h（如图4）．
（1）请用含m的代数式表示b．
（2）请用含n的代数式表示e．
（3）若a+b+c+d＝km，e+f+g+h＝pn，求k+3p的值．
19．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2＝﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
积与和的商 （﹣2）÷2＝﹣1
（2）请用你发现的规律求出图④中的数x和图⑤中的数y．
参考答案
1．解：由图知，
第1个图形共有小圆圈的个数为：6＝2×3，
第2个图形共有小圆圈的个数为：12＝3×4，
第3个图形共有小圆圈的个数为：20＝4×5，
第4个图形共有小圆圈的个数为：30＝5×6，
...，
第n个图形共有小圆圈的个数为：（n+1）（n+2），
∴第8个图形共有小圆圈的个数为：9×10＝90，
故选：D．
2．解：根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，且四个数在正方形上的相对位置是相同的，
∵2025÷4＝506......1，
∴2025在第507个正方形右下角位置上，
故选：B．
3．解：∵当三角形内点的个数为1时，最多可以剪得3个三角形；
当三角形内点的个数为2时，最多可以剪得5个三角形；
当三角形内点的个数为3时，最多可以剪得7个三角形；
当三角形内点的个数为4时，最多可以剪得9个三角形；
∴变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个；
∴当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得（2n+1）个三角形；
故选：C．
4．解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵+…+
＝+++…+
＝2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣），
＝2×（1﹣）
＝2×
＝，
故选：A．
5．解：＝，
故选：B．
6．解：∵第1个图形中苹果树的棵数是1，针叶树的棵数是8，
第2个图形中苹果树的棵数是4＝22，针叶树的棵数是16＝8×2，
第3个图形中苹果树的棵数是9＝32，针叶树的棵数为是24＝8×3，
第4个图形中苹果树的棵数为是16＝42，针叶树的棵数是32＝8×4，
…，
∴第n个图形中苹果树的棵数是n2，针叶树的棵数是8n，
∴当有100棵苹果树时，即n2＝100，解得：n＝10，
∴需要种针叶树的数量为：8×10＝80（棵）．
故答案为：80．
7．解：由图知，每五个数一个峰，且第奇数个峰值是正偶数，第偶数个峰值是负奇数，
故“峰7”中C的位置是7×5﹣1＝34，
∵（2121﹣1）÷5＝424，
∴﹣2121在E位置，
故答案为：34，E．
8．解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5＝1+1+3（个），
第二个图有：9＝4+2+3（个），
第三个图有：15＝9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3＝423（个），
故答案为：423．
9．解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2，
……
∴A2021B2021＝（）2021，
故答案为：（）2021．
10．解：（1）由1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
…，
∵1+3+5+7+9+…+19共有10个数，
∴1+3+5+7+9+…+19＝102＝100．
故答案为：100；
（2）由（1）得，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2．
故答案为：n2．
11．解：（1）图1黑点的个数是：1；
图2黑点的个数是：3＝1+（2﹣1）×2；
图3黑点的个数是：7＝1+（3﹣1）×3；
…
图n黑点的个数为：1+（n﹣1） n＝n2﹣n+1；
故图5中黑点的个数为：52﹣5+1＝21，
故答案为：21；n2﹣n+1；
（2）当n＝100时，1002﹣100+1＝9901；
故答案为：9901；
（3）由题意得：n2﹣n+1＝381，
解得：n＝20，n＝﹣19（舍去），
故答案为：20．
12．解：（1）填表：
图形序号数 ① ② ③ ④ …
地砖总数（包括黑白地砖） 2 12 30 56 …
故答案为：30，56；
（2）由图形可知：2n（2n﹣1）＝4n2﹣2n，
则按照这种规律第n个图形一共用去地砖（4n2﹣2n）块．
13．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．
14．解：（1）当高有1个立方体时，1＝1，0＝（1﹣1）3＝03；
当高有2个立方体时，8＝23，1＝13＝（2﹣1）3；
当高有3个立方体时，27＝33，8＝（3﹣1）3＝23；
当高有4个立方体时，64＝43，27＝（4﹣1）3＝33；
当高有5个立方体时，125＝53，64＝（5﹣1）3＝43；
当高有6个立方体时，216＝63，125＝（6﹣1）3＝53；
故答案为：125．
（2）由（1）可知，当高有n个立方体时，看不见的小立方体的个数为（n﹣1）3个．
15．解：（1）∵56＝7×8，
∴数56在第7行8列；
故答案为：7；8；
（2）∵设被框住的三个数中，最大的一个数为x，则另外两个数为x﹣2，x﹣1，
∴三个数之和为x﹣2+x﹣1+x＝3x﹣3．
根据题意得：3x﹣3＝2019，
解得：x＝674，
∵674＝84×8+2，
∴数674在第85行2列，不符合题意，
∴三个数的和不可以等于2019，此时x的值为672；
3x﹣3＝2019，
解得：x＝674，
∵674＝84×8+2，
∴数674在第85行2列，
∵方框框住相邻的三个数中最大的数x，至少位于第3列，
∴三个数的和不可以等于2019．
16．解：【规律探索】
第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝2+4＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝2+4+6＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝2+4+6+8＝20＝4×5张正方形纸片；
…
【规律归纳】
第（7）个图形中有张正方形纸片7×8＝56张正方形纸片；
故答案为：56；
（2）根据上面的发现猜想：2+4+6+2n＝n（n+1）；
故答案为：n（n+1）；
【规律应用】
①2+4+6+…+2000
＝1000×1001
＝1001000；
②202+204+206+…+600
＝（2+4+6+…+600）﹣（2+4+6+…+200）
＝300×301﹣100×101
＝80200．
17．解：（1）第n层有（2n﹣1）个小圆圈；
故答案为：（2n﹣1）；
（2）令2n﹣1＝65，
解得n＝33．
所以这是第33层；
故答案为：33；
（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；
故答案为：n2；
（4）（1+3+5+…+153）﹣（1+3+5+…+71）
＝（）2﹣（）2
＝772﹣362
＝4633．
18．解：（1）由图1和图2得：b＝m﹣18；
（2）如图3，分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+2，
②当n＜0时，e＝﹣n﹣2；
（3）由图1和图2得：a＝m﹣2，b＝m﹣18，c＝m+2，d＝m+18，
∵a+b+c+d＝km，
∴m﹣2+m﹣18+m+2+m+18＝km，
4m＝km，
k＝4，
由图3和图4得：分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+2，f＝﹣n+18，g＝﹣n﹣2，h＝﹣n﹣18，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n+2﹣n+18﹣n﹣2﹣n﹣18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+3p＝4+3×（﹣4）＝﹣8．
②当n＜0时，e＝﹣n﹣2，f＝﹣n﹣18，g＝﹣n+2，h＝﹣n+18，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n﹣2﹣n﹣18﹣n+2﹣n+18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+3p＝4+3×（﹣4）＝﹣8．
19．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，
（﹣2）+（﹣5）+17＝10，
170÷10＝17．
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2＝﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17＝170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17＝10
积与和的商 ﹣2÷2＝﹣1， （﹣60）÷（﹣12）＝5， 170÷10＝17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，
5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，
x＝360÷（﹣12）×2＝﹣60，
图⑤：1×3×（﹣6）＝﹣18，
1+3+（﹣6）＝﹣2，
y＝﹣18÷（﹣2）×2＝18．
1．如图所示，第一个图形共6个小圆圈，第二个图形共12个小圆圈，第三个图形共20个小圆圈，则按此规律，第8个图形共（ ）个小圆圈．
A．56 B．72 C．64 D．90
2．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2025应标在（ ）
A．第507个正方形的左上角
B．第507个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角
D．第506个正方形的右下角
3．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．请用归纳思想解决下列问题：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+3）个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得的三角形个数为（ ）
三角形内点的个数 图形 最多剪出的小三角形个数
1 3
2 5
3 7
… … …
A．2n﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+3
4．如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ ”的个数为a1，第2幅图中“ ”的个数为a2，第3幅图中“ ”的个数为a3，…，以此类推，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，果农将苹果树种在正方形的果园．为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种针叶树，根据图中规律，该果农计划种100棵苹果树，需要种针叶树的棵数为 ．
7．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰7”中C的位置是有理数 ，﹣2121应排在A、B、C、D、E中 的位置．
在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数 ．
9．如图，在正方形ABC B1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长C B1交直线l于点 A1，做正方形 A1B1C1B2，延长 C1B2交直线l于点 A2，做正方形 A2B2C2B3；延长 C2B3交直线l于点 A3，…，依次规律，则 A2021B2021＝ ．
10．探索规律，观察图中由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19＝ ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ ．
11．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放．
解答下列问题：
（1）填表：（n代表第n个图形）
n 1 2 3 4 5 … n
黑点个数 1 3 7 13 …
（2）当n＝100时，黑点个数为 ；
（3）当n＝ 时，黑点个数为381．
12．某市民广场地面铺设地砖，决定采用黑白2种地砖，按如下方案铺设：首先在广场中央铺2块黑色砖（如图①），然后在黑色砖的四周铺上白色砖（如图②），再在白色砖的四周铺上黑色砖（如图③），再在黑色砖的四周铺上白色砖（如图④）．这样反复更换地砖的颜色，直至铺满整个广场．观察图，解决下列问题：
（1）填表：
图形序号数 ① ② ③ ④ …
地砖总数（包括黑白地砖） 2 12 …
（2）按照这种规律第n个图形一共用去地砖多少块？（用含n的代数式表示）
13．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
14．观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图①共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…
（1）写出第⑥个图中看不见的小立方体有 个；
（2）猜想并写出与第n个图形中看不见的小立方体的个数．
15．将正整数1至2024按一定规律排列成如图所示的8列，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，…从左往右依次为第1列至第8列．
（1）数56在第 行 列；
（2）平移图中带阴影的方框，使方框框住相邻的三个数，若被框住的三个数中最大的一个数为x，则被框的三个数的和能否等于2019？若能，请求出x；若不能，请说明理由．
16．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．
【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：
第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝2+4＝6张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝2+4+6＝12张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝2+4+6+8＝20张正方形纸片；
…
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
【规律归纳】
（1）第（7）个图形中有 张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据上面的发现我们可以猜想：2+4+6+2n＝ （用含n的代数式表示）；
【规律应用】
根据你的发现计算：
①2+4+6+…+2000；
②202+204+206+…+600．
17．观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，第n层有 个小圆圈．
（2）某一层上有65个圆圈，这是第 层．
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，
由此得，1+3＝22．
同样：
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5＝32．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7＝42．
…
根据上述规律，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用n的代数式把它表示出来 ．
（4）运用（3）中的规律计算：73+75+77+…+153．
18．图1为奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为m，其它四个数分别记为a，b，c，d（如图2）；图3为按某一规律排成的另一个数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为n，其它四个数记为e，f，g，h（如图4）．
（1）请用含m的代数式表示b．
（2）请用含n的代数式表示e．
（3）若a+b+c+d＝km，e+f+g+h＝pn，求k+3p的值．
19．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2＝﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
积与和的商 （﹣2）÷2＝﹣1
（2）请用你发现的规律求出图④中的数x和图⑤中的数y．
参考答案
1．解：由图知，
第1个图形共有小圆圈的个数为：6＝2×3，
第2个图形共有小圆圈的个数为：12＝3×4，
第3个图形共有小圆圈的个数为：20＝4×5，
第4个图形共有小圆圈的个数为：30＝5×6，
...，
第n个图形共有小圆圈的个数为：（n+1）（n+2），
∴第8个图形共有小圆圈的个数为：9×10＝90，
故选：D．
2．解：根据图形的变化可知，每四个数一个正方形，且四个数在正方形上的相对位置是相同的，
∵2025÷4＝506......1，
∴2025在第507个正方形右下角位置上，
故选：B．
3．解：∵当三角形内点的个数为1时，最多可以剪得3个三角形；
当三角形内点的个数为2时，最多可以剪得5个三角形；
当三角形内点的个数为3时，最多可以剪得7个三角形；
当三角形内点的个数为4时，最多可以剪得9个三角形；
∴变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加2个；
∴当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得（2n+1）个三角形；
故选：C．
4．解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵+…+
＝+++…+
＝2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣），
＝2×（1﹣）
＝2×
＝，
故选：A．
5．解：＝，
故选：B．
6．解：∵第1个图形中苹果树的棵数是1，针叶树的棵数是8，
第2个图形中苹果树的棵数是4＝22，针叶树的棵数是16＝8×2，
第3个图形中苹果树的棵数是9＝32，针叶树的棵数为是24＝8×3，
第4个图形中苹果树的棵数为是16＝42，针叶树的棵数是32＝8×4，
…，
∴第n个图形中苹果树的棵数是n2，针叶树的棵数是8n，
∴当有100棵苹果树时，即n2＝100，解得：n＝10，
∴需要种针叶树的数量为：8×10＝80（棵）．
故答案为：80．
7．解：由图知，每五个数一个峰，且第奇数个峰值是正偶数，第偶数个峰值是负奇数，
故“峰7”中C的位置是7×5﹣1＝34，
∵（2121﹣1）÷5＝424，
∴﹣2121在E位置，
故答案为：34，E．
8．解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5＝1+1+3（个），
第二个图有：9＝4+2+3（个），
第三个图有：15＝9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3＝423（个），
故答案为：423．
9．解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2，
……
∴A2021B2021＝（）2021，
故答案为：（）2021．
10．解：（1）由1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
…，
∵1+3+5+7+9+…+19共有10个数，
∴1+3+5+7+9+…+19＝102＝100．
故答案为：100；
（2）由（1）得，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2．
故答案为：n2．
11．解：（1）图1黑点的个数是：1；
图2黑点的个数是：3＝1+（2﹣1）×2；
图3黑点的个数是：7＝1+（3﹣1）×3；
…
图n黑点的个数为：1+（n﹣1） n＝n2﹣n+1；
故图5中黑点的个数为：52﹣5+1＝21，
故答案为：21；n2﹣n+1；
（2）当n＝100时，1002﹣100+1＝9901；
故答案为：9901；
（3）由题意得：n2﹣n+1＝381，
解得：n＝20，n＝﹣19（舍去），
故答案为：20．
12．解：（1）填表：
图形序号数 ① ② ③ ④ …
地砖总数（包括黑白地砖） 2 12 30 56 …
故答案为：30，56；
（2）由图形可知：2n（2n﹣1）＝4n2﹣2n，
则按照这种规律第n个图形一共用去地砖（4n2﹣2n）块．
13．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．
14．解：（1）当高有1个立方体时，1＝1，0＝（1﹣1）3＝03；
当高有2个立方体时，8＝23，1＝13＝（2﹣1）3；
当高有3个立方体时，27＝33，8＝（3﹣1）3＝23；
当高有4个立方体时，64＝43，27＝（4﹣1）3＝33；
当高有5个立方体时，125＝53，64＝（5﹣1）3＝43；
当高有6个立方体时，216＝63，125＝（6﹣1）3＝53；
故答案为：125．
（2）由（1）可知，当高有n个立方体时，看不见的小立方体的个数为（n﹣1）3个．
15．解：（1）∵56＝7×8，
∴数56在第7行8列；
故答案为：7；8；
（2）∵设被框住的三个数中，最大的一个数为x，则另外两个数为x﹣2，x﹣1，
∴三个数之和为x﹣2+x﹣1+x＝3x﹣3．
根据题意得：3x﹣3＝2019，
解得：x＝674，
∵674＝84×8+2，
∴数674在第85行2列，不符合题意，
∴三个数的和不可以等于2019，此时x的值为672；
3x﹣3＝2019，
解得：x＝674，
∵674＝84×8+2，
∴数674在第85行2列，
∵方框框住相邻的三个数中最大的数x，至少位于第3列，
∴三个数的和不可以等于2019．
16．解：【规律探索】
第（1）个图形中有2＝1×2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝2+4＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝2+4+6＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝2+4+6+8＝20＝4×5张正方形纸片；
…
【规律归纳】
第（7）个图形中有张正方形纸片7×8＝56张正方形纸片；
故答案为：56；
（2）根据上面的发现猜想：2+4+6+2n＝n（n+1）；
故答案为：n（n+1）；
【规律应用】
①2+4+6+…+2000
＝1000×1001
＝1001000；
②202+204+206+…+600
＝（2+4+6+…+600）﹣（2+4+6+…+200）
＝300×301﹣100×101
＝80200．
17．解：（1）第n层有（2n﹣1）个小圆圈；
故答案为：（2n﹣1）；
（2）令2n﹣1＝65，
解得n＝33．
所以这是第33层；
故答案为：33；
（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；
故答案为：n2；
（4）（1+3+5+…+153）﹣（1+3+5+…+71）
＝（）2﹣（）2
＝772﹣362
＝4633．
18．解：（1）由图1和图2得：b＝m﹣18；
（2）如图3，分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+2，
②当n＜0时，e＝﹣n﹣2；
（3）由图1和图2得：a＝m﹣2，b＝m﹣18，c＝m+2，d＝m+18，
∵a+b+c+d＝km，
∴m﹣2+m﹣18+m+2+m+18＝km，
4m＝km，
k＝4，
由图3和图4得：分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+2，f＝﹣n+18，g＝﹣n﹣2，h＝﹣n﹣18，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n+2﹣n+18﹣n﹣2﹣n﹣18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+3p＝4+3×（﹣4）＝﹣8．
②当n＜0时，e＝﹣n﹣2，f＝﹣n﹣18，g＝﹣n+2，h＝﹣n+18，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n﹣2﹣n﹣18﹣n+2﹣n+18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+3p＝4+3×（﹣4）＝﹣8．
19．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，
（﹣2）+（﹣5）+17＝10，
170÷10＝17．
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2＝﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17＝170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2＝2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17＝10
积与和的商 ﹣2÷2＝﹣1， （﹣60）÷（﹣12）＝5， 170÷10＝17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，
5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，
x＝360÷（﹣12）×2＝﹣60，
图⑤：1×3×（﹣6）＝﹣18，
1+3+（﹣6）＝﹣2，
y＝﹣18÷（﹣2）×2＝18．