2021～2022学年度上学期高二模块联考
数学试题参考答案 2021.11
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1—4 C B CA 5—8 C D D C
1．答案 C
1 1
解析：根据题意，抛物线的标准方程为 x2 y，其焦点在 y轴正半轴上，且 p ，则其焦点坐标为 (0，)；
2 4
故选：C．
2.答案 B
解析：直线 l的一个方向向量为 2,1,1 ，平面 的一个法向量为 4,2,2 ，
显然它们共线，所以 l ．故选：B．
3.答案 C
解析： a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故 A不正确；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故 B不正确；
y z
实数 x，y，z不全为 0,不妨设 x 0，则a ( )b ( )c ，由共面向量定理知a ，b ， c 一定共面，故 C
x x
正确；
只有当 a ，b ， c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa + yb + zc ，故 D不正确，
故选：C．
4．答案 A
a 3
解析：因为 l1 l2 ，所以 1，解得 a＝3，故选：A．2 a 1
5．答案 C
x2 y2 x2 y2
解析：因为椭圆 1的半焦距为： 25 9 4，所以双曲线 1的右顶点坐标为 (4,0)，即 a 4，
25 9 a2 9
3
因此该双曲线的渐近线方程为 y x， 故选：C
4
6.答案 D
解析：若 E为 BC中点，连接VE, AE，由VB VC知：VE BC；由
VA,VB VA,VC 知： AB AC，即有 AE BC，
又 BC AC C，则 BC 面VAE，而VA 面VAE，
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π
∴BC VA，即 VA,BC .故选：D
2
7．答案 D
解析：方法一:因为点 P在直线 kx y 1 0上，设 P（x，1-kx），
1 3
则 AP (x ,1 kx)， BP (x ,1 kx)
2 2
AP BP (x 1)(x 3所以 ) (1 kx)2 (k 2 1)x2 (2k 1)x 1 0有解，
2 2 4
所以 (2k 1)2 4(k 2 1) 1 3k 2 4k 0 4 ，解得 k 或 k 0．
4 3
方法二：因为直线 kx y 1 0上存在点 P，满足 APB 90 ，所以直线 kx y 1 0与以 AB为直径的圆
k 1
(x 1 )2 y2 1 2 4有交点，则 1，解得 k 或 k 0．
2 k 2 1 3
故选：D．
8．答案 C
解析：设 F1Q的延长线交 F2P的延长线于点 M，则由题意知 PM|＝|PF1|，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝12，
由题意知 OQ是△F1F2M的中位线，∴|OQ|＝a＝6，
∴Q点的轨迹是以 O为圆心，以 6为半径的圆，
∴当点 Q与 y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离 d＝a﹣b＝6﹣3＝3．故选：C．
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．ABD 10．AC 11．BD 12．ABD
9．答案 ABD
解析：对于方程（m﹣1）x2+my2＝m（m﹣1），
①当 m＝1时，方程即 y2＝0，即 y＝0，表示 x轴；
②当 m＝0时，方程即 x2＝0，即 x＝0，表示 y轴；
x2 y2
③当 m≠1，且 m≠0时，方程即 1，
m m 1
因为 m≠m﹣1，所以方程不可能是圆；
若 0若 m＞1，方程表示椭圆．
综合可得：方程不可能是抛物线与圆． 故选：ABD．
10.答案 AC
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解析：对于 A选项， AP AB 2 2 4 0， AP AB，A对；
对于 B选项， AB AD 8 2 0，故平行四边形 ABCD不是矩形，B错；
对于 C选项， AP AD 4 4 0，则 AP AD，
因为 AB AD A，则 AP 平面 ABCD， C对；
对于 D选项，根据 C知 AP BD，所以 D错.
故选：AC.
11.答案 BD
c 3
解析：对于选项A：因为 a2 4，b2 1，所以 c2 a2 b2 3，即 c 3，所以离心率 e ，所以选
a 2
项A错误；
2
对于选项 B：设 P(m,n) m，则 n2 1，且 2 m 2，又 F1( 3,0)， F2 ( 3,0)，4
所以 PF1 ( 3 m, n)， PF2 ( 3 m, n)，
2 2
因此 PF1 PF2 ( 3 m)( 3 m) n
2 m 3m m 2 1 3 2 0 ，
4 4
m 2 6解得 [ 2，2]，故选项 B正确 (或根据几何性质易知)；
3
对于选项 C：设直线 AB的方程 x my 3与椭圆方程联立得： (m2 4)y2 2 3my 1 0, 16m2 16，
2
S 1 |F F |(|y |+|y |)=4 3 m 1 ABF 1 2 1 2 2 =4 3
1
m2 1+ 3因此 1 2 m 4 2 3m2 1+ 3 ，因为 当且仅当 m2m2 1 1
m 2 取等号所以 S ABF 2，故选项C错误；1
对于选项D：椭圆中 x [ a,a]， y [ b,b]，而伴随曲线中 x ( , a) (a, ) ，
y ( , b) (b, )，故选项D正确，
故选：BD．
12．答案 ABD 解析：对于 A，因为 A1C DB， A1C BC1，可得 A1C 平面DBC1， DP 平面DBC1，
所以 A1C DP成立；
对于 B，由正方体知 ABC1D1为平行四边形，故 BC1∥AD1，又 BC1 平面 ACD1，AD 平面 ACD1，则 BC1
∥平面 ACD1，所以直线 BC1上任意一点到平面 ACD1的距离都相等，
又由等体积法VA D PC VP AD P，且底面面积不变，故三棱锥 A﹣D1PC的体积不变，1 1
故 B正确；
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对于 C，因为点 P在直线 BC1上运动，当点 P与点 C1重合时，直线 AP与平面 ABCD所成的角∠C1AC<45°，
故 C错误；
对于 D，由 A中的求解过程可知，BC1∥AD1，
所以直线DP与直线 AD1所成的角即 BC1和 DP所成的角，当点 P与点 B或 C1重合时，所成的角最小值为
，故 D正确；故选：ABD．
3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13. 0 14. 2 15. 3 16. 3
3
13.答案0
解析： AB CD BC DA AB BC CD DA= AC CD DA AD DA 0 .
14答案 2
解析：令 t x y，则 y x t， t表示直线在 y轴上的截距，
所以 x y 的最大值是直线在 y轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，
t
则圆心到直线的距离等于半径，即 d 1，解得 t 2 .
2
故答案为： 2 (或由几何性质易得)
15.答案 3
ABF 3 | AB | 2b
2
解析：∵ 2为正三角形，∴ | AB | | F1F |F2 |，又 ，a 1
F2 |=2c
2
∴ 3b2 2ac∴ 3(c2 a2 ) 2ac，
∴ 3e2 2e 3 0∴ e 3 , e 3 （舍去） 故答案为： 3 .
3
16. 3答案
3
解析：设 AF a， BF b，作 AQ垂直准线 l于点Q，作BP垂直准线 l于点 P .
由抛物线的定义，知 AF AQ ， BF BP ，
又M 为 AB的中点且MN ^ l，所以
MN 1 ( AQ BP ) 1 ( AF BF ) 1= + = + = (a+b)
2 2 2
在 ABF中，由余弦定理得
AB 2 a 2 b 2 2ab cos120 a 2 b 2 ab a b 2 ab ，
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2
ab a b 又 ，∴ a b
2 ab a 1 3 b 2 a b 2 a b 2，
2 4 4
3
当且仅当 a b时，等号成立，∴ AB a b ，
2
1
MN a b 3 MN
∴ 2 3 3AB 3 ，即3 AB
的最大值为 . 故答案为： ．
a b 3 3
2
四、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10 分）解：因为 A与 D关于 y轴对称，所以点D(1,0)， ……………………………1分
角 B的平分线为 y轴，
点D(1,0)在直线 BC上， ………………………………3分
y 0 x 1
又C(2,1)，则直线 BC方程为 ，即 x y 1 0； ………………………………5分
1 0 2 1
（2） 角 B的平分线为 y轴.， 在 x y 1 0中令 x 0得 B(0, 1)，
1 D F 0
设 ABC外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，则有 1 E F 0 ， ………7分
5 2D E F 0
D 1
1 1 5
解得 E 1， ABC外接圆的方程为 x2 y2 x y 2 0，即 (x )2 (y )2 .……10分
2 2 2
F 2
18.（12分）解：（1）∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，且 AC⊥BC，
∴AC，BC，CC1两两垂直， ………………………………2分
则以 C为原点，CA为 x轴，CB为 y轴，CC1为 z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），
A1C＝（﹣2，0，﹣2）， AB＝（﹣2，2，0）， …………………3分
设直线 A1C和 AB所成角的大小为θ，
A1C AB 4 1
则 cosθ＝ ＝ = ，
A1C AB 8 8 2
∴直线 AC1和 A1B1所成角的大小为 60°． ………………………………6分
（2） A1C＝（﹣2，0，﹣2）， AB＝（﹣2，2，0）， AA1 ＝（0，0，2），………………7分
设平面 ABB1A1的法向量 n＝（x，y，z），
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AB n 2x 2y 0
则 ，取 x＝1，得 n＝（1，1，0）， ……………………………9分
AA1 n 2z 0
设直线 A1C和平面 ABB1A1所成角的大小为θ，
A1C n 2 1
则 sinθ＝ ＝ = ，θ＝30°．
A1C n 8 2 2
∴直线 A1C和平面 ABB1A1所成角的大小为 30°． ………………………………12分
（其他方法参考给分）
19（12分）解：（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为 A，B，
以 AB垂直平分线为 y轴，拱圈最高点 O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 A（﹣15，﹣9），B（15，﹣9）， …………………2分
设拱桥所在的抛物线方程为 x2＝﹣2py（p＞0），………………3分
因点 A（﹣15，﹣9）在抛物线上，代入解得 2p＝25，
故拱桥所在的抛物线方程是 x2＝﹣25y．…………………………6分
（2）因 x2＝﹣25y，故当 x＝3时，y＝﹣0.36，………………7分
故当水位暴涨 2.46m后，船身至少应降低 7+2.46﹣（9﹣0.36）＝0.82，………9分
因精确到 0.1m，故船身应降低 0.9m．
故船身应降低 0.9m，才能安全通过桥洞………………………12分
20.（12分）解：（1） AE //DC， ACD 90 ， AE AC ，
又 BA 平面 ACDE，所以 AE，AC，AB两两垂直， ……………2分
1
解法一：因为 P为线段 BD的中点，所以VP ABE V ，2 D ABE
AE //DC， AE 平面 ABE, DC 平面 ABE， AE //平面 ABE,
VD ABE VC ABE , ………………………………5分
1 1 1 1 1 1 1
又 AC AB 2AE 2，VP ABE V S2 C ABE 2 3 ABE
CD 1 2 2 ；
2 3 2 3
………………………………6分
解法二：因为 AB, AC, AE两两垂直，以 A为原点，分别以 AB, AC, AE所在的直线分别为 x, y, z轴建立空间直角
坐标系，则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 0, 2, 2 ，E 0,0,1 ， P 1,1,1 ，则 AP 1,1,1 ，……2分
试卷第 6页，共 9页
取平面 ABE的一个法向量为 n 0,1,0 ，
AP n 1
则点 P到平面 ABE距离 d 1， ……………………………4分
n 1
则V 1P ABE S
1 1 1
3 ABE
d 1 2 1 ； ……………………………6分
3 2 3
（2）因为 AB, AC, AE两两垂直，以 A为原点，分别以 AB, AC, AE所在的直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐
标系，则 A 0,0,0 ， B 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 0, 2, 2 ， E 0,0,1 ，
BC 2, 2,0 ， EC 0,2,1 ， BC 2, 2, 2 ………………………………8分
n
BC 2x 2y 0
设平面 BCE的一个法向量为n1 x, y, z ，由 ，取 x 1，则 y 1， z 2，
n EC 2y z 0
所以n1 1,1,2
同理求得平面 BCD的一个法向量n2 1,1,0 ， ………………………………10分
n n 2 3
所以 cos n ,n 1 21 2 ，n1 n2 6 2 3
因为二面角D BC E 3为锐二面角，所以二面角D BC E的余弦值为 ．…………12分
3
（其他方法参考给分）
21.（12分）解：（1 2 2）双曲线 C的渐近线方程为 x 3y 0，设双曲线方程为 x 3y ，……2分
又双曲线过点 (3, 2)，则 9 3 2 3，
x2
所以双曲线的方程为 x2 3y2 3，即 y2 1； ………………………………4分
3
（2）由（1）可知 F(2,0)，l的斜率存在且不为 0，设 l的方程为 y k(x 2)，………5分
y k(x 2)
联立 x2 ，消去 y得 (1 3k
2 )x2 12k 2x 12k 2 3 0 2，由题意1 - 3k 0，
y2 1 3
x x 12k
2
1 2 2
设 A x y B 1 3k（ 1， 1）， （x2，y2），则 ， ………………………………8分
x x 12k
2 3
1 2 1 3k 2
试卷第 7页，共 9页
y y k (x 2) k (x 2) k(2x
7
1x2 (x1 x2 ) 6)
k k 1 2 1 2 2
则 AQ BQ
x 3
3 3 3 3 9
1 x2 x1 x2 x1x2 (x1 x2 ) 2 2 2 2 2 4
k[2( 12k 2 3) 7 12k 2 6(1 3k 2)
2 0 ………………………………10分
12k 2 3 3 12k 2 9 (1 3k 2 )
2 4
kAQ kBQ ， AQF BQF成立 ……………………………12分
22.（12 2 c 2分）解：（1）因为椭圆C的离心率 e ，所以 ，即 a 2c，
2 a 2
因为抛物线 y2 4 2x的焦点 F 2,0 恰好是该椭圆的一个顶点，所以 a 2，………3分
x2
所以 c 1， b2 1，所以椭圆C的方程为 y2 1 . ………………………………4分
2
（2 6）①当直线 l的斜率不存在时，因为直线 l与圆M 相切，故其中一条切线方程为 x ，
3
x
6
3 A 6 6 6 6
由 ，可得2 , ， B , 3 3 3 3
，
x
y
2 1
2
AB 6 2 2 6则以 为直径的圆的方程为 (x )2 y2 ，即为 x2 y2 x 0 .……………6分
3 3 3
l l M y 6②当直线 的斜率为零时，因为直线 与圆 相切，故其中条切线方程为 ，
3
y
6
3
由 ，可得 A
6 , 6 6 6 ， B , 2 ，
x 3 3 y2 1
3 3
2
6
则以 AB为直径的圆的方程为 x2 ( y )2 2 即为 x2 y2 2 6 y 0 .
3 3 3
显然以上两种情况对应的圆都经过定点 0,0 . ……………………………8分
③当直线 l的斜率存在且不为零时，设直线 l的方程为 y kx m，
y kx m
2 2
由 x2 ，消去 y并整理得 2k 1 x 4kmx 2m2 2 02 ，
y 1 2
A x , y 4km 2m
2 2
设 1 1 ， B x2 , y2 ，则 x1 x2 2k 2 ，1 x1x2 2 ， 2k 1
2 2
所以 y1y2 kx1 m kx2 m k 2x x km x 2
m 2k
1 2 1 x2 m ………………10分2k 2 1
试卷第 8页，共 9页
OA OB x x y y 3m
2 2k 2 2
所以 1 2 1 2 2 ，2k 1
m 6 2 2 2
因为直线 l和圆M 相切，所以圆心到直线 l的距离 d ，整理得m 1 k ，于是
k 2 1 3 3
3 2 1 k 2 2 2k 2
OA OB x1x2 y 3
，
1y2 2 02k 1
则以 AB直径的圆经过定点O 0,0 .
综上可知，以 AB直径的圆经过定点O 0,0 . ………………………………12分
试卷第 9页，共 9页机
前
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数学试题
考生注意
务必将
姓名、考生
写在答题卡和试卷指定
答选择题时
每小题答業后
答業
如需改动,用橡皮擦干净后
其他答案
将答案写在答题
在本试卷
效
考试结東,将试题卷和答题卡一并交
每小题5分,共40分。在每小题给出的四
抛物线y=x2的焦点坐标为
2.直线l的一个方
的位置关系不能判断
知空间向
所在的直线平
若向
的直线为异面直线,贝
定不共
C.若存在不全为0的实数
得
0则a,b,c共
任意
得p=x
4.直线l
的值为
或-2
椭圆
的右焦点是双曲线
右顶点,则双曲线的渐近线方
在三棱锥V-AB
知点A(
0上存
满足∠A
实数
范围是
知F
勺两个焦点,P是椭圆上任意
过F引∠F
外角平分线的垂线,垂足为Q,则Q与短轴端点的最近距离
选择题
题共4小题,每小题
20分
题目要求的,全部选对
的得
程(m-1)
表示的曲线可以是
椭
双曲线
C.抛物线
线
点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=(2,-1,-4),AD=(4
P=(-1,2,-1),下列结论正确的有
四边形ABCD为矩形
C.AP⊥平面ABC
的两个焦点分别为
O为坐标原
说法正确的是
的离心率为
椭圆C上存在点P,使得PF·P
C.过点F2的直线与椭圆C交于
两点
为椭圆C的伴随曲线,则曲线r与椭圆C无公共点
在正方
线段BC1上运动,则
AC⊥DP
PC的体积为定
CD所成的角可以为
直线DP与直线AD所成的角最小值为
第IⅠ卷(非选择题
在空间四边形ABC
(x,y)在圆
最大
0)的两个焦点分别是
轴的
双曲线交于A,B两点,若△ABF2为正三角形,则双曲线的离心率为
6.抛物线
x(P>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线
过弦AB的
物线的准线l的垂线,垂足为N
的最大值为
四、解答题
0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(10分)已知△ABC
(-1,0),C(2,1,角B的平分线为y轴
(1)求点A
轴的对称点D的坐标及BC边所在直线的方程
求
C的外接圆的方
柱ABC-A
线
AB所成角的大
求
C和平面ABA1所成角的大小
C
分)某河道上有一抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9m,拱圈内
水面宽30m,一条船
以上部分高7
顶部宽
试建立适当的直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程
水位暴涨了2.46m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞,试
船身至少应该降
精确到0
