天津市部分区 2021～2022 学年度第一学期期中练习
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C B B B D A C D
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
10． 2 11 2 5． 12． (1,2,0)
5
13． 1 14 2 3 15 30． ．
30
三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 11分）
解（Ⅰ）以 D为原点，建立空间直角坐标系，
如图所示：不妨设正方体的棱长为 1，
则 D（0，0，0），A（1，0，0），
D1（0，0，1
1
），E（1，1， 2 ），
F（0 1， 2 ，0），………………1分
D F 则 1 ＝（0
1 1
， 2 ，－1）， AE ＝（0，1， 2 ），
则D1F AE＝0， …………………………………………4分
所以 D1F AE． …………………………………………5分
（Ⅱ） B1（1，1，1），C（0，1，0），
uuur
故CB1 ＝（1，0，1
1 1
）， EF ＝（－1，－ 2 ，－ 2 ）， …………………………6分
3
EF CB 11 ＝－1＋0－ 2 ＝－ ,2
EF 1 1 3 1 ， CB1 2，
4 4 2
部分区期中练习高二数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
3
cos EF,CB EF CB 31 1 2 ，……………………………………… 9分
EF CB 21 3 2
2
则 EF ,CB 1 150 ．
故直线 EF 和CB1所成角为30
．……………………………………………… 11分
17．（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）圆C的标准方程为：
m 2(x )2 (y 1)2 1 m ， …………………………………………2分
2 4
m
所以，圆心为 ( ,1)……………………………………………… 3分
2
由圆心在直线 x y 0上，得m 2．………………………………………………4分
所以，圆C的方程为：
(x 1)2 (y 1)2 2．…………………………………………… …5分
（Ⅱ）由题意可知直线 l的斜率存在，设直线 l 的方程为： y 1 k(x 1) ，即
kx y k 1 0，……………………………………………… 6分
2 | 2k |由于直线 l和圆C相切，得 2 …………………………………………… 9分k 1
解得： k 1……………………………………………… 11分
所以，直线方程为： x y 2 0或 x y 0．………………………………… 12分
18．（本小题满分 12分）
解（Ⅰ）连接 BD，交 AC于点 O，连接 EO，
则 O为 BD的中点，
E为 PD的中点，
OE / /PB，………………………………2分
又OE 平面 AEC， PB 平面 AEC，
PB / /平面 AEC．………………………4分
（Ⅱ）以 A为原点，AB，AD，AP所在直线
分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
部分区期中练习高二数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
则 A(0,0,0),D(0, 2,0), E 0
1
,1, , B(1,0,0),C(1, 2,0),
2
AE 0 1 ,1, ，AC 1,2,0 ， ……………5分
2
1r n AE 0 y z 0
设平面 AEC 的法向量为 n x, y, z ，则
，即 2 ，
n AC 0
x 2y 0
令 x 2，则 y
1,z 2, n 2， 1,2 ，………………………………………7分
由题意得平面 ADE的法向量为 AB 1,0,0 ，………………………………………8分
记平面 ACE与平面 ADE 夹角为
cos A B n 2 2 ， ……………………………………………10分
| AB || n | 1 3 3
sin = 1 5 cos2 ， ……………………………………………11分
3
5
故平面 AEC 与平面 ADE夹角的正弦值为 ． …………………………………12分
3
19．（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）选条件①．
3
因为直线 x 3y 0的斜率为 ，………………………………………………1分
3
直线 l与直线 x 3y 0平行，
3
所以直线 l的斜率为 k ，…………………………………………………………3分
3
3
依题意，直线 l的方程为 y 3 (x 1)，即 x 3y 4 0．……………6分
3
选条件②．
因为直线 l过点 4,0 及 1, 3 ，
3
所以直线 l的斜率为 k ，…………………………………………………………3分
3
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依题意，直线 l y 3 3的方程为 (x 1)，即 x 3y 4 0．……………6分
3
选条件③．
因为直线 3x y 2 0的斜率为 3，……………………………………………1分
直线 l与直线 3x y 2 0垂直，
所以直线 l的斜率为 k 3 ，…………………………………………………………3分
3
3
依题意，直线 l的方程为 y 3 (x 1)，即 x 3y 4 0．……………6分
3
（Ⅱ）圆 x2 y2 9的圆心 (0, 0)到直线 x 3y 4 0的距离为
d 4 2
2 2 ． …………………………………………………………9分1 ( 3)
又圆 x2 y2 9的半径为 r 3，……………………………………………………10分
所以 PQ 2 r2 d 2 2 5．……………………………………………………12分
20．（本小题满分 13分）
解：（Ⅰ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 A 0,0,0 ， B 1,0,0 ，C 0,2,0 ，D 1,1,0 ，
A1 0,0, 2 ，B1 1,0,2 ，C1 0,2,2 ，D1 1,1,2 ，
因为 E为D1D的中点，则 E 1,1,1 ，…………1分
因为 AC 0,2,0 ， AB1 1，0,2 ， AD1 1,1,2 ，
设平面 AB1C的法向量为m x, y, z ，
m AB
则
1 x 2z 0
，
m AC 2y 0
令 z 1，则 x 2，
故m 2,0,1 ，………………………………………………………………………3分
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m AD1
cos m, AD 4 2 30所以 1 ，……………………………5分
m AD 5 6 151
设点D1到平面 AB1C的距离为 d ，
则 d AD1 cos m,AD
4 5
1 ，5
D ABC 4 5所以点 1到平面 1 的距离为 ；……………………………………………7分
5
（Ⅱ）：由题意，设 A1F A1B1 ，其中 0,1 ，
则 F ,0,2 ， …………………………………………………8分
所以 EF 1, 1,1 ，
又 AA1 0,0,2 是平面 ABCD的一个法向量，………………………………………9分
因为直线 EF 和平面 ABCD 5所成角的正弦值为 ，
5
EF AA1 2 5
则 cos EF , AA1 ，……………………11分
EF AA1 2 1 2 2 5
整理可得 2 2 2 0， …………………………………………………12分
又 0,1 ，解得 3 1
故线段 A1F 的长为 3 1． ……………………………………………………13分
部分区期中练习高二数学参考答案 第 5 页（共 5 页）第卷(共84分)
三.解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分
16.(本小题满分11分)
10.已知空间向量a=(2,-1,5),b=(λ,1,1),若a⊥b,则实数
如图,在正方体ABCD-ABCD中,EF分别是BB1.CD的中点
1l.已知直线l:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2间的距离为
(I)求证:DF⊥AE;
D1
(Ⅱ)求直线EF和CB所成角的大小
12.设空间向量a=(1,2,-3),则a在坐标平面Oy上的投影向量是
3.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a=
F
14.若斜率为√3的直线与x轴的非负半轴交于点A,且与圆x2+(y-2)2=4相切于点B,
则|ABF
15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,E,F,M分别
为AB,BC,PQ的中点.设异面直线EM与AF所成角为6,则cosb=
O
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17.(本小题满分12分)
18.(本小题满分12分)
已知圆C:x2+y2+mx-2y=0(m∈R),其圆心在直线x+y=0上
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中
(I)求m的值;
点
(Ⅱ)若过点(,1)的直线l与C相切,求l的方程
(I)求证:PB∥平面ACE;
(Ⅱ)设PA=AB=1,AD=2,求平面ACE与平面
ADE所成角的正弦值
O地
K
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19.(本小题满分12分)
20.(本小题满分13分)
在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
如图,在四棱柱ABCD-ABC1D中,侧棱AA⊥底
①与直线x-5y=0平行;②过点(-40);③与直线√3x+y+2=0垂直
面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=A4=2,
E
问题:已知直线l过点P(-1,3),且
AD=CD=√2,且E是DD的中点
(I)求l的方程;
(I)求点D到平面ABC的距离;
D
(Ⅱ)若/与圆x2+y2=9相交于点PQ,求弦PQ的长
(Ⅱ)设F为棱AB上的点,若直线EF和平面
Ax二--
ABCD所成角的正弦值为√5,求线段AF的长
MO
≥O
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