4.3对数 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（20张PPT）

(共20张PPT)
4.3　对数
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作① x=logaN ,
其中a叫做对数的②　底数 ,N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为③ lg N ;
以e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为④ ln N .
1 | 对数的概念
3.对数与指数的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N x=logaN;
(2)对数恒等式: =⑤ N ;logaaN=N(a>0,且a≠1,N>0).
4.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1=⑥　0 ,logaa=⑦　1 .(a>0,且a≠1)
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=⑧ logaM+logaN ;
(2)loga =logaM-logaN;
(3)logaMn=⑨ nlogaM (n∈R).
2 | 对数的运算性质
1.logab=⑩ (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1) .
2.推论:logab= , bm= logab.(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0)
3 | 换底公式
1.因为(-2)2=4,所以2=log(-2)4. ( 　)
提示:因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以结论错误.
2.因为a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1. (　√　)
3.若ln N= ,则N= . ( 　)
提示:ln N= ,则N= .
4.logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1). (　√　)
提示:根据对数换底公式知结论正确.
5.使对数log2(-2a+1)有意义的a的取值范围是 . (　√　)
提示:要使对数log2(-2a+1)有意义,需使-2a+1>0,解得a< ,故结论正确.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1 | 利用对数的运算性质化简、求值
问题
1.在对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,应如何处理
提示:常利用lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5及lg 5=1-lg 2等化简求解.
2.在化简含有对数的式子时,换底公式的作用是什么
提示:将不同底的对数化成同底的对数,进而进行运算.
1.利用对数的运算性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数
间的联系.
2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”:将积(商)的对
数拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特
点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们
可以选择以10为底数进行换底.
利用换底公式化简与求值的思路:
①用对数的运算性质进行部分运算 换成同一底数.
②统一换为常用对数(或自然对数) 化简、求值.
(1)化简: ;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解析 (1)原式= · = · = ·
= log32·3log23 =- .
(2)解法一:∵18b=5,∴b=log185,
于是log3645= = = = = .
解法二:∵18b=5,∴b=log185,
于是log3645= = = .
解法三:∵log189=a,18b=5,
∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
∴log3645= = =
= = .
2 | 对数运算性质的综合应用
　　20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,这
种尺度就是使用测震仪衡量地震能量的等级.地震能量越大,测震仪记录的地震
曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.
其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为
了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
问题
1.假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,
此时标准地震的振幅是0.001,试计算这次地震的震级(精确到0.1).
提示:M=lg 20-lg 0.001=lg =lg 20 000=lg 2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里
氏4.3级的地震.
2.若新闻报道某次地震的震级为M,如何用M和A0表示最大振幅A
提示:由M=lg A-lg A0可得M=lg =10M A=A0·10M.
3.5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振
幅的多少倍(精确到1).
提示:当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0·107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·
105.所以两次地震的最大振幅之比是 = =107.6-5≈398.
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义和运算性质,尤其要注意
条件和结论之间的关系.
2.解决对数应用问题时,首先要理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设
未知数,建立数学模型,最后转化为对数问题求解.
　　已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值.
思路点拨
设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入 + + =0并用对数的运算性质可求得
abc的值,也可以用换底公式进行计算.
解析 解法一:设ax=by=cz=t,则t>0,且t≠1,
则x=logat,y=logbt,z=logct,
∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,
∴abc=t0=1,
即abc=1.
解法二:设ax=by=cz=t,
则t>0,且t≠1,
∴x= ,y= ,z= ,
∴ + + = + + = .
∵ + + =0, ∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,
∴abc=1.
B
B
题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形
7.(2020安徽安庆高一上期末质量检测)计算:log32-log36=(　B　)
A.1 B.-1 C.-log32 D.-2log32
8.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=loga;④=logax;⑤=loga.
其中正确的有 (　A　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析　(1)log3+lg 25-+lg 4
=log327+(lg 25+lg 4)-
=+2-=1.
(2)原式=log34-log3+log38-
=log3-9
=log39-9=2-9=-7.
(2020河北唐山一中高一期中)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若0解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.
于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,
由0从而x-x-1=-,
∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.