4.4.3不同函数增长的差异课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（24张PPT）

(共24张PPT)
4.4.3
不同函数的增长差异
高一数学必修第一册 第四章 指数函数和对数函数
理解直线上升、指数爆炸、对数增长
的含义;
2.区分指数函数、对数函数以及一次函数增长的差异;
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
4.核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算.
学习目标
生态故事：“一群兔子引发的危机”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
x
y
o
x
y
o
1
(a ＞ 1)
x
o
y
1
(a ＞ 1)
x
x
y
o
y=x3
x
y
o
一、回顾基本函数的图象
x
y
o
＞
1.例1.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
回报量
日回报量
累计回报量
选择投资方案
的标准
二、探究不同函数增长的差异
设第x天的日回报金额是y元
则方案一可以用函数_ ______________________ 描述
则方案二可以用函数_______________________ 描述；
则方案三可以用函数_ ______________________描述。
方案一
方案二
方案三
第1天
第3天
第2天
第4天
第5天
40
40
40
40
40
10
10×2
10×3
10×4
10×5
0.4
0.4×2
0.4×22
0.4×23
0.4×24
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增长量/元 y/元 增长量/元 y/元 增长量/元
1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
是否投资4天以内选方案一，
投资5-8天投资方案二呢？
列表法比较三种方案的日回报量
投资__________ 应选择第一种投资方案；
投资___________应选择第一种或第二种投资方案；
投资___________应选择第二种投资方案；
投资____________________应选择第三种投资方案.
1~6天
7天
列表法比较三种方案的累计回报
8~10天
11天（含11天）以上
天数
方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
匀速增长
急剧增长
没有增长
比较函数的增长差异？
2.探究:函数 的增长情况并分析差异
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
1
o
这两个函数在[0,+∞)上单调递增，但它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，而函数y=2x的增长速度在变化.
2.探究:在更大的范围内观察函数 的增长情况
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1240 20
12 4096 24
··· ··· ···
200
400
600
800
5
10
15
o
当自变量x越来越大时，y=2x的图象就像与x轴垂直的一样，2x的值快速增长，而函数y=2x的增长速度依然保持不变，而与函数y=2x的增长速度相比几乎微不足道.
3.通过以上探究可以发现：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和一次函数y=kx (k>0)增长的差异为：
在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们增长速度不同，无论k比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小kx，但随着x的增大一次函数y=kx (k>0)保持固定的增长速度，而指数函数y=ax (a>1)快速增长，因此ax的增长快于kx的增长，那么总存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.因此，指数函数的增长会越来越快，呈爆炸性增长.
4.探究:在区间[0,+∞）函数 的增长差异及对数函数的增长特点
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
1
2
3
4
10
20
40
o
5
6
30
50
60
这两个函数在[0,+∞)上单调递增，但它们的增长速度不同，函数 的增长速度保持不变，而函数y=lgx的增长速度在变化,增长的速度较慢.
一般地，对于指数函数y=logax (a>1)和一次
函数y=kx (k>0)的增长差异为：
在区间(0,+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，一次函数y=kx (k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y= logax (a>1)增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定范围内， logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax5.通过以上探究可以发现：
6.例2、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：
y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，
其中哪个模型能符合公司的要求呢？
1.函数变量x，y满足什么条件才算符合公司要求？
2.根据函数图象讨论哪个函数符合条件？
400
600
800
1000
200
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
o
y=0.25x
根据函数图象讨论哪个函数符合条件
400
600
800
1000
200
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
o
指数爆炸
y=0.25x
观察图象比较三种函数的增长情况
直线上升
对数平稳
7总结三种函数的增长的差异
(1).在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1)
和y=kx (k>0)都是增函数.
(2).随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越
快，会远远大于y=kx (k>0)的增长速度.
(3).随着x的增大， y=logax (a>1)的增长速度越来
越慢，会远远小于y=kx (k>0)的增长速度.
总存在一个x0，当x>x0时，就有
logax1).四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下
关于x成指数型变化的变量是_______
y2
1.005
1.0151
1.0461
1.1407
1.4295
2.3107
5
155
130
105
80
55
30
5
33733
1758.2
94.478
5
4505
3130
2005
1130
505
130
5
30
25
20
15
10
5
0
8巩固练习
2).当x越来越大时，增长速度最快的是( )
D
4).趣味游戏一张纸的厚度大约为0.01cm，请计算将一张纸对折n次的厚度.
3).观察下表，某人身高用一次函数、指数型函数、对数型函数哪个刻画比较好，为什么？
世界最高峰——珠峰海拔高度最新测量结果8844.43米,请问对折几次即可超过珠峰高度？
某人的年龄和身高
年龄
身高
21
23
25
27
160
162
163
163.5
1.几种常见函数的增长差异：
没有增长
直线上升
指数爆炸
缓慢增长
2.解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
演算
推理
常数函数
一次函数
指数函数
对数函数
三、课堂小结
作业: 课本P141 习题4.4 11题