4.4.1-2对数函数的概念、对数函数的图象和性质 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（25张 ppt ）

(共25张PPT)
对数函数的概念
对数函数的图象和性质
　　一般地,函数① y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中x是自变量,定义
域是②　(0,+∞) .
1 | 对数函数的概念
2 |对数函数的图象与性质
底数 a>1 0图象
定义域 ③ (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
共点性 图象过定点④　(1,0) ,即x=1时,y=0
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数⑤ y=logax(a>0,且a≠1) 互为反函
数.它们的定义域与值域正好互换.
互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
3 | 反函数
1.函数y=log2(2x)是对数函数. ( 　)
2.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则函数y=logax在(0,+∞)上也是增函数.
(　√　)
提示:因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,所以a>1,所以y=logax在(0,+∞)上
也是增函数.
3.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(　√　)
4.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞). ( 　)
提示:由对数式log3(x+1)的真数x+1>0可得x>-1,
所以函数的定义域为(-1,+∞).
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
5.函数y=logax+1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,1). ( 　)
提示:因为对数函数y=logax的图象过定点(1,0),
所以函数y=logax+1的图象过定点(1,1).
1 | 对数函数的图象及其应用
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定
点为(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左
向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或
向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
　　已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( B　)


思路点拨
可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合
单调性来判断.
解析 解法一:若0数y=loga(-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条
件;
若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其
定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
解法二:曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,
C;
y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.
　　设a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a是 (0,1) .
思路点拨
根据题意作出函数y=|lg x|的图象和直线y=c,观察图象即可求解.
解析 由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个交点,作出函
数y=|lg x|的图象与直线y=c,如图所示,

结合图象可知,|lg a|=|lg b|=c,又a∴-lg a=lg b=c,∴ab=1,0∴abc的取值范围是(0,1).
2 | 与对数函数有关的定义域、值域问题
1.对数型函数的定义域
(1)求对数型函数的定义域,要注意真数大于0,即在y=loga f(x)(a>0,且a≠1)中应首
先保证f(x)>0;
(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.
2.求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义
域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠
0,a>0,且a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函
数的值域.
(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤:①换元,令u=f(x),利用
函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.
(1)求函数f(x)=lo (x2+2x+3)的值域;
(2)求函数y=(lo x)2- lo x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
思路点拨
确定函数的复合形式,由定义域求中间变量范围,由中间变量范围求函数值域.
解析 (1)f(x)=lo (x2+2x+3)=lo [(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以lo [(x+1)2+2]
≤lo 2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].
(2)因为2≤x≤4,所以lo 2≥lo x≥lo 4,即-1≥lo x≥-2.
设t=lo x,则-2≤t≤-1,
所以y=t2- t+5,其图象的对称轴为直线t= ,因此y=t2- t+5在[-2,-1]上单调递减,
所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;
当t=-1,即x=2时,ymin= .
易错警示
解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免因不求定义域导致解题错误.
3 | 与对数函数有关的复合函数的单调性
　　 求复合函数的单调性要抓住两个要点:
(1)单调区间是定义域的子集.
(2)若a>1,则y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0调性与y=f(x)的单调性相反.
函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( D　)
A.(-∞,-2)　　　 B.(-∞,1)
C.(1,+∞)　 D.(4,+∞)
思路点拨
根据“同增异减”求解单调区间,注意对数的真数大于零.
解析 由x2-2x-8>0得x<-2或x>4,即x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),
令t=x2-2x-8,则y=ln t(t>0),且y=ln t是增函数,
又∵t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,
∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.

已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1
如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解析 (1)设t(x)=3-ax,∵a>0,
∴t(x)=3-ax为减函数,
当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< .
又a>0,且a≠1,
∴实数a的取值范围是(0,1)∪ .
(2)假设存在这样的实数a.
由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat在区间[1,2]上为增函数,∴a>1.
又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),
∴ 即 无解.
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
易错警示
解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同
增异减”原则判断函数的单调性.
4 | 如何比较对数值的大小
　比较对数值大小常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨
论.

设a=log2 ,b=log3 ,c=lo ,则a,b,c的大小关系是 ( B　)
A.c>b>a　 B.c>a>b
C.a>c>b　 D.a>b>c
思路点拨
不同底的对数比较大小时,可以找中间值0,1等比较.
解析 a=log23-1,b=log34-1,
c=lo =lo 4-1=log34,
∵log23=lo 33=log827,
log34=lo 42=log916,由log827>log927>log916,
得log23>log34,∴log23-1>log34-1,即a>b.
∵log23又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
对数不等式的类型及解题方法
(1)形如loga f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确
定,需分a>1与0(2)形如loga f(x)>b的不等式,应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借
助函数y=logax的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图
象求解.
5 | 如何解对数不等式
　　解下列关于x的不等式:
(1)loga(2x-5)>loga(x-1);(2)logx >1.
思路点拨
根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解.
解析 (1)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4.
当0解得 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0(2)当x>1时,由logx >logxx,解得0当0logxx,解得x> ,所以此时 综上,原不等式的解集为 .