4.1指数 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（20张PPT）

(共20张PPT)
4.1　指数
1.a的n次方根的定义
一般地,如果① xn=a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
1 | 根式
n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ② ± [0,+∞)
3.根式
式子 叫做根式,这里n叫做③ 根指数 ,a叫做被开方数.
4.根式的性质(其中n>1,且n∈N*)
(1)n为奇数时, =a.
(2)n为偶数时, =|a|=④ .
(3)0的任何次方根都是0,记作 =0.
(4)负数没有偶次方根.
(5)( )n=a.
2 | 分数指数幂
正分数指数幂 规定: =⑤ (a>0,m,n∈N*,n>1)
负分数指数幂 规定: = =⑥ (a>0,m,n∈N*,n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,
0的负分数指数幂⑦ 没有意义
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=⑧ ars (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=⑨ arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3 | 有理数指数幂的运算性质
　　一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的⑩　实数 .有理数指
数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
4 | 无理数指数幂
1.实数a的奇次方根有且只有一个. (　√　)
2.0的任意次方根都为0. (　√　)
3.当n∈N*时,( )n=-2. ( 　)
提示:n是奇数时,结论成立;n是偶数时,( )n无意义.
4.( )n中实数a的取值范围是任意实数. ( 　)
提示:当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0.
5.分数指数幂与根式可以相互转化,如 = . ( 　)
提示: =
6a2· =a. ( 　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
| 如何对根式与分数指数幂进行计算
　利用根式的性质进行根式化简与求值,解题的思路及注意点
1.思路:首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行
化简.
2.注意点:
(1)根式性质的适用范围:n>1,且n为奇数时,( )n= =a,a为任意实数;n>1,且n为
偶数,a≥0时,( )n才有意义,且( )n=a;n>1,且n为偶数,a为任意实数时, 均有
意义,且 =|a|.
(2)运算时注意变式、整体代换,以及平方差公式、立方差公式、完全平方公
式、完全立方公式的运用,必要时要进行分类讨论.

1.指数幂运算的原则与技巧
(1)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(2)底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,然后要尽可能
用幂的形式表示,便于利用指数幂的运算性质.
注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指
数.
2.解决条件求值问题的一般方法——整体代换法
将已知条件或所求代数式进行恰当的变形,从而通过“整体代换法”求出代数式
的值.常用的变形公式如下:
(1)a±2 +b=( ± )2;
(2)( + )( - )=a-b;
(3) + =( + )(a- +b);
(4) - =( - )(a+ +b).
计算:(1) + - ;
(2) × (a>0,b>0).
解析 (1)原式= + - =0.09+ - =0.09.
(2)原式= · · · · = a0b0= .
已知 + = ,求下列各式的值:
(1)a2+a-2;(2) .
思路点拨
寻找要求值的式子与已知条件 + = 的联系,进而整体代入求值.
解析 (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7,
所以a+a-1=5,
再将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=25,
故a2+a-2=23.
(2)由(1)得a+a-1=5.
因为 - =( )3-( )3
=( - )(a+ +a-1),
所以原式=
=a+1+a-1=5+1=6.
题组一　根式的概念及性质　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.若a=,b=,则a+b= (　A　)
A.1 B.5 C.-1 D.2π-5
2.已知x6=6,则x等于 (　D　)
A. B. C.- D.±
3.若xy≠0,则使=-2xy成立的条件可能是 (　B　)
A.x>0,y>0 B.x>0,y<0
C.x≥0,y≥0 D.x<0,y<0
题组二　分数指数幂与根式的运算
5.下列运算正确的是 (　D　)
A.=a B.a÷= C.a-2=0 D.=a
6.(2020河北定州中学高一上月考)化简[的结果为(　B　)
A.5 B. C.- D.-5
7.(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是(　BD　)
A.0-2和 B.和 C. 和 D.和
题组三　指数幂的条件求值问题
12.(2020山东青岛二中高一上期末)已知+=2,则x+x-1=　　2　　.
13.若a>0,且ax=3,ay=5,则=　9　　.
14.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β= 　,(2α)β=　　　.
15.若+=0,则(x2 021)y=　-1　　　.
16.A4纸是生活中最常用的纸规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0、A1、A2、…、A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②在A系列纸中,以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁后可以得到2张A2纸,依此类推.这是因为A系列纸张的长宽比为√2∶1这一特殊比例,所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.118.9÷84.1≈1.41≈,那么A4纸的长度约为(　C　)
A.14.8厘米 B.21.0厘米 C.29.7厘米 D.42.0厘米
题组三　指数幂的条件求值问题
17.(2020湖南长沙长郡中学高一上第一次模块检测, )已知a+a-1=3,则下列各式中正确的个数是 (　C　)
①a2+a-2=7;②a3+a-3=18;③a^(1/2)+a^("-" 1/2)=±√5;④a√a+1/(a√a)=2√5.
A.1 B.2 C.3 D.4
18.已知a1,n∈N*,化简+.
解析　当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n是偶数时,因为a所以原式=|a-b|+|a+b|
=(b-a)+(-a-b)=-2a.
所以+
=(n>1).
19.(2021山西太原高一上期中)计算:×+80.25×+(×)6.

解析　×+80.25×+(×)6
=(2-3×1+(23×+(×)6
=++32×23=2+2+72=76.
20.(2021北京丰台高一上期中)计算:+(π-3)0-=　　0　　.
21.(2021山东省实验中学高一上期中)-(-9.6)0-+(1.5)-2=　　　　.
22.(2021江苏徐州六县高一上期中)已知y=f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=,则f(-16)的值是　　-8　　.
23.(2021山西太原高一上期中)计算:×+80.25×+(×)6.
解析　×+80.25×+(×)6
=(2-3×1+(23×+(×)6
=++32×23=2+2+72=76.